【新课预习衔接】第十七章 因式分解（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 因式分解
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长宁区校级期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（　　）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
B．
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2）
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1
2．（2024秋 越秀区校级期中）如果4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，则m的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
3．（2024秋 宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
4．（2024秋 西城区校级期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．ab+ac+a＝a（b+c） B．a2﹣2a﹣3＝（a+3）（a﹣1）
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
5．（2024秋 榆树市校级期中）若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（　　）
A．9 B．16 C．20 D．25
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长宁区校级期中）因式分解：ax2y+axy2﹣axy＝ 　 　．
7．（2024秋 西山区校级期中）4x2﹣y2因式分解的结果为　 　．
8．（2024秋 南安市期中）已知x﹣y＝6，xy＝16，则x2y﹣xy2＝ 　 　．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式x2﹣y2+x+（　　）能因式分解，共有 　 　种填法．
10．（2024秋 杨浦区期中）多项式a2﹣b2+2a形加一个单项式后能用分组的方法进行因式分解．如果将a2和+2a分成一组，﹣b2和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　 　.（写出一个正确的单项式即可）
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 如东县期中）分解因式：
（1）2x（a﹣2）+y（2﹣a）；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
12．（2024秋 普陀区校级期中）已知a+b＝4，ab＝3，求代数式2a3b+2ab3﹣6ab的值．
13．（2024秋 宿城区校级期中）何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短边的边长，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
14．（2024秋 西城区校级期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为5＝22+12；再如：
M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“智慧数”．
（1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”　 　，并判断29是否为“智慧数”　 　（填“是”或者“否”）；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值．
15．（2024秋 莱芜区期中）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 　 　；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　 　.（因式分解形式）
新课预习衔接 因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 长宁区校级期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（　　）
A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2
B．
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2）
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义“将多项式化为几个整式的积的形式”，由此即可求解．
【解答】解：A．（x+y）（x﹣2y）＝x2﹣xy﹣2y2，是整数的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B．该式子等号右边不几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C．3x2﹣5x﹣2＝（3x+1）（x﹣2），是因式分解，符合题意；
D．3x2+6x+4＝3（x+1）2+1，等号右边不几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的概念，掌握其概念是解题的关键．
2．（2024秋 越秀区校级期中）如果4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，则m的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据题意可得4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+8），再根据多项式乘多项式的运算法则求解即可．
【解答】解：∵4x﹣3是4x2+5x+m的一个因式，
设4x2+5x+m＝（4x﹣3）（x+b），
∴4x2+（4b﹣3）x﹣3b＝4x2+5x+m，
∴4b﹣3＝5，m＝﹣3b，
解得b＝2，m＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解，得出另一个因式是解答本题的关键．
3．（2024秋 宝山区期中）下列整式中不含有x+1这个因式的是（　　）
A．x2﹣1 B．x4﹣x3+x2﹣1
C．x3+1 D．x4﹣x3﹣x2﹣1
【考点】因式分解﹣分组分解法；因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】B
【分析】将每个选项进行因式分解，即可作出判断．
【解答】解：A、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
B、x4﹣x3+x2﹣1＝（x4﹣x3）+（x2﹣1）＝x3（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x+1），不含有因式x+1，故此选项符合题意；
C、x3+1＝（x+1）（x2﹣x+1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
D、x4﹣x3﹣x2﹣1＝（x4﹣x2）﹣（x3+1）＝x2（x2﹣1）﹣（x3+1）＝x2（x+1）（x﹣1）﹣（x+1）（x2﹣x+1）＝（x+1）（x3﹣x2﹣x2+x﹣1）＝（x+1）（x3﹣2x2+x﹣1），含有因式x+1，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2024秋 西城区校级期中）下列因式分解正确的是（　　）
A．ab+ac+a＝a（b+c） B．a2﹣2a﹣3＝（a+3）（a﹣1）
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2 D．a4﹣16＝（a2+4）（a2﹣4）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据因式分解的方法对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．ab+ac+a＝a（b+c+1），故选项A错误；
B．a2﹣2a﹣3＝（a+1）（a﹣3），故选项B错误；
C．a2+2ab+b2＝（a+b）2，故选项C正确；
D．a4﹣16＝（a2）2﹣42＝（a2+4）（a2﹣4）＝（a2+4）（a+4）（a﹣4），故选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，提取公因式与公式法的总和运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
5．（2024秋 榆树市校级期中）若a+b＝4，ab＝5，则a2b+ab2的值为（　　）
A．9 B．16 C．20 D．25
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】将a2b+ab2提取公因式ab，进而将已知代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝5，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝5×4＝20，
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，正确找出公因式是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 长宁区校级期中）因式分解：ax2y+axy2﹣axy＝ 　axy（x+y﹣1）　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】axy（x+y﹣1）．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【解答】解：原式＝axy（x+y﹣1），
故答案为：axy（x+y﹣1）．
【点评】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2024秋 西山区校级期中）4x2﹣y2因式分解的结果为　（2x+y）（2x﹣y）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：4x2﹣y2＝（2x）2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）．
故答案为：（2x+y）（2x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
8．（2024秋 南安市期中）已知x﹣y＝6，xy＝16，则x2y﹣xy2＝ 　96　．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】96．
【分析】将所求式子因式分解，再将x﹣y＝6，xy＝16代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣y＝6，xy＝16，
∴x2y﹣xy2
＝xy（x﹣y）
＝16×6
＝96，
故答案为：96．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确因式分解的方法．
9．（2024秋 徐汇区校级期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式x2﹣y2+x+（　　）能因式分解，共有 　五　种填法．
【考点】因式分解﹣分组分解法；完全平方公式；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】五．
【分析】利用平方差公式，提公因式和完全平方公式的结构特征解答即可．
【解答】解：①可添加y：x2﹣y2+x+y＝（x+y）（x﹣y）+（x+y）＝（x+y）（x﹣y+1）；
②可添加﹣y：x2﹣y2+x﹣y＝（x+y）（x﹣y）+（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y+1）；
③可添加：x2﹣y2+x（x2+x）﹣y2＝（x）2﹣y2＝（xy）（xy）；
④可添加﹣x：x2﹣y2+x﹣x＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）；
⑤可添加y2：x2﹣y2+x+y2＝x2+x＝x（x+1）；
故答案为：五．
【点评】此题考查了利用分组分解法进行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键．
10．（2024秋 杨浦区期中）多项式a2﹣b2+2a形加一个单项式后能用分组的方法进行因式分解．如果将a2和+2a分成一组，﹣b2和此单项式分成一组，那么这个单项式为 　（答案不唯一）　.（写出一个正确的单项式即可）
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】先分解a2+2a得到分组后的公因式是a+2，从而可得答案．
【解答】解：∵a2+2a＝a（a+2），
∴﹣b2必须与一组，
∴
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是因式分解，掌握分组分解因式的方法是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 如东县期中）分解因式：
（1）2x（a﹣2）+y（2﹣a）；
（2）（x﹣2）（x﹣4）+1．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）（a﹣2）（2x﹣y）；
（2）（x﹣3）2．
【分析】（1）根据提公因式法因式分解即可；
（2）根据完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝2x（a﹣2）﹣y（a﹣2）
＝（a﹣2）（2x﹣y）；
（2）原式＝x2﹣6x+9
＝（x﹣3）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键．
12．（2024秋 普陀区校级期中）已知a+b＝4，ab＝3，求代数式2a3b+2ab3﹣6ab的值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】42．
【分析】将所求式子变形，然后将a+b＝4，ab＝3代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝3，
∴2a3b+2ab3﹣6ab
＝2ab（a2+b2）﹣6ab
＝2ab[（a+b）2﹣2ab]﹣6ab
＝2×3×（42﹣2×3）﹣6×3
＝2×3×（16﹣2×3）﹣6×3
＝6×（16﹣6）﹣18
＝6×10﹣18
＝60﹣18
＝42．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，巧妙变形，利用整体代入的思想解答．
13．（2024秋 宿城区校级期中）何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0
∴m+n＝0，n﹣3＝0∴m＝﹣3，n＝3
为什么要对2n2进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，求xy的值；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝10a+12b﹣61，c是△ABC中最短边的边长，且c为整数，那么c可能是哪几个数？
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】阅读型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，即可求出xy的值；
（2）由a2+b2＝10a+12b﹣61，得a，b的值．进一步根据三角形一边边长大于另两边之差，小于它们之和，则b﹣a＜c＜a+b，即可得到答案．
【解答】解（1）∵x2﹣4xy+5y2+2y+1＝0，
∴x2﹣4xy+4y2+y2+2y+1＝0，
则（x﹣2y）2+（y+1）2＝0，
解得x＝﹣2，y＝﹣1，
故；
（2）∵a2+b2＝10a+12b﹣61，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵1＜c＜11，且c为最短边，c为整数，
∴c为2，3，4，5．
【点评】此题考查了因式分解的实际运用，非负数的性质以及三角形的三边关系，分组利用完全平方公式分解因式是解决问题的关键．
14．（2024秋 西城区校级期中）在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为5＝22+12；再如：
M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“智慧数”．
（1）请你再写一个小于10的（5除外）“智慧数”　8　，并判断29是否为“智慧数”　是　（填“是”或者“否”）；
（2）已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】（1）8，是；
（2）13．
【分析】（1）根据新定义“智慧数”，仿照示例，可得到结果；
（2）把S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x，y是整数）化为＝（x+2）2+4（y）2+k﹣13，从而得到结果．
【解答】解：（1）∵8＝22+22，
∴8是“智慧数”，
∵29＝4+25＝22+52，
∴29是“智慧数”，
故答案为：8，是；
（2）∵x2+4x+4＝（x+2）2，y2﹣3y（x）2，
∴S＝x2+4y2+4x﹣12y+k
＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13
＝（x+2）2+4（y）2+k﹣13，
∵S为“智慧数”，
∴k﹣13＝0，
∴k＝13．
【点评】本题考查了新定义“智慧数”的应用，读懂题意，熟练应用新定义是解题的关键．
15．（2024秋 莱芜区期中）把几个图形拼成一个新的图形．再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若图中①②都是剪成边长为a的大正方形，③④都是剪成边长为b的小正方形，剩下的都是剪成边长分别为a、b的小长方形．
（1）观察图形，可以发现多项式2a2+5ab+2b2因式分解为 　（a+2b）（2a+b）　；
（2）若每块小长方形的面积为4，四个正方形的面积之和为34，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和；
（3）类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式．如图2表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）　.（因式分解形式）
【考点】因式分解的应用；展开图折叠成几何体；完全平方公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（a+2b）（2a+b）；
（2）30；
（3）x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．
【分析】（1）根据图1大长方形面积的两种不同表示方法即可得到答案；
（2）根据题意得到，进而求出a+b＝5，再根据题意求解即可；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，由此根据两种表示方法体积相同即可得到答案．
【解答】解：（1）∵图1是一个长和宽分别为（a+2b），（2a+b）的大长方形，
∴图1中的大长方形面积为（a+2b），（2a+b）；
又∵图1中的大长方形面积等于2个边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积再加上5个长和宽分别为a、b的长方形面积，
∴2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），
故答案为：（a+2b）（2a+b）；
（2）由题意得，，
∴a2+b2＝17，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝17+2×4＝25，
∴a+b＝5（负值舍去），
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和＝2（a+2b）+2（2a+b）
＝2a+4b+4a+2b
＝6（a+b）
＝30；
（3）根据长方体体积公式可知，图2右边一幅图的体积为x（x+2）（x﹣2），
又由题意可知，图2右边一幅图的体积等于棱长为x的正方体体积减去一个长、宽、高分别为x，2，2的长方体，即x3﹣x 2 2＝x3﹣x，
∴x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2），
故答案为：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的变形求值，正确理解题意利用数形结合的方法是解题的关键．
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