【新课预习衔接】15.3等腰三角形（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

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新课预习衔接 等腰三角形
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
3．（2024秋 龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）
A．25° B．60° C．85° D．95°
4．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
5．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　 　cm．
7．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 　 　．
8．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有　 　个．
9．（2024秋 香坊区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 　 　．
10．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，BD＝CD，F是AC上一点，连接BF，交AD于点E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，则求∠FBC的度数为　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
13．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一个动点．
（1）当∠A＝2∠BCD，AD＝CD时，求∠BCD的度数．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求证：AD+AC＝2AB
14．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为18，求△ABC的周长．
15．（2024秋 苏州期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝1．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
新课预习衔接 等腰三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG＝4，ED＝9，则BE+DC的值为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵FG＝4，ED＝9，
∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝13，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．
2．（2024秋 南开区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5，则BF的长为（　　）
A．7.5 B．10 C．12 D．12.5
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DH⊥AC于点H，由题意易得AD平分∠CAB，则有DE＝DH，然后根据等积法可进行求解．
【解答】解：如图所示，过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC于点D，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AB于点E，DE＝5，
∴DE＝DH＝5，
∵，
∴2DH＝BF，
∴BF＝10；
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（2024秋 龙山区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）
A．25° B．60° C．85° D．95°
【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质．
【答案】D
【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．
4．（2024春 泾阳县期中）等腰三角形的顶角是50°，则这个三角形的底角的大小是（　　）
A．50° B．65°或50° C．65° D．80°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：这个等腰三角形的一个底角为：（180﹣50）÷2＝65°，
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．（2024秋 香坊区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AB的垂线交BC于D，BD＝4，则CD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，求出∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，得到∠DAC＝∠C，因此AD＝DC，由含30°角的直角三角形的性质得到BD＝2AD，推出AD＝CD＝2即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC，
∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD＝4，
∴AD＝CD＝2，
∴CD＝2．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由以上知识点推出AD＝DC，BD＝2AD．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 兴宁区校级期中）如图是某种落地灯的简易示意图，DE为悬杆，BC为支杆．已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝120°，若CD的长度为30cm，则此时B，D两点之间的距离为 　30　cm．
【考点】等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】30
【分析】连接BD，证明△BCD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得到结论．
【解答】解：如图，连接BD，
∵∠BCE＝120°，∠BCD+BCE＝180°，
∴∠BCD＝60°，
∵BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD＝30cm，
此时B，D两点之间的距离为30cm，
故答案为：30．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是求出∠BCD＝60°．
7．（2024秋 江阴市期中）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC，AD＝2，则AB的长为 　2　．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD＝∠ADB，然后求出∠ABD＝∠ADB，可得结论．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，AD＝2，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记概念与性质是解题的关键．
8．（2024秋 新吴区期中）如图所示，在4×4的方格中每个小正方形的边长是单位1，小正方形的顶点称为格点．现有格点A、B，在方格中任意找一点C（必须是格点），使△ABC成为等腰三角形．这样的格点有　8　个．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】网格型．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别以A、B为圆心，AB的长为半径画圆，看其与方格是的交点是格点的个数即可．
【解答】解：
如图，分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆，
则其与方格的交点为格点的有8个，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键，注意利用画圆可以确定出满足条件的点．
9．（2024秋 香坊区校级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为等腰三角形，则∠ADC的度数为 　80°或110°　．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】80°或110°．
【分析】根据等腰三角形的性质可以求得∠B和∠C的度数，分两种情况：当AD＝BD时，当AB＝BD时，分别求解即可．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵点D在BC边上，△ABD为等腰三角形，
如图，当AD＝BD时，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
如图，当AB＝BD时，
∴∠BAD＝∠BDA（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝110°．
故答案为：80°或110°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质以及分类讨论的思想解答．
10．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，BD＝CD，F是AC上一点，连接BF，交AD于点E，且BE＝AC，若∠ACB＝60°，∠DAC＝40°，则求∠FBC的度数为　40°　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】40°．
【分析】延长AD到G使DG＝AD，连接BG，通过△ACD≌△GBD，根据全等三角形的性质得到∠CAD＝∠G，AC＝BG，等量代换得到BE＝BG，由等腰三角形的性质得到∠G＝∠BEG，即可得到∠AEF＝∠EAF，进而利用三角形内角和解答即可．
【解答】解：如图，延长AD到G使DG＝AD，连接BG，
在△ACD与△GBD中，
，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠CAD＝∠G，AC＝BG＝BE，
∴∠G＝∠BEG，
∵∠BEG＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∠BED＝∠AEF＝∠DAC＝40°，
∴∠FBC＝∠ADC﹣∠BED＝80°﹣40°＝40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 南开区期中）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，直线DE与CA的延长线相于点F．
（Ⅰ）证明：△ADF是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝3，求EC的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）5．
【分析】（1）由AB＝AC得∠B＝∠C，再根据余角性质可得∠F＝∠BDE，最后根据对顶角的性质可得∠F＝∠FDA，据此即可求证；
（2）由∠B＝60°可得∠BDE＝30°，进而由直角三角形的性质可得，又可得△ABC是等边三角形，得到BC＝AB＝AD+BD＝9，据此即可求解．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF＝∠BED＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠FDA，
∴AF＝AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵BD＝4，
∴BEBD＝2，
∵AB＝AC，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AD+BD＝7，
∴EC＝BC﹣BE＝5．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
12．（2024秋 浏阳市期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：△BED是等腰三角形．
（2）若BD平分△ABC的周长，△ADE的周长为15，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）30．
【分析】（1）由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB，可证得结论；
（2）根据三角形的周长公式解答即可．
【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC＝∠ABD，
∴BE＝ED，
∴△DBE为等腰三角形；
解：（2）∵BE＝ED，△ADE的周长为15，
∴AE+ED+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝15，
∵BD平分△ABC的周长，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2（AB+AD）＝30．
【点评】此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是由角平分线和平行线的性质可得到∠EBD＝∠EDB解答．
13．（2024秋 惠城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AB上一个动点．
（1）当∠A＝2∠BCD，AD＝CD时，求∠BCD的度数．
（2）已知∠A＝2∠BCD，求证：AD+AC＝2AB
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）18°；（2）见详解．
【分析】（1）设∠BCD＝x，由AD＝CD可知∠A＝∠ACD，因此∠A、∠ACD都可以用含x的式子表示，根据三角形内角和定理即可求出答案；
（2）延长AB到点E，使BE＝BA，连接CE，根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，得到CE＝CA，∠BCE＝∠BCA，再由等量代换得到∠ECD＝∠EDC，因此DE＝CE，进而即可证明结论．
【解答】解：（1）设∠BCD＝x，则∠A＝2∠BCD＝2x，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝2x，
∴2x+90°+x+2x＝180°，
解得x＝18°，
即∠BCD＝18°；
（2）如图，延长AB到点E，使BE＝BA，连接CE，
由作图可知：BC是AE的垂直平分线，
∴CE＝CA，
∴∠BCE＝∠BCA，
∵∠ECD＝∠BCE+∠BCD＝∠BCA+∠BCD＝∠DCA+2∠BCD＝∠DCA+∠A＝∠EDC，
∴DE＝CE，
∴AD+AC＝AD+CE＝AD+DE＝AE＝2AB，
即AD+AC＝2AB．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质及等量代换，熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2024秋 江阴市期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E．
（1）若∠A＝44°，求∠DCB的度数．
（2）若AE＝5，△DCB的周长为18，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）24°；
（2）28．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：∠ACB＝∠B＝68°，再利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠ACD＝44°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（2）根据三角形的周长公式可得：DC+DB+BC＝18，然后利用等量代换可得AD+DB+BC＝18，从而可得AB+BC＝18，再根据线段垂直平分线的性质可得AC＝10，从而进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝44°，
∴∠ACB＝∠B68°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠ACD＝44°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝68°﹣44°＝24°；
（2）∵△DCB的周长为18，
∴DC+DB+BC＝18，
∵AD＝CD，
∴AD+DB+BC＝18，
∴AB+BC＝18，
∵DE是AC的垂直平分线，AE＝5，
∴AC＝2AE＝10，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝10+18＝28．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
15．（2024秋 苏州期中）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝1．
（1）求CD的长；
（2）求△ABC的面积．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）CD＝1．（2）．
【分析】（1）根据AB＝AC，可得∠C＝∠B＝30°，根据AD⊥AC以及三角形的内角和定理可得∠BAD＝30°，即可得到AD＝CD＝1；
（2）根据含30°角的直角三角形的性质可得BD和AH，即可求出△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠CAD＝30°，
∵∠C＝30°，
∴∠CAD＝∠C，
∴CD＝AD＝1．
（2）如图，作AH⊥BC，垂足为H，
∵AD＝1，∠B＝30°，
∴BD＝2，AB，AH，
∴BC＝3，
S△ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
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