【新课预习衔接】24.4弧长和扇形面积（培优卷.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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新课预习衔接 弧长和扇形面积
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 无锡期中）“奇妙”手工课堂开课啦!一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）cm．
A． B． C．20 D．
2．（2024秋 海淀区校级期中）如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（　　）
A．6π B．8π C．10π D．12π
3．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024秋 莒县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A＝30°，以点A为圆心、AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心、BC为半径画弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024 广水市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 青秀区校级期中）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 　 　cm2．
7．（2024 金湖县一模）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　 　．
8．（2024秋 南京期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则扇形ODE的面积为　 　．
9．（2024秋 建邺区期中）用半径为5cm，圆心角为72°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 　 　cm．
10．（2024春 沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．（注：结果用含π的式子表示）
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 溧阳市期中）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上一点，APBP．
（1）求扇形AOB的面积；
（2）过点P作PQ⊥AB交弧AB于点Q，求PQ的长．
12．（2024 包河区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若，AE＝2，求阴影部分面积．
13．（2024秋 南京期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），该圆弧所在圆的圆心为P．
（1）点P的坐标为 　 　，⊙P的半径为 　 　．
（2）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为 　 　．
14．（2024秋 蓬江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求∠ACD的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积．
15．（2024秋 滨湖区期末）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
新课预习衔接 弧长和扇形面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 无锡期中）“奇妙”手工课堂开课啦!一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面．（圆心O2与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是（　　）cm．
A． B． C．20 D．
【考点】圆锥的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长等于圆的底面周长，即可求出圆锥底面圆的半径，再求出正方形的对角线的长可得结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r cm，
由题意2πr，
∴r＝4，
∴正方形的对角线的长＝16+4+4（20+4）cm，
∴正方形的边长为（104）cm．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
2．（2024秋 海淀区校级期中）如图，⊙O的半径为12，点A、B是圆上的两点，∠AOB＝120°，则的长为（　　）
A．6π B．8π C．10π D．12π
【考点】弧长的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】直接根据弧长公式计算即可．
【解答】解：的长为8π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．
3．（2024秋 沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，分别以B、C为圆心，BC长为半径画弧，交BC于点P，交AB于点M，交AC于点N，则图中阴影部分面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】A
【分析】利用直角三角形的面积减去两个扇形的面积进行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴∠B+∠C＝90°，，
∵以B、C为圆心，长为半径画弧，
∴扇形CPN和扇形BPM的半径相同，均为，
∴两个扇形的面积之和为，
∴阴影部分的面积为：；
故选：A．
【点评】本题考查求阴影部分的面积，关键是根据直角三角形的面积减去两个扇形的面积解答．
4．（2024秋 莒县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠A＝30°，以点A为圆心、AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心、BC为半径画弧，交AB于点F，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】A
【分析】求出∠B，根据三角函数求出AC；利用扇形的面积公式，根据“阴影部分的面积＝扇形ACE的面积+扇形BCF的面积﹣三角形ABC的面积”计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，AC＝BC ctan∠A＝2×ctan30°＝2，
∴S阴影＝S扇形ACE+S扇形BCF﹣SRt△ABC
（2）2π22×π22
2，
∴阴影部分的面积为2．
故答案为：A．
【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函数、扇形和三角形面积计算公式是解题的关键．
5．（2024 广水市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝40°，AB＝6，斜边AB是半圆O的直径，点D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，若BE＝BC时，弧BD的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力．
【答案】B
【分析】根据BE＝BC求出∠BOD，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：如图1，当BE＝BC时，
∵BE＝BC，∠ABC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BOD＝2∠BCE＝140°，
∴弧BD的长π．
故选：B．
【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据圆周角定理求出∠BOD＝140°．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 青秀区校级期中）小李同学在数学综合实践活动中，用一块扇形材料制作了一个圆锥模型（如图所示），经过小黄同学测量得圆锥底面直径为12cm，圆锥的高为8cm，则根据测量数据推算，该圆锥模型的侧面积为 　60π　cm2．
【考点】圆锥的计算．
【专题】展开与折叠；运算能力．
【答案】60π．
【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，再根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．
【解答】解：根据题意，圆锥的母线长10（cm），
所以该圆锥的侧面积12π×10＝60π（cm2）．
故答案为：60π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．（2024 金湖县一模）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是　15π　．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积 2π 3 5＝15π．
故答案为15π．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（2024秋 南京期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则扇形ODE的面积为　π　．
【考点】扇形面积的计算；等腰三角形的性质．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠EOD＝∠BAC＝50°，由扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠EOD＝∠AEO，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠BAC＝50°，
∴∠EOD＝∠BAC＝50°，
∵ODAB＝3，
∴扇形ODE的面积为π．
故答案为：．
【点评】本题考查扇形面积的计算，等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数．
9．（2024秋 建邺区期中）用半径为5cm，圆心角为72°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 　　cm．
【考点】圆锥的计算；展开图折叠成几何体．
【专题】圆的有关概念及性质；应用意识．
【答案】．
【分析】根据题意，设圆锥的底面半径为r厘米，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长，根据公式表示出圆的周长和弧长，求出半径，再利用勾股定理，求出圆锥的高，据此解答．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r厘米．
，
，
r＝1，
圆锥的高为（厘米）．
答：这个圆锥的高为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算、展开图折叠成几何体，解决本题的关键是先求出圆锥的底面半径．
10．（2024春 沛县校级期末）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　4π　cm2．（注：结果用含π的式子表示）
【考点】扇形面积的计算．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．
【答案】4π．
【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．
【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm，
∴S阴影4πcm2，
故答案为：4π．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024秋 溧阳市期中）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是AB上一点，APBP．
（1）求扇形AOB的面积；
（2）过点P作PQ⊥AB交弧AB于点Q，求PQ的长．
【考点】扇形面积的计算．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】（1）9π；
（2）．
【分析】（1）依题意得AB，OA＝OB，∠AOB＝90°，则△OAB是等腰直角三角形，再由勾股定理求出OA＝6，进而可得扇形AOB的面积；
（2）过O作OC⊥AB于C，OD⊥PQ交QP的延长线于D，QD交OA于E，证明四边形OCPD为矩形，再根据△OAB是等腰直角三角形得AC＝BC＝OC，OQ＝OA＝6，则OD＝PC，PD＝OC，然后由勾股定理求出DQ，进而可得PQ的长．
【解答】解：（1）∵APBP，
∴AP，BP，
∴AB＝AP+BP，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB，
∴，
∴OA＝6，
∴扇形AOB的面积为：9π；
（2）过点O作OC⊥AB于C，作OD⊥PQ交QP的延长线于D，QD交OA于点E，连接OQ，如图所示：
∵PQ⊥AB，
∴四边形OCPD为矩形，
∴OC＝DP，OD＝PC，
由（1）知：△OAB是等腰直角三角形，且OA＝OB＝6，AB，AP，
∴AC＝BC＝OCAB，OQ＝OA＝6，
∴OD＝PC＝AC﹣AP，PD＝OC，
在Rt△ODQ中，由勾股定理得：DQ，
∴PQ＝DQ﹣PD．
【点评】此题主要考查了扇形面积，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．
12．（2024 包河区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若，AE＝2，求阴影部分面积．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形性质求出∠BCO＝∠B，根据圆周角定理得出∠B＝∠D，再求出答案即可；
（2）根据垂径定理求出CE＝2，再根据勾股定理求出OC，进一步即可求得OE，利用直角三角函数求得∠AOC＝60°，然后根据S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE求解即可．
【解答】（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）解：∵AB 是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
在Rt△OCE 中，OC2＝CE2+OE2，
∴，
解得：r＝4（负数舍去），
∴OC＝OA＝4，
∴OE＝4﹣2＝2，
∴tan，
∴∠AOC＝60°，
∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△COEπ﹣2．
【点评】本题考查了扇形的面积，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握性质定理，明确S阴影＝S扇形AOC﹣S△COE是解此题的关键．
13．（2024秋 南京期中）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A（0，4），B（﹣4，4），C（﹣6，2），该圆弧所在圆的圆心为P．
（1）点P的坐标为 　（﹣2，0）　，⊙P的半径为 　2　．
（2）若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为 　　．
【考点】圆锥的计算；坐标与图形性质；垂径定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）（﹣2，0），2；
（2）．
【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理进行计算即可；
（2）求出扇形PAC的圆心角度数，进而求出弧AC的长，再根据圆锥侧面展开图的特征进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，依据网格，作AB，BC的中垂线相交于点P，点P的坐标为（﹣2，0），
PA2，
即⊙P的半径为2，
故答案为：（﹣2，0），2；
（2）如图，易证△AOP≌△PDC（SAS），
∴∠OAP＝∠DPC，
∴∠OAP+∠OPA＝90°，
∴∠DPC+∠OPA＝90°，
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°，
∴的长为π，
设圆锥的底面半径为r，则2πrπ，
解得r，
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，圆锥的计算，掌握垂径定理、勾股定理以及弧长、圆周长的计算方法是正确解答的关键．
14．（2024秋 蓬江区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D．
（1）若∠B＝28°，求∠ACD的度数；
（2）若D是AB的中点，AB＝2，求阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；直角三角形斜边上的中线；圆周角定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；推理能力．
【答案】（1）56°；
（2）．
【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余计算出∠BAC＝62°，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理计算出∠ACD的度数；
（2）利用斜边上的中线性质得到CD＝AD＝BDAB＝1，再判断△ACD为等边三角形，则∠ACD＝60°，利用扇形的面积公式，根据阴影部分的面积＝S扇形ACD进行计算．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝28°，
∴∠BAC＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠CDA＝∠CAD＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣62°﹣62°＝56°；
（2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝AD＝BDAB＝1，
∵CD＝CA，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形ACD．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）．
15．（2024秋 滨湖区期末）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ADE≌△BDC（SAS），推出∠ADE＝∠BDC，推出即可解决问题．
（2）证明S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF．
【点评】本题考查扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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