【新课预习衔接】15.1图形的轴对称（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 图形的轴对称
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 浏阳市期中）甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 新吴区期中）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（　　）
A．正方形 B．角
C．圆 D．直角三角形
3．（2024秋 江夏区校级期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
4．（2024秋 思明区校级期中）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA，OB的对称点分别是H，G，直线HG交OA，OB于点C，D，若△HOG的周长是15，且∠AOB＝30°，则HG的长为（　　）
A． B． C． D．5
5．（2024秋 龙湾区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为 　 　．
7．（2024秋 苏州期中）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D．连接BD．若AC＝12，CD＝7．则BD＝　 　．
8．（2024秋 玄武区校级期中）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 　 　．
9．（2024秋 南岗区校级期中）如图，△ABC中，AC＝5，BC的垂直平分线EF与AC相交于点D，若△ABD的周长是9，则AB的长为 　 　．
10．（2024秋 梁山县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD，若AC＝6，BD＝2，则DC的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 惠山区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝10，求△CMN的周长；
（2）若∠MFN＝70°，则∠MCN的度数为 　 　．
12．（2024秋 温州期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（1）在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．
（2）在（1）的条件下，连结AF，若AE＝3，△ABC的周长为18，求△ACF的周长．
13．（2024秋 五华区校级期中）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E．
（1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　 　；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数；
（3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上．
14．（2024秋 武汉期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
15．（2024秋 新北区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求∠PDE的度数；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
新课预习衔接 图形的轴对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 浏阳市期中）甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形求解．
【解答】解：A、选项中的图形是轴对称图形，不合题意；
B、选项中的图形是轴对称图形，不合题意；
C、选项中的图形是轴对称图形，不合题意；
D、选项中的图形不是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，掌握图形两部分折叠后可重合的图形是轴对称图形是关键．
2．（2024秋 新吴区期中）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（　　）
A．正方形 B．角
C．圆 D．直角三角形
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：正方形、角、圆都找到这样的一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
直角三角形不一定能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2024秋 江夏区校级期中）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键．
4．（2024秋 思明区校级期中）如图，点P是∠AOB内部一点，点P关于OA，OB的对称点分别是H，G，直线HG交OA，OB于点C，D，若△HOG的周长是15，且∠AOB＝30°，则HG的长为（　　）
A． B． C． D．5
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】由轴对称的性质知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，OP＝OH，OP＝OG，证明△HOG是等边三角形，求解即可．
【解答】解：连接OP，
由轴对称的性质知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，OP＝OG，OP＝OH，
∵∠AOB＝30°，即∠2+∠3＝30°，
∴OP＝OG＝OH，∠HOG＝2（∠2+∠3）＝60°，
∴△HOG是等边三角形，
∵△HOG的周长是15，
∴HG的长为15÷3＝5，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．
5．（2024秋 龙湾区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】过F点作FH⊥AB于H点，利用基本作图得到AM平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到FH＝FC，即可得的答案．
【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，
∵BF＝5，BC＝9，
∴FC＝4，
由作图痕迹得AM平分∠BAC，
而FC⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FC＝4，
点F到AB的距离为4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图和角平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，点E为边AC的中点，DE⊥AC，交BC于点D，若AB＝5，BC＝13，则BD的长为 　8　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】8．
【分析】连接AD，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接AD，
∵点E为边AC的中点，DE⊥AC，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，
∵∠B＝2∠C，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD＝5，
∴CD＝AD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2024秋 苏州期中）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D．连接BD．若AC＝12，CD＝7．则BD＝　5　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】5．
【分析】求出AD＝12﹣7＝5，由线段垂直平分线的性质推出BD＝AD＝5．
【解答】解：∵AC＝12，CD＝7，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣7＝5，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线的性质得，BD＝AD＝5．
所以BD的长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用．
8．（2024秋 玄武区校级期中）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若AB＝AC，CE＝5，BC＝6，则△ABC的周长等于 　16　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据线段垂直平分线得到AC＝CE＝5，直接根据周长公式计算即可．
【解答】解：∵MN垂直平分AE，
∴AC＝CE＝5，
∴AB＝AC＝5，
又∵BC＝6，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5+5+6＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2024秋 南岗区校级期中）如图，△ABC中，AC＝5，BC的垂直平分线EF与AC相交于点D，若△ABD的周长是9，则AB的长为 　4　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据中垂线的性质，可得DC＝DB，继而可利用△ABD的周长求出AB+AC即可求解．
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝9．
∵AC＝5，
∴AB＝9﹣5＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
10．（2024秋 梁山县期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接BD，若AC＝6，BD＝2，则DC的长为 　4　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD＝2，则CD＝AC﹣AD＝4．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，
∴AD＝BD＝2，
∵AC＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 惠山区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若AB＝10，求△CMN的周长；
（2）若∠MFN＝70°，则∠MCN的度数为 　40°　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）10；
（2）40°．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MC，NC＝NB，再根据三角形周长公式计算即可；
（2）根据三角形内角和定理得到∠FMN+∠FNM＝110°，根据对顶角相等、直角三角形的性质求出∠A+∠B，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】解：（1）∵DM是线段AC的垂直平分线，
∴MA＝MC，
∵EN是线段BC的垂直平分线，
∴NC＝NB，
∴△CMN的周长＝MC+MN+NC＝MA+MN+NB＝AB＝10；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣70°＝110°，
∴∠AMD+∠BNE＝180°﹣70°＝110°，
∵MD⊥AC，NE⊥AB，
∴∠A+∠B＝180°﹣110°＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣70°＝110°，
∵MA＝MC，NC＝NB，
∴∠MCA＝∠A，∠NCB＝∠B，
∴∠MCA+∠NCB＝70°，
∴∠MCN＝110°﹣70°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．（2024秋 温州期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（1）在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．
（2）在（1）的条件下，连结AF，若AE＝3，△ABC的周长为18，求△ACF的周长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】（1）图形见解析；
（2）12．
【分析】（1）作BC的垂直平分线，交AC于点E，交BC于点F，则EF为所作；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到AF＝BF，AB＝6，进而证得ACF的周长＝BC+AC，由三角形的周长公式可求得AC+BC＝12，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，EF为所求；
（2）∵BC的垂直平分线，
∴AF＝BF，BE＝AE＝3，
∴AB＝6，
∵△ABC的周长为18，
∴AB+AC+BC＝18，
∴AC+BC＝12，
∴△ACF的周长＝AF+CF+AC＝BF+CF+AC＝BC+AC＝12．
【点评】本题考查了作图和线段垂直平分线的性质，解决此类题目的关键是熟悉五种基本几何图形．
13．（2024秋 五华区校级期中）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E．
（1）若BC＝15，DE＝4，则AD+AE＝　11　；
（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数；
（3）设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】（1）11；
（2）20°；
（3）点O在BC的垂直平分线上，理由见解析．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，EA＝EC，则AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝11；
（2）先由三角形内角和定理得到∠B+∠C＝80°，再由等边对等角得到∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，则∠DAB+∠EAC＝80°，据此可得∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝20°；
（3）如图，连接OA，OB，OC，由线段垂直平分线的性质证明OB＝OC，即可证明点O在BC的垂直平分线上．
【解答】解：（1）∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DB＝DA，EA＝EC．
∵BC＝15，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝15﹣4＝11，
故答案为：11；
（2）∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°．
∵DA＝DB，EA＝EC，
∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠EAC，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝100°﹣80°＝20°，
∴∠DAE的度数为20°；
（3）点O在BC的垂直平分线上．理由如下：
如图，连接OA，OB，OC，
∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
14．（2024秋 武汉期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）75°．
【分析】（1）连接AE，由题意可判定AD垂直平分CE，由线段垂直平分线的性质可得AC＝AE＝BE，即可证明结论；
（2）由等腰三角形的性质可求∠BAE＝35°，由直角三角形的性质可得∠BAD的度数，即可求得∠EAD，∠CAD的度数，进而可求解．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．
15．（2024秋 新北区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）求∠PDE的度数；
（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求线段DE的长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）90°；
（2）．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠PDA，根据三角形的外角性质得到∠CPD＝2∠A，根据线段垂直平分线的性质得到ED＝EB，得到∠B＝∠EDB，得到∠CED＝2∠B，根据四边形内角和等于360°计算即可；
（2）根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
∵PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA，
∴∠CPD＝∠A+∠PDA＝2∠A，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴ED＝EB，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，
∴∠CPD+∠CED＝2（∠A+∠B）＝180°，
∴∠PDE＝360°﹣180°﹣90°＝90°；
（2）如图，连接PE，
∵AC＝6，PA＝2，
∴PC＝6﹣2＝4，
∵BC＝8，
∴CE＝8﹣BE＝8﹣DE，
则PC2+CE2＝PD2+DE2，即42+（8﹣DE）2＝22+DE2，
解得：DE．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
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