【新课预习衔接】第二十一章 一元二次方程（培优卷.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版
文档属性
| 名称 | 【新课预习衔接】第二十一章 一元二次方程（培优卷.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 62.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-13 12:09:01 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
新课预习衔接 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
2．（2024秋 碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6
3．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
5．（2024秋 安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20 D．20（1+x）2＝45
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 ．
7．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛．
8．（2024秋 江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
9．（2024秋 香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 ．
10．（2024秋 锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里 月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里 月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
13．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
14．（2024秋 思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
15．（2024秋 龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
新课预习衔接 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键．
2．（2024秋 碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量＝2022年某款新能源汽车的销售量×（1+这款新能源汽车的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x1 x24．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
4．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（2024秋 安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20 D．20（1+x）2＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意列出形如m（1+x）2＝n的方程即可．
【解答】解：∵2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，
∴20（1+x）2＝45．
故选：D．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题 的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 x（48+2﹣2x）＝300 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根据篱笆的总长及与墙垂直的边长，可得出与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为300m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为48m，且与墙垂直的边长为x m，
∴与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m．
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案为：x（48+2﹣2x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 8 个足球队参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设应该邀请x个足球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得：x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024秋 江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】先将原方程化为一般形式，从而得出二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，进行计算即可得出答案．
【解答】解：将3x2﹣x＝2化为一般形式为：3x2﹣x﹣2＝0，
∴把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，
∴化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为3+（﹣1）+（﹣2）＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）是解此题的关键．
9．（2024秋 香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，mn＝﹣3，
∴m2﹣2m＝3，
∴mn+m2﹣2m＝﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
10．（2024秋 锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里 月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里 月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 5.2（1﹣x）2＝3.6 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5.2（1﹣x）2＝3.6．
【分析】根据“2020年的降尘量×（1﹣年平均下降率）2＝2022年的降尘量”求解即可．
【解答】解：根据题意，得5.2（1﹣x）2＝3.6，
故答案为：5.2（1﹣x）2＝3.6．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x1＝1，x2＝1；
（3）此方程无实数根；
（4）x1，x2＝1．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x﹣1或x﹣1，
x1＝1，x2＝1；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根据（m﹣4）2≥0即可证明结论；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 1 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案为：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值为7．
【点评】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
14．（2024秋 思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）x1＝0，x2．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程整理得b＝c，从而可判断三角形的形状；
（2）利用等腰直角三角形的性质得a＝b，ca，方程化为x2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，
∴a＝b，ca，
∴x2x＝0，
x（x）＝0，
x1＝0，x2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰直角三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值．
15．（2024秋 龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）这个降价率为10%；
（2）甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【分析】（1）设这个降价率为x，根据从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，根据商场希望甲商品该月的获利为2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：这个降价率为10%；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，
依题意得：（40﹣20﹣y）（100+10y）＝2250，
整理得：y2﹣10y+25＝0，
解得：y1＝y2＝5，
答：甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
新课预习衔接 一元二次方程
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
2．（2024秋 碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6
3．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
4．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
5．（2024秋 安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20 D．20（1+x）2＝45
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 ．
7．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 个足球队参赛．
8．（2024秋 江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 ．
9．（2024秋 香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 ．
10．（2024秋 锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里 月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里 月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
13．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
14．（2024秋 思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
15．（2024秋 龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
新课预习衔接 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 兰州期中）若x＝4是关于x的一元二次方程x2﹣mx+8＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．6 B．5 C．2 D．﹣6
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．
【解答】解：把x＝4代入方程得：16﹣4m+8＝0，
解得m＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键．
2．（2024秋 碑林区校级期中）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2022年某款新能源汽车销售量为22万辆．销售量逐年增加，2024年预估销售量为28.6万辆．求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ）
A．22（1+x2）＝28.6 B．22（1﹣x）2＝28.6
C．28.6（1﹣x）2＝22 D．22（1+x）2＝28.6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用2024年某款新能源汽车的预估销售量＝2022年某款新能源汽车的销售量×（1+这款新能源汽车的年平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：22（1+x）2＝28.6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2024 新邵县三模）若x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则x1 x2的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据根与系数的关系得到x1 x24．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2，x1 x2．
4．（2024 娄底二模）一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】判别式法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ＝8＞0，进而可得出一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴一元二次方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
5．（2024秋 安宁市校级期中）为了美化环境，2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，设这两年该市绿化投资额的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．45（1﹣x）2＝20 B．20（1﹣x2）＝45
C．45（1+x）2＝20 D．20（1+x）2＝45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意列出形如m（1+x）2＝n的方程即可．
【解答】解：∵2022年某市的绿化投资额为20万元，2024年该市计划绿化投资额达到45万元，
∴20（1+x）2＝45．
故选：D．
【点评】本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题 的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 思明区校级期中）如图，用48m长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是300m2的长方形鸡场，鸡场有一个2m的门，设与墙垂直的边长为x m，所列方程是 x（48+2﹣2x）＝300 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（48+2﹣2x）＝300．
【分析】根据篱笆的总长及与墙垂直的边长，可得出与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m，根据长方形鸡场的面积为300m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵篱笆的总长为48m，且与墙垂直的边长为x m，
∴与墙平行的边长为（48+2﹣2x）m．
根据题意得：x（48+2﹣2x）＝300．
故答案为：x（48+2﹣2x）＝300．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2024秋 江夏区期中）为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平．某区开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划一共安排28场比赛，则应邀请 8 个足球队参赛．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【答案】8．
【分析】设应该邀请x个足球队参赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：设应该邀请x个足球队参赛，
由题意得：x（x﹣1）＝28，
解得：x＝8或x＝﹣7（舍去），
即应邀请8个足球队参赛．
故答案为：8．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024秋 江津区期中）把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为 0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】先将原方程化为一般形式，从而得出二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，进行计算即可得出答案．
【解答】解：将3x2﹣x＝2化为一般形式为：3x2﹣x﹣2＝0，
∴把方程3x2﹣x＝2化成一般式后，二次项系数为3、一次项系数为﹣1、常数项为﹣2，
∴化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项的和为3+（﹣1）+（﹣2）＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）是解此题的关键．
9．（2024秋 香洲区校级期中）已知m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则代数式mn+m2﹣2m的值为 0 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用整体代入的思想解决问题．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，mn＝﹣3，
∴m2﹣2m＝3，
∴mn+m2﹣2m＝﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
10．（2024秋 锡山区期中）某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2020年的5.2吨/（平方公里 月），下降至2022年的3.6吨/（平方公里 月）．若设降尘量的年平均下降率为x，则可列出关于x的方程为 5.2（1﹣x）2＝3.6 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】5.2（1﹣x）2＝3.6．
【分析】根据“2020年的降尘量×（1﹣年平均下降率）2＝2022年的降尘量”求解即可．
【解答】解：根据题意，得5.2（1﹣x）2＝3.6，
故答案为：5.2（1﹣x）2＝3.6．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 金凤区校级期中）用合适的方法解方程：
（1）（x﹣2）2＝18；
（2）x2﹣2x﹣2＝0（配方法）；
（3）x2+4x+5＝0；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x1＝1，x2＝1；
（3）此方程无实数根；
（4）x1，x2＝1．
【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可．
（2）利用配方法解一元一次方程即可．
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
（4）利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝18，
x﹣2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
x1＝2+3，x2＝2﹣3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
x﹣1或x﹣1，
x1＝1，x2＝1；
（3）x2+4x+5＝0，
∵a＝1，b＝4，c＝5，
Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴此方程无实数根；
（4）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
3x﹣1＝0或3x﹣1﹣2＝0，
x1，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程解法，解题关键是根据方程的特点选择合适的方法解方程．
12．（2024秋 安宁市校级期中）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）x＝2．
【分析】（1）求出Δ＝（m﹣4）2，根据（m﹣4）2≥0即可证明结论；
（2）把x＝3代入方程求出m＝5，把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得x2﹣5x+6＝0，解方程即可得到方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2，
∵（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：把x＝3代入方程得：9﹣3m+2m﹣4＝0，
解得：m＝5，
把m＝5代入x2﹣mx+2m﹣4＝0得：x2﹣5x+6＝0，
解得：x1＝2，x2＝3，
所以另一根为x＝2．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，关键是求出Δ＝（m﹣4）2解答．
13．（2024秋 兰州期中）配方法不仅能够帮助我们解一元二次方程，我们还能用来解决最大值最小值问题，例如：求代数式的最小值．2x2﹣x+2+y2我们使用的方法如下：
2x2﹣x+2+y2的最小值是．
根据材料方法，解答下列问题．
（1）﹣x2﹣4x﹣3的最大值为 1 ；
（2）求m2+n2+6m﹣4n+20的最小值．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）1；（2）7．
【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；
（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【解答】解：（1）﹣x2﹣4x﹣3
＝﹣（x2+4x+3）
＝﹣（x+2）2+1，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2+1≤1，
故答案为：1；
（2）m2+n2+6m﹣4n+20
＝m2+6m+9+n2﹣4n+11
＝（m+3）2+（n﹣2）2+7，
∵（m+3）2≥0，（n﹣2）2≥0，
∴（m+3）2+（n﹣2）2+7≥7．
∴m2+n2+6m﹣4n+20的最小值为7．
【点评】此题考查配方法的应用，解题关键在于理解题意掌握运算法则．
14．（2024秋 思明区校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（b﹣a）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）见详解；（2）x1＝0，x2．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程整理得b＝c，从而可判断三角形的形状；
（2）利用等腰直角三角形的性质得a＝b，ca，方程化为x2x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入方程整理得：b＝c，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，c为斜边，
∴a＝b，ca，
∴x2x＝0，
x（x）＝0，
x1＝0，x2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰直角三角形，解题的关键是掌握一元二次方程的解是能使式子成立的未知数的值．
15．（2024秋 龙岗区期中）已知甲商品每件的进价为20元，售价为每件40元．
（1）若商场计划对甲商品降价促销，预备从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元．若甲商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，甲商品每降价1元时，每月可多销售10件．已知甲商品在原售价为每件40元时的月销售量为100件．若商场希望甲商品该月的获利为2250元，请问甲商品在原售价的基础上应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）这个降价率为10%；
（2）甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【分析】（1）设这个降价率为x，根据从原来售价的每件40元进行两次调价后将售价降为每件32.4元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，根据商场希望甲商品该月的获利为2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设这个降价率为x，
依题意得：40（1﹣x）2＝32.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
答：这个降价率为10%；
（2）设甲商品在原售价的基础上应降价y元，则每月销售量为（100+10x）件，
依题意得：（40﹣20﹣y）（100+10y）＝2250，
整理得：y2﹣10y+25＝0，
解得：y1＝y2＝5，
答：甲商品在原售价的基础上应降价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录