【新课预习衔接】第十三章 三角形（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 惠城区期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB等于（　　）
A．360° B．720° C．180° D．540°
2．（2024秋 五华区校级期中）如图，∠α的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．（2024秋 江南区期中）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形具有稳定性
D．垂线段最短
4．（2024秋 武都区期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．6，8，10 D．7，11，3
5．（2024秋 南开区期中）如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（　　）
A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90°
C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 余姚市期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　 　（只填一个）．
7．（2024秋 龙湾区期中）将一副三角板如图摆放，则∠1＝　 　度．
8．（2024秋 凉州区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝ 　 　．
9．（2024秋 龙湖区期末）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A的大小为 　 　．
10．（2024秋 肥城市期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　 　°．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 杭州期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线．
（1）CD 　 　AC．（填“＜”或“＞”）
（2）AC+BC 　 　AB．（填“＜”或“＞”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD 　 　CE．（填“≤”或“≥”）
12．（2024秋 拜城县期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°，90°，60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为90°；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　 　；
（2）如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以∠AOC为“优雅角”的“优雅角三角形”AOC，求∠ACB的度数．
13．（2024秋 五华区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝78°，∠C＝42°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠AEC与∠DAE的度数．
14．（2024春 邗江区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC＝60°，∠AEB＝70°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
15．（2024秋 商丘期中）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
新课预习衔接 三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 惠城区期中）如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB等于（　　）
A．360° B．720° C．180° D．540°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】如图可知∠A、∠B、∠AFB是△ABF的内角，∠C、∠D、∠DEC是△CDE的内角，进而即可求出答案．
【解答】解：∵∠A、∠B、∠AFB是△ABF的内角，∠C、∠D、∠DEC是△CDE的内角，
∴∠A+∠B+∠AFB＝180°，∠C+∠D+∠DEC＝180°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEC+∠AFB＝360°．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，多边形内角与外角，掌握相应的定义是关键．
2．（2024秋 五华区校级期中）如图，∠α的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据“三角形的外角等于与它不相邻的两内角和”的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵∠1＝∠α+10°＝30°+20°，
∴∠α＝20°+30°﹣10°＝40°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解决此题的关键．
3．（2024秋 江南区期中）2024年10月15日至20日举行环广西公路自行车世界巡回赛，如图，自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是（　　）
A．两点之间，线段最短
B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形具有稳定性
D．垂线段最短
【考点】三角形的稳定性；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案．
【解答】解：自行车的车架上常常会焊接一横梁，运用的数学原理是三角形具有稳定性．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的稳定性，线段的性质，垂线段最短，关键是掌握三角形具有稳定性．
4．（2024秋 武都区期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3.5 B．4，5，9 C．6，8，10 D．7，11，3
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系即可求
【解答】解：A选项，1+2＝3，两边之和等于第三边，故不能组成三角形，不符合题意；
B选项，3+5＝8＜9，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，不符合题意；
C选项，6+8＝14＞10，两边之和大于第三边，故能组成三角形，符合题意；
D选项，3+7＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查三角形的三边关系，要掌握并熟记三角形的三边关系：在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．（2024秋 南开区期中）如图，∠ACF和∠FBG均为△ABC的外角，∠ACF的平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠FBG的平分线相交于点E，则下列结论错误的是（　　）
A．∠E＝∠A B．∠DBE＝90°
C．2∠D＝∠A D．∠E+∠DCF＝90°+∠ABD
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线的定义和平角判定选项B；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定C；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定A；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定D．
【解答】解：∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC++BCE）＝180°﹣（90°A）＝90°∠A，故A错误；
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴2∠D＝∠A，故C正确；
∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBG，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠DBE＝90°，故B正确；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD，故D正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 余姚市期中）已知三角形的三边长分别为3，5，x，若x是整数，则x的值可取 　3（答案不唯一）　（只填一个）．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】3（答案不唯一）．
【分析】根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．
∵x是整数，
∴x可以取3．
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
7．（2024秋 龙湾区期中）将一副三角板如图摆放，则∠1＝　85　度．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】85．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ECD，进而求出∠BCD，再求出∠ACD，再根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵∠D＝30°，
∴∠ECD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝60°﹣10°＝50°，
∴∠ACD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠1＝∠ACD+∠A＝85°，
故答案为：85．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8．（2024秋 凉州区校级期中）已知a，b，c为△ABC的三条边，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝ 　2b﹣2c　．
【考点】三角形三边关系；绝对值．
【专题】实数；三角形；运算能力；推理能力．
【答案】2b﹣2c．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边可得a+b＞c，a+c＞b，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：a+b＞c，a+c＞b，
∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＝b﹣（a+c）＜0，
∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|
＝|a+b﹣c|﹣|b﹣（a+c）|
＝a+b﹣c﹣（a+c﹣b）
＝a+b﹣c﹣a﹣c+b
＝2b﹣2c．
故答案为：2b﹣2c．
【点评】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质．
9．（2024秋 龙湖区期末）如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，若∠B＝45°，∠ACD＝150°，则∠A的大小为 　105°　．
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】105°．
【分析】根据三角形外角的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
又∵∠B＝45°，∠ACD＝150°，
∴∠A＝150°﹣45°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
10．（2024秋 肥城市期末）如图，点M，N分别在AB，AC上，MN∥BC，将△ABC沿MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A′＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝　116　°．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】116．
【分析】由图形可知∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM，故应设法求出∠MNC、∠A′NM的度数．由折叠的性质和三角形的内角和为180°，可以求出∠C的度数；然后再根据由MN∥BC得到∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°，从而求出∠ANM和∠MNC的度数．由折叠的性质可知∠A′NM＝∠ANM，进而解答题目．
【解答】解：根据折叠的性质可得∠A＝∠A′＝28°，∠A′NM＝∠ANM．
∵∠A＝28°，∠B＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝32°．
∵MN∥BC，
∴∠ANM＝∠C，∠CNM+∠C＝180°．
∴∠CNM＝180°﹣∠C＝148°．
∵∠A′NM＝∠ANM，∠ANM＝∠C，
∴∠A′NM＝∠C＝32°．
∴∠A′NC＝∠CNM﹣∠A′NM＝148°﹣32°＝116°．
故答案为：116．
【点评】本题考查三角形内角和定理，需要掌握平行线的性质和折叠的性质找出角之间的数量关系．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 杭州期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线．
（1）CD 　＜　AC．（填“＜”或“＞”）
（2）AC+BC 　＞　AB．（填“＜”或“＞”）
（3）若点E是线段AB上的一个动点，连结CE，则CD 　＜　CE．（填“≤”或“≥”）
【考点】三角形三边关系；垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】（1）＜；
（2）＞；
（3）＜．
【分析】（1）利用垂线段最短进行分析作答；
（2）利用三角形的三边关系进行分析作答；
（3）利用垂线段最短进行分析作答．
【解答】解：（1）∵CD是斜边AB上的高线，
∴CD⊥AB，
∴CD＜AC．
故答案为：＜；
（2）由三角形的三边关系得：AC+BC＞AB．
故答案为：＞；
（3）由（1）知，CD⊥AB，
∵点E是线段AB上的一个动点，
∴CD＜CE．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系和垂线段最短．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
12．（2024秋 拜城县期中）阅读材料：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°，90°，60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”的度数为90°；反之，若一个三角形是“优雅三角形”，则这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为 　45°　；
（2）如图，∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM，交ON于点B，以A为端点画射线AC，交线段OB于点C（点C不与点O，B重合），得到一个以∠AOC为“优雅角”的“优雅角三角形”AOC，求∠ACB的度数．
【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】（1）45°；
（2）∠ACB的度数为80°．
【分析】（1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
（2）先求出∠MON＝60°，结合△AOC是“优雅三角形”，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵一个“优雅三角形”的一个内角为120°，
∴另两个角之和为：180°﹣120°＝60°，
∵“优雅角”为锐角，
根据“优雅三角形”的定义得：，
故答案为：45°；
（2）由题意可知：∠OAB＝∠MAB＝90°，
∵点C在线段OB上，
∴0°≤∠OAC≤90°，
∵∠MON＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∵△AOC是以∠AOC为优雅角的“优雅三角形”，
∴∠OAC＝20°，
则∠ACO＝100°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACO＝180°﹣100°＝80°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质，解题的关键是能对新定义的理解和运用．
13．（2024秋 五华区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝78°，∠C＝42°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，求∠AEC与∠DAE的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】计算题；三角形；推理能力．
【答案】∠AEC＝108°；∠DAE＝18°．
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠BAC、∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠BAE，最后利用三角形的内角和定理及推论求出∠AEC与∠DAE的度数．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠B＝78°，∠C＝42°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣78°﹣42°
＝60°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE∠BAC＝30°．
∴∠AEC＝∠B+∠BAE
＝78°+30°
＝108°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°．
∴∠BAD＝90°﹣∠B
＝90°﹣78°
＝12°．
∵∠BAD+∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝30°﹣12°
＝18°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握“三角形的内角和是180°”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义是解决本题的关键．
14．（2024春 邗江区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠ABC＝60°，∠AEB＝70°．
（1）求∠CAD的度数；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）50°；
（2）20°或60°．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得∠ABE＝∠CBE＝30°，由三角形外角定理得∠AEB＝∠CBE+∠C＝70°，据此可得∠C＝40°，再根据AD⊥BC可得∠CAD的度数；
（2）根据∠C＝40°可知当△EFC为直角三角形时，有以下两种情况：①当∠FEC＝90°时，先求出∠BEC＝180°﹣∠AEB＝110°，再根据∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC可得∠BEF的度数；②当∠EFC＝90°时，根据∠BFE＝90°，∠CBE＝30°可得∠BEF的度数．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，若∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBE∠ABC60°＝30°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠C＝70°，
∴∠C＝70°﹣∠CBE＝70°﹣30°＝40°，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝50°；
（2）∵∠C＝40°，
∴当△EFC为直角三角形时，有以下两种情况：
①当∠FEC＝90°时，如图1所示：
∵∠BEC+∠AEB＝180°，∠AEB＝70°，
∴∠BEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠BEF＝∠BEC﹣∠FEC＝110°﹣90°＝20°；
②当∠EFC＝90°时，如图2所示：
∴∠BFE＝90°，
∵∠CBE＝30°，
∴∠BEF＝90°﹣∠CBE＝60°．
综上所述：当△EFC为直角三角形时，∠BEF的度数是20°或60°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形的外角定理，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角定理是解决问题的关键．
15．（2024秋 商丘期中）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，求△ABC的各内角的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°，
∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°，
由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，
解得∠A＝50°，
所以，∠B＝50°+10°＝60°，
∠C＝50°+20°＝70°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用∠A表示出∠C然后列出关于∠A的方程是解题的关键．
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