【新课预习衔接】24.1圆的有关性质（培优卷.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 圆的有关性质
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝50°，则∠CBD的大小为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．82.5°
2．（2024秋 永嘉县期中）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（　　）
A．30° B．50° C．40° D．60°
3．（2024 广西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．55°
4．（2024 柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
5．（2024 赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 番禺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 　 　．
7．（2024秋 安宁市校级期中）如图，AB为圆O的直径，AB圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，则AM＝　 　cm．
8．（2024秋 乐清市期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是　 　．
9．（2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　 　．
10．（2024秋 常州期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 　 　cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，边BC为⊙O直径，延长BA、CD交于E且DE＝DA，求证：CD＝DE．
12．（2024秋 和平区期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小；
（Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小．
13．（2024秋 香洲区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为 　 　；
（2）若点B是的中点，求证：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．
14．（2024秋 浦东新区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
15．（2024秋 百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
新课预习衔接 圆的有关性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，CA＝CE，若∠ACE＝50°，则∠CBD的大小为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．82.5°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠A＝∠AEC＝65°，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠ACE＝∠ABD＝50°，再直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由BE＝BC得出∠BCE的度数，再根据角的和差求解即可．
【解答】解：∵CA＝CE，∠ACE＝50°，
∴∠A＝∠AEC（180°﹣∠ACE）＝65°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝25°，
∵∠ACE＝∠ABD＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理等知识，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2024秋 永嘉县期中）如图，点A、B、C在⊙O上，已知∠B＝30°，则∠AOC的度数是（　　）
A．30° B．50° C．40° D．60°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠B与∠AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×30°＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
3．（2024 广西模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝125°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．30° C．50° D．55°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠C+∠A＝180°，
∵∠C＝125°，
∴∠A＝55°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2024 柯桥区二模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm，AB＝4cm，CD＝3cm．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A．4.8cm B．5cm C．5.2cm D．6cm
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】B
【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝3.5cm，
∵CD∥AB，纸条的宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm，
∴MN⊥CD，
∴DMCD4＝2（cm），BNAB3＝1.5（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（3.5﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+22＝（3.5﹣x）2+1.52，
∴x＝1.5，
∴OM＝1.5（cm），
∴OD2.5（cm），
∴纸杯的直径为2.5×2＝5（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．
5．（2024 赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据垂径定理得，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 番禺区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点．若∠BCE＝110°，则∠BOD的度数为 　140°　．
【考点】圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】140°．
【分析】根据邻补角的定义求出∠BCD，再根据圆周角定理计算即可．
【解答】解：∵∠BCE＝110°，
∴∠BCD＝180°﹣110°＝70°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝140°，
故答案为：140°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．（2024秋 安宁市校级期中）如图，AB为圆O的直径，AB圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB＝10cm，CD＝8cm，则AM＝　2　cm．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】2．
【分析】连接OD，首先利用垂径定理求得DM的长，然后在直角△DOM中，利用勾股定理求得OM的长，则AM的长度即可得到．
【解答】解：连接OD，如图，
∵半径AO⊥CD于M，
∴ 8＝4（cm），
∵AB＝10cm，
∴ 10＝5（cm），
在Rt△DOM中，OM3（cm），
则AM＝OA﹣OM＝5﹣3＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
8．（2024秋 乐清市期中）如图，AB为⊙O的直径，且AB＝26，点C为⊙O上半圆的一点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于点D，弦AC＝10，那么△ACD的面积是　85　．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】85．
【分析】连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而可得∠ACE+∠ECB＝90°，再根据垂直定义可得∠CEB＝90°，从而可得∠CBE+∠ECB＝90°，进而可得∠ACE＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质以及等量代换可得∠ACE＝∠OCB，然后利用角平分线的定义可得∠OCD＝∠ECD，从而利用等式的性质可得∠ACD＝45°，进而可得∠AOD＝2∠ACD＝90°，最后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF，CF的长，再在Rt△AOD中，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，从而在Rt△ADF中，利用勾股定理求出DF的长，进而求出CD的长，利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接OD，过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠ECB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠CBE，
∵OB＝OC，
∴∠CBE＝∠OCB，
∴∠ACE＝∠OCB，
∵CD平分∠OCE，
∴∠OCD＝∠ECD，
∴∠ACE+∠DCE＝∠OCB+∠OCD∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
在Rt△ACF中，AC＝10，
∴AF＝AC sin45°＝105，
CF＝AC cos45°＝105，
在Rt△AOD中，AO＝ODAB＝13，
∴ADAO＝13，
∴DF12，
∴CD＝CF+DF＝17，
∴△ACD的面积CD AF17585．
故答案为：85．
【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．
9．（2024 牡丹江）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　　．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由垂径定理得，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
10．（2024秋 常州期中）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝8cm，则截面⊙O的半径长是 　5　cm．
【考点】垂径定理的应用．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】5．
【分析】过点O作OG⊥EF交EF于点G，连接OE．设OE＝r cm，根据垂径定理求出EG，用含r的代数式表示出OG，在Rt△OGE中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：过点O作OG⊥EF交EF于点G，连接OE．
设OE＝r cm，
∵OG⊥EF，EF＝CD＝8cm，
∴EGEF＝4cm，OG＝（8﹣r）cm，
在Rt△OGE中利用勾股定理，得OG2+EG2＝OE2，
∴（8﹣r）2+42＝r2，
∴r＝5，
∴截面⊙O的半径长是5cm．
故答案为：5．
【点评】本题考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 海淀区校级期中）如图，四边形ABCD的顶点都在⊙O上，边BC为⊙O直径，延长BA、CD交于E且DE＝DA，求证：CD＝DE．
【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】见解析．
【分析】根据等边对等角和圆内接四边形的性质等可得出∠C＝∠E，根据等角对等边得出BC＝BE，根据圆周角定理可得出BD⊥CE，最后根据等腰三角形三线合一即可得证．
【解答】证明：∵DE＝DA，
∴∠E＝∠EAD，
∵四边形ABCD的顶点都在⊙O上，∠EAD+∠BAD＝180°，
∴∠C+∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∴∠C＝∠E，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥CE，
∴CD＝DE．
【点评】本题考查了圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等知识是解题的关键．
12．（2024秋 和平区期中）已知AB是⊙O的直径，∠CAB＝50°，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，当点E是弦CD的中点时，求∠CDO的大小；
（Ⅱ）如图②，当AC＝AE时，求∠CDO的大小．
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】（Ⅰ）10°；
（Ⅱ）15°．
【分析】（Ⅰ）根据垂径定理的推论得CD⊥AB，可得∠C＝90°﹣50°＝40°，根据圆周角定理得∠DOE＝2∠C＝80°，即可得出答案；
（Ⅱ）如图②，连接BD，根据等边对等角得∠C＝∠AEC＝65°，根据圆周角定理的推论得∠B＝∠C＝65°，∠CDB＝∠CAB＝50°，利用同圆的半径相等知OB＝OD，得∠ODB＝∠B＝65°，由此可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB是直径，点E是弦CD的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠AEC＝∠DEO＝90°，
∵∠CAB＝50°，
∴∠C＝40°，
∴∠DOE＝2∠C＝80°，
∴∠CDO＝10°；
（Ⅱ）如图②，连接BD，
∵AC＝AE，∠A＝50°，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠CAB＝50°，
∴∠CDO＝∠ODB﹣∠CDB＝65°﹣50°＝15°．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，圆周角定理及其推论是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
13．（2024秋 香洲区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．
（1）若∠BED＝28°，则∠AOD的度数为 　56°　；
（2）若点B是的中点，求证：DE＝AB；
（3）若CD＝3，AB＝12，求⊙O的半径长．
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）56°；
（2）见解析；
（3）⊙O的半径长为．
【分析】（1）利用垂径定理可以得到弧AD和弧BD相等，然后利用圆周角定理求得∠AOD的度数即可；
（2）由点B是的中点得，根据垂径定理得，则，由圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；
（3）利用垂径定理在直角三角形OAC中求得AO的长即可．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，
∴弧AD＝弧BD，
∵∠DEB＝28°，
∴∠AOD＝2∠DEB＝56°，
故答案为：56°；
（2）证明：∵点B是的中点，
∴，
∵OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，
∴，
∴，
即，
∴DE＝AB；
（3）解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB12＝6，
∵CD＝3，
∴OC＝OD﹣CD＝OA﹣CD，
在直角三角形AOC中，AO2＝OC2+AC2，
∴AO2＝（OA﹣3）2+62，
解得AO，
∴⊙O的半径长为．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理及垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形．
14．（2024秋 浦东新区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且．
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长．
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】证明：（1）连接OB、OC，
∵．
∴AB＝AC，
∵OC＝OB，OA＝OA，
在△AOB与△AOC中，
．
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；
（2）连接AO并延长交BC于E，连接OB，
∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2，
可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8，
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题．
15．（2024秋 百色期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．
如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方圆上部分一点距离水面的最大距离）．
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【考点】垂径定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5m；
（2）1m．
【分析】（1根据垂径定理，勾股定理列方程求解即可；
（2）根据垂径定理、勾股定理求出OG，进而计算出CG即可．
【解答】解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O以点D，由题意可知，CD＝1m，AB＝6m，
∴OC⊥AB，AB＝6m，
∴AC＝BCAB＝3m，
设圆的半径为r m，即OA＝OD＝r m，OC＝（r﹣1）m，
在 Rt△AOC中，
OC2+AC2＝OA2，即 （r﹣1）2+32＝r2，
解得r＝5，
即该圆的半径为5m；
（2）设水面升到如图EF的位置，则EF∥AB，OD与EF相交于点G，
∵OD⊥EF，
∴EG＝FGEFm，
连接OE，在Rt△EOG中，OE＝5m，EG＝4m，
∴OG3m，
∴CG＝OC﹣OG＝4﹣3＝1（m），
即水面上涨的高度为 1 米．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解决问题的关键．
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