2024-2025学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷（含详解）

2024-2025学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列运算中，结果正确的是（　　）
A．2m2+m2＝3m4 B．m2 m4＝m8
C．m4÷m2＝m2 D．（m2）4＝m6
3．（2分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　）
A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7
4．（2分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．3a＞3b C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
5．（2分）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．1.6
6．（2分）若A＝m2+2mn+n2﹣4，B＝2m+2mn﹣6n﹣25，则A，B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
7．（2分）若方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2分）如果记[x]表示任意实数的整数部分，例如：，那么（其中“+”“﹣”依次相间）的值为（　　）
A．﹣22 B．﹣23 C．22 D．23
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）圆周率π＝3.1415926……精确到0.001是　 　 ．
10．（3分）把二元一次方程3x﹣4y＝1写成用含x的式子表示y的形式，则y＝　 　 ．
11．（3分）若（x+3）3＝﹣1，则x的值为　 　 ．
12．（3分）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是　 　 命题（填“真”或“假”）．
13．（3分）小明在计算（x﹣2）（x+n）时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则n的值为 　 　 ．
14．（3分）已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式m2﹣2m+5的值为　 　 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝a，BC＝3a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大7，则代数式a（3a﹣2b）的值为　 　 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，将所截△ADE沿过点A的某射线AF翻折后得到△AD′E′，当△AD′E′的某一边与BC平行时，锐角∠BAF的最大值为　 　 ．
三、解答题（本大题共11小题，共60分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（2a2）3﹣a8÷a2+（a﹣3）﹣2．
18．（6分）解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
19．（4分）已知am＝8，an＝16．
（1）求am+n的值；
（2）求a3m﹣2n的值．
20．（4分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
（1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
（2）若x＝2，y＝5，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．
21．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC＝2∠A．
22．（4分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）利用格点画出BC边上的垂直平分线MN；
（2）平移△ABC，使点B移动到点B′的位置．
①画出平移后的△A′B′C′；
②若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的位置关系是　 　 ；
（3）平移结束后，四边形ACC′A′的面积是　 　 ．
23．（5分）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．
（1）若x＝6，该程序需要运行 　 　 次才停止；
（2）若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求x的取值范围．
24．（5分）若m是一个正整数，且m除以3余2．判断2m2﹣5m+11是否一定能被9整除，并说明理由．
25．（7分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 3件 5件 1800元
第二天 4件 10件 3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？
（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
26．（7分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为　 　 ．
（2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
27．（8分）（1）如图，正方形ABCD的四个内角∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠D均为直角，边AB在直线EF上，∠DAF的平分线AQ交正方形的边于点P．∠PAB的度数为　 　 ；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为　 　 ．
（2）将正方形ABCD绕点A旋转至如图②所示的位置，此时∠DAE＝α，∠DAF的平分线AQ交正方形的边BC于点P，请探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）将正方形ABCD绕点A旋转至如图③的位置，AQ平分∠DAF，请探究∠QAB与∠DAE的度数之间的关系．
2024-2025学年江苏省苏州市高新区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C A A B D
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2．（2分）下列运算中，结果正确的是（　　）
A．2m2+m2＝3m4 B．m2 m4＝m8
C．m4÷m2＝m2 D．（m2）4＝m6
【解答】解：2m2+m2＝3m2，则A不符合题意；
m2 m4＝m6，则B不符合题意；
m4÷m2＝m2，则C符合题意；
（m2）4＝m8，则D不符合题意；
故选：C．
3．（2分）2024年5月3日，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，在近月轨道时飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893用科学记数法表示为（　　）
A．8.93×10﹣5 B．893×10﹣4 C．8.93×10﹣4 D．8.93×10﹣7
【解答】解：数据0.0000893用科学记数法表示为8.93×10﹣5，
故选：A．
4．（2分）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a﹣2＞b﹣2 B．3a＞3b C．﹣2a＞﹣2b D．5a+2＞5b+2
【解答】解：由图可知，a＜b，则有：
A、a﹣2＜b﹣2，原不等式不成立，本选项不符合题意；
B、3a＜3b，原不等式不成立，本选项不符合题意；
C、﹣2a＞﹣2b，原不等式成立，本选项符合题意；
D、5a+2＜5b+2，原不等式不成立，本选项不符合题意；
故选：C．
5．（2分）如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为﹣1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　）
A． B． C． D．1.6
【解答】解：设点E表示的数为x，
∵正方形的面积为6，
∴正方形的边长，
∴，
∵点A表示的数是﹣1，
∴，
，
，
或1（不合题意舍去），
∴点E表示的数是，
故选：A．
6．（2分）若A＝m2+2mn+n2﹣4，B＝2m+2mn﹣6n﹣25，则A，B的大小关系为（　　）
A．A＞B B．A＜B C．A＝B D．无法确定
【解答】解：∵A＝m2+2mn+n2﹣4，B＝2m+2mn﹣6n﹣25，
∴A﹣B＝m2+2mn+n2﹣4﹣（2m+2mn﹣6n﹣25）
＝m2+2mn+n2﹣4﹣2m﹣2mn+6n+25
＝m2﹣2m+n2+6n+21，
又∵m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，
n2+6n＝（n+3）2﹣9，
∴m2﹣2m+n2+6n+21
＝（m﹣1）2﹣1+（n+3）2﹣9+21
＝（m﹣1）2+（n+3）2+11，
∵（m﹣1）2≥0，（n+3）2≥0，+11＞0，
∴A﹣B＞0，
即A＞B．
故选：A．
7．（2分）若方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：将方程组，整理得，
∵方程组的解为：，
∴x1，．
解得x，y＝3；
∴关于x，y的方程组的解为：．
故选：B．
8．（2分）如果记[x]表示任意实数的整数部分，例如：，那么（其中“+”“﹣”依次相间）的值为（　　）
A．﹣22 B．﹣23 C．22 D．23
【解答】解：∵[]＝1，[]＝1，[]＝1，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝2，[]＝3，……[]＝44，[]＝45，
∴原式＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+3﹣3+3﹣3+3+……+45
＝1﹣2+3﹣4+5﹣6+……+43﹣44+45
＝﹣1﹣1﹣1﹣1……+45
＝﹣22+45
＝23．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）圆周率π＝3.1415926……精确到0.001是　3.142　 ．
【解答】解：圆周率π＝3.1415926……精确到0.001是3.142，
故答案为：3.142．
10．（3分）把二元一次方程3x﹣4y＝1写成用含x的式子表示y的形式，则y＝　　 ．
【解答】解：3x﹣4y＝1，
移项得：4y＝3x﹣1，
系数化成1得：y．
故答案为：．
11．（3分）若（x+3）3＝﹣1，则x的值为　﹣4　 ．
【解答】解：∵（x+3）3＝﹣1，
∴x+3＝﹣1，
解得：x＝﹣4，
故答案为：﹣4．
12．（3分）命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是　假　 命题（填“真”或“假”）．
【解答】解：不成立，例如12＝（﹣1）2，但1≠（﹣1），
故命题“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题．
故答案为：假．
13．（3分）小明在计算（x﹣2）（x+n）时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则n的值为 　7　 ．
【解答】解：（x﹣2）（x+n）
＝x2+nx﹣2x﹣2n
＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∵结果中的一次项系数为5，
∴n﹣2＝5，
解得：n＝7，
故答案为：7．
14．（3分）已知关于x的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式m2﹣2m+5的值为　8　 ．
【解答】解：2x﹣1，
去分母，得：4x﹣2＜1+3x，
移项，合并同类项，得x＜3，
则最大的整数解是2．
把x＝2代入m＝3中，得m＝3，
∴m2﹣2m+5＝9﹣6+5＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝a，BC＝3a，∠B＝90°，将△ABC沿BC方向平移b个单位得△DEF（其中A，B，C的对应点分别是D，E，F），设DE交AC于点G，若△ADG的面积比△CEG的大7，则代数式a（3a﹣2b）的值为　﹣14　 ．
【解答】解：由题知，
因为△DEF由△ABC沿BC方向平移b个单位得到，
所以AD＝b．
又因为△ADG的面积比△CEG的大7，
所以矩形ABED的面积比△ABC的面积大7，
则ab7，
所以2ab﹣3a2＝14，
则a（3a﹣2b）＝3a2﹣2ab＝﹣14．
故答案为：﹣14．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，点D在AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，将所截△ADE沿过点A的某射线AF翻折后得到△AD′E′，当△AD′E′的某一边与BC平行时，锐角∠BAF的最大值为　65°　 ．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝90°﹣50°＝40°，
将所截△ADE沿过点A的某射线AF翻折后得到△AD′E′，当△AD′E′的某一边与BC平行时，分三种情况讨论：
当AD′∥BC时，∠CAD′＝∠C＝40°，
∴∠DAD′＝90°+40°＝130°，
根据折叠可知：；
当AE′∥BC时，如图2，∠BAE′＝∠B＝50°，
∴∠EAE′＝90°+50°＝140°，
根据折叠可知：，
∴∠BAF＝90°﹣70°＝20°；
当D′E′∥BC时，如图3，D′E′所在直线与DE所在直线重合，
根据折叠可知：∠DGA＝∠D′GA，
∵∠DGA+∠D′GA＝180°，
∴∠DGA＝∠D′GA＝90°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°，
∴∠BAF＝90°﹣50°＝40°；
∵65°＞40°＞20°，
∴∠BAF的最大值为65°．
故答案为：65°．
三、解答题（本大题共11小题，共60分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）（2a2）3﹣a8÷a2+（a﹣3）﹣2．
【解答】解：（1）
＝1
；
（2）（2a2）3﹣a8÷a2+（a﹣3）﹣2
＝8a6﹣a6+a6
＝8a6．
18．（6分）解方程组或不等式组：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1），
②﹣①×2，得x＝4，
将x＝4代入①得：4+2y＝2，
解得y＝﹣1，
则方程组的解为；
（2）由5x≥3x﹣1得：x，
由2得：x＜3，
则不等式组的解集为x＜3．
19．（4分）已知am＝8，an＝16．
（1）求am+n的值；
（2）求a3m﹣2n的值．
【解答】解：（1）∵am＝8，an＝16，
∴am+n＝am an＝8×16＝128；
（2）∵am＝8，an＝16，
∴a3m﹣2n＝a3m÷a2n＝（am）3÷（an）2＝83÷162＝2．
20．（4分）如图，某中学校园内有一块长为（x+2y）米，宽为（2x+y）米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
（1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；
（2）若x＝2，y＝5，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．
【解答】解：（1）由题意得：阴影部分的面积为：（2x+y）（x+2y）﹣2y2
＝2x2+4xy+xy+2y2﹣2y2
＝（2x2+5xy）平方米；
（2）当x＝2，y＝5时，
2x2+5xy
＝2×22+5×2×5
＝2×4+50
＝8+50
＝58（平方米），
58×50＝2900（元），
答：修建文化广场所需要的费用为2900元．
21．（4分）已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC＝2∠A．
【解答】解：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，
∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，
∵∠F+∠BDF＝∠ABC，∠ADE＝∠BDF，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A．
22．（4分）如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．
（1）利用格点画出BC边上的垂直平分线MN；
（2）平移△ABC，使点B移动到点B′的位置．
①画出平移后的△A′B′C′；
②若连接AA′，BB′，则这两条线段之间的位置关系是　平行　 ；
（3）平移结束后，四边形ACC′A′的面积是　28　 ．
【解答】解：（1）如图，直线MN即为所求．
（2）①如图，△A′B′C′即为所求．
②由平移得，这两条线段之间的位置关系是平行．
故答案为：平行．
（3）四边形ACC′A′的面积是28．
故答案为：28．
23．（5分）一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示．
按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于或等于23”为一次运行．
（1）若x＝6，该程序需要运行 　三　 次才停止；
（2）若该程序第一次运行后未停止，第二次运行后停止了，求x的取值范围．
【解答】解：（1）运行一次：6×2﹣3＝9；
运行二次：9×2﹣3＝15；
运行三次：15×2﹣3＝27．
∵27＞23，
∴若x＝6，该程序需要运行三次才停止．
故答案为：三；
（2）根据题意得：，
解得：8≤x＜13．
答：x的取值范围为8≤x＜13．
24．（5分）若m是一个正整数，且m除以3余2．判断2m2﹣5m+11是否一定能被9整除，并说明理由．
【解答】解：设m＝3k+2，（m是一个正整数），
2m2﹣5m+11
＝2（3k+2）2﹣5（3k+2）+11
＝2（9k2+12k+4）﹣（15k+10）+11
＝18k2+24k+8﹣15k﹣10+11
＝18k2+9k+9
＝9（2k2+k+1），
因为9（2k2+k+1）能被9整除，
所以2m2﹣5m+11能被9整除．
25．（7分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，如表中是近两天的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A B
第一天 3件 5件 1800元
第二天 4件 10件 3100元
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；
（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？
（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1300元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元，B款T恤衫的销售单价为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：A款T恤衫的销售单价为250元，B款T恤衫的销售单价为210元．
（2）设A款T恤衫采购了m件，则B款T恤衫采购了（30﹣m）件，
依题意，得：200m+170（30﹣m）≤5400，
解得：m≤10．
答：A款T恤衫最多能采购10件．
（3）依题意，得：（250﹣200）m+（210﹣170）（30﹣m）＝1300，
解得：m＝10，
∴当A款T恤衫采购了10件，B款T恤衫采购了20件时，销售完这30件T恤衫的利润为1300元．
26．（7分）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．
（1）如果关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，那么m的值为　　 ．
（2）已知A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，且A﹣3B的值与x的取值无关，求n的值．
（3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，设AB＝x，当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系．
【解答】解：（1）关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x＝（3m﹣1）x+2m2﹣2m，
∵关于x的多项式2m2+（3x﹣2）m﹣x的值与x的取值无关，
∴3m﹣1＝0，
即m，
故答案为：；
（2）∵A＝3x2+nx+2n，B＝x2﹣2nx+x，
∴A﹣3B＝（3x2+nx+2n）﹣3（x2﹣2nx+x）
＝3x2+nx+2n﹣3x2+6nx﹣3x
＝（7n﹣3）x+2n，
又∵A﹣3B的值与x的取值无关，
∴7n﹣3＝0，
即n；
（3）由题意得，阴影部分的面积S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）
∴5S1﹣3S2＝5×a（x﹣3b）﹣3×2b（x﹣2a）
＝5ax﹣15ab﹣6bx+12ab
＝（5a﹣6b）x﹣3ab，
∵当x变化时，5S1﹣3S2的值始终保持不变，
∴5a﹣6b＝0，
即5a＝6b．
27．（8分）（1）如图，正方形ABCD的四个内角∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠D均为直角，边AB在直线EF上，∠DAF的平分线AQ交正方形的边于点P．∠PAB的度数为　45°　 ；∠PAB与∠DAE的度数之间的关系为　　 ．
（2）将正方形ABCD绕点A旋转至如图②所示的位置，此时∠DAE＝α，∠DAF的平分线AQ交正方形的边BC于点P，请探究：∠PAB与∠DAE的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由．
（3）将正方形ABCD绕点A旋转至如图③的位置，AQ平分∠DAF，请探究∠QAB与∠DAE的度数之间的关系．
【解答】解：（1）如图①，由条件可知∠DAB＝90°，∠PAB＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴，
故答案为：45°，；
（2）∠PAB与∠DAE的度数之间的关系没有发生改变，理由如下：
如图②，由条件可知∠DAF＝180°﹣α，
∵∠DAF的平分线AQ交正方形的边BC于点P，
∴，
∴，
∴；
（3）如图③，由条件可知，
∴，
∵∠DAE＝180°﹣∠DAF，
∴，
∴．