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【北师大版九年级数学（上）课时练习】
§4.7相似三角形的性质 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵分别为边上的中线，
∴是△ABC的中位线，
∴
∴，，
∴，
∴，，，
∴四个选项中只有C选项不成立，故选C．
2．（本题6分）如图，在△ABC中，，是中线，和交于点N，若，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：连接，如图，
∵，是中线，
∴点是的中点，点是的中点，
∴，
即
∴，
∵，是中线，和交于点N，
∴,
∴，
故选：D．
3．（本题6分）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则下列结论：①；②；③与相似；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，,，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和△CAF中，，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，故②正确，
∵，
∴，，
∵，
∴中没有与对应相等的角，
∴与不相似，故③错误，
如图，过点作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故④正确，
综上所述：正确的结论为①②④
故选：B．
4．（本题6分）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
如图，
把绕点顺时针旋转得到由旋转的性质得，，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，即，故正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵四边形是正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，故错误；
综上可知：正确，共个，
故选：．
5．（本题6分）如图，在△ABC中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）
A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s
解：设运动时间为，
由题意得，，
∴，
∵，
∴只存在和这两种情况，
当，则，
∴，
解得；
当，则，
∴，
解得；
综上所述，或，
故选：D．
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为 ．
解：∵在中，平分，平分，
∴，，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：
7．（本题6分）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ．
解：∵为的平分线，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵， ，
，
则，
∵平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
8．（本题6分）如图，将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ．
解：如图，设与交于点，
∵将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到，
∴，
∴，，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：8．
9．（本题6分）如图，将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则的面积为 ．
解：如图，设与交于点．
将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到，
，，
，，
，
，即，
．
故答案为：24．
10．（本题6分）如图，，，其中，则 ．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，D、E分别AB、AC上的点
（1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？
（2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
解：(1)△ADE和△ABC是位似图形．
理由是：,
∴，，
∴，
∴．
又∵点A是△ADE和△ABC的公共点，点和点是对应点，点和点是对应点，直线与交于点，
∴△ADE和是位似图形．
(2) ．
理由是：∵△ADE和△ABC是位似图形，
∴
∴
∴．
12．（本题8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．
解：(1)∵ABCD是正方形，于F
∴∠B=∠C=∠EFG=
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG=
∴∠BEF=∠CFG
∴△BEF∽△CFG
(2)解: ∵△BEF∽△CFG
∴
∴ ．
13．（本题8分）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
解：∵D，E是AC，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，AB=2DE，
∴∠ABF=∠DGF，
∵F为AD中点，
∴AF=DF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴AB=GD；
（2）∵AB=2，
∴CD=2，DE=1，
∴GE=3，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠CBA，
∵CG=EG，
∴∠GEC=∠GCE，
∵DE∥AB，
∴∠GEC=∠CBA，
∴△GEC∽△CBA，
设CE=x，
则BC=2x，
∴，即，
解得：，（负值舍去）
∴CE=.
14．（本题8分）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ______；
(2)t为何值时，与相似；
（1）解：∵在中，，，，
∴．
故答案为：．
（2）解：由题意可知：，，则，
∵，
当或时，与相似，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
当或2.5秒时，与相似．
15．（本题8分）【问题重现】如图（1），△ABC为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：．
【问题迁移】如图（2），在△ABC和中，，，．
①求证：；
②求的度数．
【问题延伸】如图（3），在△ABC和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值．
解：（1）∵旋转，
∴，
∴△BDE为等边三角形，
∴，
∵△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴设，则：，，
∵，
∴，
∴，
作，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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§4.7相似三角形的性质 (2)
一、单选题（共30分）
1．（本题6分）如图，在△ABC中，、分别为、边上的中线，与相交于点，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题6分）如图，在△ABC中，，是中线，和交于点N，若，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（本题6分）如图，在菱形中，已知，点在的延长线上，点在的延长线上，，则下列结论：①；②；③与相似；④当时，则．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
4．（本题6分）如图，点、分别为正方形的边、上一点，、交于点，且，，分别交对角线于点，，则有以下结论：；；；．以上结论中，正确的个数有（ ）个．
A． B． C． D．
5．（本题6分）如图，在△ABC中，，，动点以的速度从点出发沿方向向点运动．动点以的速度从点出发沿方向向点运动．两点同时开始运动，当点运动到点的位置后，两点均停止运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）
A．4.5s或4.8s B．3s或4.5s C．4.5s D．3s或4.8s
二、填空题（共30分）
6．（本题6分）如图，在平行四边形中，平分，平分，、在上，与相交于点，若，，则与的面积之比为 ．
7．（本题6分）如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，垂足为．若，则的长度为 ．
8．（本题6分）如图，将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ．
9．（本题6分）如图，将△ABC沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为6，则△ABC的面积为 ．
10．（本题6分）如图，，，其中，则 ．
三、解答题（共40分）
11．（本题8分）如图，D、E分别AB、AC上的点
（1）如果DE∥BC，那么ADE和ABC是位似图形吗？为什么？
（2）如果ADE和ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
12．（本题8分）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F．
（1）求证：△BEF∽△CFG；
（2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长．
13．（本题8分）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．
（1）求证：AB=GD；
（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．
14．（本题8分）如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒．
(1)填空： ______；
(2)t为何值时，与相似；
15．（本题8分）【问题重现】如图（1），△ABC为等边三角形，点在上，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接，．求证：．
【问题迁移】如图（2），在△ABC和中，，，．
①求证：；
②求的度数．
【问题延伸】如图（3），在△ABC和中，点在延长线上，，，，和交于点，若，直接写出的值．
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