【新课预习衔接】18.5分式方程（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）
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| 名称 | 【新课预习衔接】18.5分式方程（培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 76.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-13 12:09:21 | ||
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文档简介
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新课预习衔接 分式方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 长安区校级期中）分式方程1的解是（ ）
A．x B．x C．x D．方程无解
3．（2024秋 长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
5．（2024 凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 ．
7．（2024秋 新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
8．（2024秋 昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ ．
9．（2024秋 鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 ．
10．（2024春 梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
12．（2024秋 北碚区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
13．（2024 邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
14．（2024秋 朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
15．（2024 武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
新课预习衔接 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；数感．
【答案】D
【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意；
B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意；
C中方程不是有理方程，则C不符合题意；
D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2024秋 长安区校级期中）分式方程1的解是（ ）
A．x B．x C．x D．方程无解
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝﹣（x﹣2），
去括号得：2x＝﹣x+2，
移项得：2x+x＝2，
合并得：3x＝2，
系数化为1，得：x，
检验：把x代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
3．（2024秋 长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设原来参加游览的同学共x人，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，可列方程．
【解答】解：设原来参加游览的同学共x人，由题意得，
5．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价作为等量关系列方程．
4．（2024 辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
【考点】解分式方程．
【答案】C
【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程．
【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x，
故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母．
5．（2024 凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，
由题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 ﹣2 ．
【考点】解分式方程；实数的运算．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：，
整理得：，
去分母得：x＝2x+2，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，根据题意列得正确的方程是解题的关键．
7．（2024秋 新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 1或 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】1或．
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关于x的分式方程无解，分两种情况可求得m．
【解答】解：
去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3，
（m﹣1）x＝﹣1．
∵关于x的分式方程无解，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
∴m＝1，
∵最简公分母x﹣3＝0，
∴x＝3，
当x＝3时，得，
综上m的值为1或．
故答案为：1或．
【点评】本题考查了分数方程求解，解决本题的关键是把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根．
8．（2024秋 昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 2 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】解分式方程，当x取增根时求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，
移项、合并同类项，得x＝3﹣a，
x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，
解得a＝2，
∴当a＝2时，原分式方程无解．
故答案为：2．
【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键．
9．（2024秋 鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 或10 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】或10．
【分析】分类讨论；分x＜5，x＞5两种情况，解分式方程即可．
【解答】解：由题意得：当x＜5时，
方程为，
解得：，
经检验，是分式方程的解；
当x＞5时，
方程为，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是分式方程的解；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【点评】本题考查了解分式方程，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．
10．（2024春 梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为 m＜6且m≠4 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程3得x＝﹣m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴﹣m+6＞0且﹣m+6≠2，
解这个不等式得m＜6且m≠4．
故答案为：m＜6且m≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 0 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【分析】（1）根据题意将原方程换元即可；
（2）利用换元法解方程后进行检验即可．
【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为0，
故答案为：0；
（2）设m，
则原方程化为m0，
解得：m1＝3，m2＝﹣3，
经检验，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m0的解，
当3时，
解得：x＝﹣3.5，
经检验，x＝﹣3.5是方程3的解；
当3时，
解得：x＝﹣1.25，
经检验，x＝﹣1.25是方程3的解；
故原方程的解为x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【点评】本题考查换元法解分式方程，掌握用换元法解分式方程的结构特征是正确解答的关键．
12．（2024秋 北碚区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x；（2）原方程无解．
【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可；
（2）利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：
2x﹣3＝2（2x﹣1），
去括号得：
2x﹣3＝4x﹣2，
移项，合并同类项得：
﹣2x＝1，
∴x．
经检验：x是原方程的解．
∴原方程的解为x．
（2）去分母得：
8+x2﹣4＝x（x+2），
去括号得：
8+x2﹣4＝x2+2x，
移项，合并同类项得：
2x＝4，
∴x＝2．
经检验：x＝2是原方程的增根．
∴原方程无解．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解法的一般步骤是解题的关键．
13．（2024 邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】每辆B型汽车进价是10万元．
【分析】设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，利用数量＝总价÷单价，结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得：20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．（2024秋 朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】a＜8且a≠2．
【分析】先根据解分式方程的方法求出x，然后再根据分式方程的解是正数列出不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可．
【解答】解：，
方程两边同乘（y﹣2），得y+a﹣2a＝4（y﹣2），
整理，得3y＝8﹣a，
∴，
∵y＞0，且y≠2，
0，且2，
解得：a＜8且a≠2，
∴a的取值范围为a＜8且a≠2．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
15．（2024 武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）篮球最少要卖33个．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入（x+30）中，即可求出篮球的单价；
（2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，结合总利润超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y，y+10均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，
根据题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝90+30＝120．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，
根据题意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（y+10）＞1300，
解得：y＞30，
又∵y，y+10均为正整数，
∴y的最小值为33．
答：篮球最少要卖33个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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新课预习衔接 分式方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 长安区校级期中）分式方程1的解是（ ）
A．x B．x C．x D．方程无解
3．（2024秋 长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
5．（2024 凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 ．
7．（2024秋 新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 ．
8．（2024秋 昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ ．
9．（2024秋 鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 ．
10．（2024春 梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
12．（2024秋 北碚区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
13．（2024 邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
14．（2024秋 朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
15．（2024 武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
新课预习衔接 分式方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春 普陀区期末）下列关于x的方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；数感．
【答案】D
【分析】分母中含有未知数的有理方程即为分式方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A中方程的分母中不含未知数，则A不符合题意；
B中方程的分母中不含未知数，则B不符合题意；
C中方程不是有理方程，则C不符合题意；
D中方程符合分式方程的定义，则D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．（2024秋 长安区校级期中）分式方程1的解是（ ）
A．x B．x C．x D．方程无解
【考点】解分式方程；分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝﹣（x﹣2），
去括号得：2x＝﹣x+2，
移项得：2x+x＝2，
合并得：3x＝2，
系数化为1，得：x，
检验：把x代入得：x﹣2≠0，
∴分式方程的解为x．
故选：C．
【点评】此题考查了解分式方程，以及分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
3．（2024秋 长安区校级期中）国庆期间，几个同学租一辆面包车去游览，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，设原来参加游览的同学共x人，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设原来参加游览的同学共x人，面包车的租价为300元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了5元钱车费，可列方程．
【解答】解：设原来参加游览的同学共x人，由题意得，
5．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键以钱数差价作为等量关系列方程．
4．（2024 辽宁二模）把分式方程化为整式方程，方程两边需同时乘以（ ）
A．2x B．2x﹣4 C．2x（x﹣2） D．2x（2x﹣4）
【考点】解分式方程．
【答案】C
【分析】首先找最简公分母，再化成整式方程．
【解答】解：由2x﹣4＝2（x﹣2），另一个分母为2x，
故可得方程最简公分母为2x（x﹣2）．
故选：C．
【点评】本题考查的是解分式方程，最简公分母的确定时将分式方程转化为整式方程的第一步，因此要根据所给分母确定最简公分母．
5．（2024 凉州区二模）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题．
【答案】A
【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8x km/h，
由题意得：，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024 港南区四模）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b满足．若，则x的值为 ﹣2 ．
【考点】解分式方程；实数的运算．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：由题意得：，
整理得：，
去分母得：x＝2x+2，
解得：x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，x（x+1）≠0，
故原方程的解为x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查解分式方程，根据题意列得正确的方程是解题的关键．
7．（2024秋 新邵县期中）若关于x的分式方程无解，则m的值是 1或 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】1或．
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关于x的分式方程无解，分两种情况可求得m．
【解答】解：
去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3，
（m﹣1）x＝﹣1．
∵关于x的分式方程无解，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
∴m＝1，
∵最简公分母x﹣3＝0，
∴x＝3，
当x＝3时，得，
综上m的值为1或．
故答案为：1或．
【点评】本题考查了分数方程求解，解决本题的关键是把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根．
8．（2024秋 昌平区期中）关于x的方程（a为常数）无解，则a＝ 2 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】解分式方程，当x取增根时求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，
移项、合并同类项，得x＝3﹣a，
x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，
解得a＝2，
∴当a＝2时，原分式方程无解．
故答案为：2．
【点评】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键．
9．（2024秋 鸡泽县期中）如图是一个电脑运算程序图，当输入不相等的a，b后，按照程序图运行，会输出一个结果．若a＝5，b＝x时，输出的结果为2，则x的值为 或10 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】或10．
【分析】分类讨论；分x＜5，x＞5两种情况，解分式方程即可．
【解答】解：由题意得：当x＜5时，
方程为，
解得：，
经检验，是分式方程的解；
当x＞5时，
方程为，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是分式方程的解；
综上，x的值为或10．
故答案为：或10．
【点评】本题考查了解分式方程，结合已知条件进行正确的分类讨论是解题的关键．
10．（2024春 梧州期末）已知关于x的方程3的解是正数，则m的取值范围为 m＜6且m≠4 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
【解答】解：解关于x的方程3得x＝﹣m+6，
∵x﹣2≠0，解得x≠2，
∵方程的解是正数，
∴﹣m+6＞0且﹣m+6≠2，
解这个不等式得m＜6且m≠4．
故答案为：m＜6且m≠4．
【点评】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 莱芜区期中）阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 0 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
【考点】换元法解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）0；
（2）x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【分析】（1）根据题意将原方程换元即可；
（2）利用换元法解方程后进行检验即可．
【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为0，
故答案为：0；
（2）设m，
则原方程化为m0，
解得：m1＝3，m2＝﹣3，
经检验，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m0的解，
当3时，
解得：x＝﹣3.5，
经检验，x＝﹣3.5是方程3的解；
当3时，
解得：x＝﹣1.25，
经检验，x＝﹣1.25是方程3的解；
故原方程的解为x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
【点评】本题考查换元法解分式方程，掌握用换元法解分式方程的结构特征是正确解答的关键．
12．（2024秋 北碚区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x；（2）原方程无解．
【分析】（1）利用解分式方程的一般步骤解答即可；
（2）利用解分式方程的一般步骤解答即可．
【解答】解：（1）去分母得：
2x﹣3＝2（2x﹣1），
去括号得：
2x﹣3＝4x﹣2，
移项，合并同类项得：
﹣2x＝1，
∴x．
经检验：x是原方程的解．
∴原方程的解为x．
（2）去分母得：
8+x2﹣4＝x（x+2），
去括号得：
8+x2﹣4＝x2+2x，
移项，合并同类项得：
2x＝4，
∴x＝2．
经检验：x＝2是原方程的增根．
∴原方程无解．
【点评】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程解法的一般步骤是解题的关键．
13．（2024 邗江区校级一模）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．求每辆B型汽车进价是多少万元？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】每辆B型汽车进价是10万元．
【分析】设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，利用数量＝总价÷单价，结合用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得：20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
14．（2024秋 朝阳区校级期中）若关于y的分式方程的解是正数，求a的取值范围．
【考点】分式方程的解；解分式方程；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】a＜8且a≠2．
【分析】先根据解分式方程的方法求出x，然后再根据分式方程的解是正数列出不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可．
【解答】解：，
方程两边同乘（y﹣2），得y+a﹣2a＝4（y﹣2），
整理，得3y＝8﹣a，
∴，
∵y＞0，且y≠2，
0，且2，
解得：a＜8且a≠2，
∴a的取值范围为a＜8且a≠2．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，解一元一次不等式的方法是解题的关键．
15．（2024 武威二模）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）篮球最少要卖33个．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入（x+30）中，即可求出篮球的单价；
（2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，结合总利润超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再结合y，y+10均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，
根据题意得：，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝90+30＝120．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）设篮球卖了y个，则足球卖了（y+10）个，
根据题意得：（150﹣120）y+（110﹣90）（y+10）＞1300，
解得：y＞30，
又∵y，y+10均为正整数，
∴y的最小值为33．
答：篮球最少要卖33个．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
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