【新课预习衔接】第二章 有理数的运算（培优卷.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 有理数的运算
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
2．（2024 黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011
3．（2024 秦都区二模）一个数的倒数是﹣2024，则这个数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
4．（2024秋 南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2024秋 蓝田县期中）课堂上，老师规定：符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中的较小数．例如：3△5＝5，5⊙3＝3．则[（6△3）⊙（﹣4）]÷[2⊙（6△5）]的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．1 D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 青岛期中）2024年“五一”假期，福州市累计接待游客约5763300人次，旅游总收入约5356000000元．将总收入用科学记数法表示为 　 　．
7．（2024 双流区期末）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|y|，那么2▲（﹣4）的值是 　 　．
8．（2024秋 鹿城区校级期中）若|a+1|与（b﹣2）2互为相反数，则a+b的值是 　 　．
9．（2024秋 西城区校级期中）有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：
这8筐白菜总计 　 　kg．
10．（2024秋 金水区期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差.2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日13：30，小红在北京观看电视直播的时间为 　 　.（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为8：00，东京时间为9：00，那么东京与北京的时差为9﹣8＝+1h）
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/h ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
12．（2024秋 西乡塘区校级期中）计算：．
13．（2024秋 杨浦区期中）计算：．
14．（2024秋 江南区期中）综合与实践
【问题情境】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用0～9十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为0或1．如（101）2就是二进制数101的简单写法，十进制数一般不标注基数．
【初探感知】（1）把十进制数转换成二进制数，采用“除以2取余数”的方法，即将十进制数除以2，然后对商继续除以2，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．例如将十进制数30转换为二进制数，如图所示，所以30的二进制为（11110）2．
任务1：仿照图，将23转换为二进制数．
【深入领悟】（2）关于不同进位制之间是可以相互转换的．例如二进制数转换为十进制数为：
（11）2＝1×21+1×20＝3
（101）2＝1×22+0×21+×1×20＝5
任务2：仿照上面过程，把（111）2转换为十进制数．
15．（2024秋 南海区期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表所示．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33
（1）最多的一天比最少的一天多走 　 　km；这7天一共行驶 　 　千米．
（2）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？
新课预习衔接 有理数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 沂水县校级月考）﹣2024的倒数是（　　）
A．﹣2024 B．2024 C． D．
【考点】倒数．2024
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
【解答】解：∵，
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2．（2024 黄岩区一模）随着人工智能（AI）技术的飞速发展，全球范围内的算力竞赛愈发激烈．调查显示，数据和算力中心每处理1G数据大约需要消耗电力13千瓦时．国网能源研究院曾测算，到2030年国内数据和算力中心的用电量将超过400000000000千瓦时，数据400000000000用科学记数法可以表示为（　　）
A．0.4×1012 B．0.4×1011 C．4×1012 D．4×1011
【考点】科学记数法—表示较大的数．2024
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：400000000000＝4×1011．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
3．（2024 秦都区二模）一个数的倒数是﹣2024，则这个数是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【考点】倒数．2024
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【解答】解：一个数的倒数是﹣2024，所以这个数是，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
4．（2024秋 南海区期中）在下列各数中：﹣10，（﹣4）2，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021，0．其中是负数的有（　　）个．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】有理数的乘方；正数和负数；相反数；绝对值．2024
【专题】实数；符号意识．
【答案】D
【分析】先判断各数的符号，再辨别、求解．
【解答】解：∵﹣10，+（﹣3），﹣5，﹣|﹣2|，（﹣1）2021是负数，
∴其中是负数的有5个，
故选：D．
【点评】此题考查了正负数概念的应用能力，关键是能准确理解和运用以上知识．
5．（2024秋 蓝田县期中）课堂上，老师规定：符号“△”为选择两数中的较大数，“⊙”为选择两数中的较小数．例如：3△5＝5，5⊙3＝3．则[（6△3）⊙（﹣4）]÷[2⊙（6△5）]的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．1 D．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据新定义先计算大括号里面的运算，然后再计算小括号里面的，最后再计算有理数的除法运算即可．
【解答】解：原式＝[6⊙（﹣4）]÷（2⊙6）
＝（﹣4）÷2
＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了新定义的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 青岛期中）2024年“五一”假期，福州市累计接待游客约5763300人次，旅游总收入约5356000000元．将总收入用科学记数法表示为 　5.356×109　．
【考点】科学记数法—表示较大的数．2024
【专题】实数；符号意识．
【答案】5.356×109．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5356000000＝5.356×109．
故答案为：5.356×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2024 双流区期末）定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y＝x+xy+|y|，那么2▲（﹣4）的值是 　﹣2　．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据题中给出的新定义的运算法则直接运算即可．
【解答】解：∵x▲y＝x+xy+|y|，
∴2▲（﹣4）＝2+2×（﹣4）+|﹣4|＝2﹣8+4＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了新定义下的运算，按照题中给出的新定义的运算法则正确计算是解答本题的关键．
8．（2024秋 鹿城区校级期中）若|a+1|与（b﹣2）2互为相反数，则a+b的值是 　1　．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．2024
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵|a+1|和（b﹣2）2互为相反数，
∴|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴a+b＝﹣1+2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
9．（2024秋 西城区校级期中）有8筐白菜，以每筐25kg为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后记录如下：
这8筐白菜总计 　194.5　kg．
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】194.5．
【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：25×8+（1.5﹣3+2﹣0.5+1﹣2﹣2﹣2.5）
＝200﹣5.5
＝194.5（kg），
即这8筐白菜总计194.5kg，
故答案为：194.5．
【点评】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
10．（2024秋 金水区期中）下表列出了国外几个城市与北京的时差.2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地时间8月3日13：30，小红在北京观看电视直播的时间为 　20：30　.（甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，如当北京时间为8：00，东京时间为9：00，那么东京与北京的时差为9﹣8＝+1h）
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/h ﹣13 ﹣7 +1 ﹣14
【考点】有理数的减法；正数和负数．2024
【专题】实数；应用意识．
【答案】20：30．
【分析】根据题意可知，巴黎时间减去北京时间＝﹣7h，由2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地8月3日13：30，由此计算13时30分加上7时即可得出答案．
【解答】解：∵由2024年巴黎奥运会网球女单决赛时间为当地8月3日13：30，巴黎与北京是时差为﹣7h，
∴13时30分﹣北京时间＝﹣7时，
∴北京时间为13时30分+7时＝20时30分，即北京时间是20：30．
故答案为：20：30．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，正数和负数在实际中的应用，掌握有理数的减法运算法则，正数和负数是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 深圳校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）﹣9；
（3）14；
（4）﹣28．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可；
（2）根据乘除混合运算计算即可；
（3）根据乘法分配律和有理数的乘方计算即可；
（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
＝﹣32
2
2
＝﹣9；
（3）
＝5﹣（2﹣20+9）
＝5﹣（﹣18+9）
＝5﹣（﹣9）
＝5+9
＝14；
（4）
＝﹣27﹣152
＝﹣27﹣3+2
＝﹣28．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，准确计算是解题的关键．
12．（2024秋 西乡塘区校级期中）计算：．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】3．
【分析】先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：原式＝﹣8﹣9×（）+8
＝﹣8+3+8
＝3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
13．（2024秋 杨浦区期中）计算：．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】8．
【分析】先计算括号内的式子，再算括号外的乘法，然后计算括号外的加法即可．
【解答】解：
＝2（41）2
＝262
＝232
＝8．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
14．（2024秋 江南区期中）综合与实践
【问题情境】进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．日常生活中我们最常用的是十进制，使用0～9十个数字记数，而电子计算机使用的是二进制，其各数位上的数字为0或1．如（101）2就是二进制数101的简单写法，十进制数一般不标注基数．
【初探感知】（1）把十进制数转换成二进制数，采用“除以2取余数”的方法，即将十进制数除以2，然后对商继续除以2，直到商等于0为止，最后将所有的余数从后往前倒序写，就是结果．例如将十进制数30转换为二进制数，如图所示，所以30的二进制为（11110）2．
任务1：仿照图，将23转换为二进制数．
【深入领悟】（2）关于不同进位制之间是可以相互转换的．例如二进制数转换为十进制数为：
（11）2＝1×21+1×20＝3
（101）2＝1×22+0×21+×1×20＝5
任务2：仿照上面过程，把（111）2转换为十进制数．
【考点】有理数的混合运算．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）（10111）2；
（2）7．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）23÷2＝11……1，
11÷2＝5……1，
5÷2＝2……1，
2÷2＝1……0，
1÷2＝0……1，
则将23转换为二进制数为（10111）2；
（2）（111）2＝1×22+1×21+1×20＝4+2+1＝7．
【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
15．（2024秋 南海区期中）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措．为响应国家政策，何老师新换了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表所示．以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程（km） ﹣8 ﹣12 ﹣16 0 +22 +31 +33
（1）最多的一天比最少的一天多走 　49　km；这7天一共行驶 　400　千米．
（2）已知新能源汽车每行驶100km耗电量为15度，每度电为0.5元，何老师的爱车在这7天里一共花费多少元的电费？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．2024
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）49；400；
（2）30元．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）结合（1）中所求列式计算即可．
【解答】解：（1）33﹣（﹣16）
＝33+16
＝49（km），
即最多的一天比最少的一天多走49km；
50×7+（﹣8﹣12﹣16+0+22+31+33）
＝350+50
＝400（千米），
即这7天一共行驶400千米；
故答案为：49；400；
（2）400÷100×15×0.5＝30（元），
即何老师的爱车在这7天里一共花费30元的电费．
【点评】本题考查正数和负数，有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
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