江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期期初质量监测数学试题（含答案）

2024~2025学年度高三上学期期初试卷
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，则A∩B＝
A．{3，4} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．{2，3，4}
3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为
A．4 B．4 C．6 D．8
4．由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为
A． B． C． D．
5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为
A．3 B． C． D．
6．随机变量X服从N(μ，σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，则下列选项一定正确的是
A．P(X|≥3)＝1 B．σ＝1
C．μ＝2 D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝1
7．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点N为侧面四边形CDD1C1的中心，则四面体NCB1C1的外接球的体积为
A．2π B．4π C．2π D．
8．已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)＝0，则以下选项错误的是
A．f(1)＝0 B．f(x)图象关于(2，0)对称
C．f(x)图象关于(1，0)对称 D．f(x)为偶函数
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列求导运算正确的是
A．(e3x)′＝3ex B．()′＝x
C．(2sinx－3)′＝2cosx D．(ln)′＝
10．已知P(A)＝，P(B)＝，则下列说法正确的是
A．P(AB)＝ B．P(A|B)＞ C．P(A＋B)＝ D．≤(B|A)≤1
11．函数y＝f(x)的定义域为I，区间D I，对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒满足f()≥，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”．下列函数在定义域上为凸函数的是
A．f(x)＝lnx B．f(x)＝ex C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 ▲ ．
13．已知二次函数f(x)从1到1＋x的平均变化率为2x＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)＝ ▲ ．
14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图)．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是 ▲ ．
第14题(图)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．(13分)
某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．
(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
16．(15分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝2，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．
(1)证明：DF∥平面ACE；
(2)求二面角A－CE－B的正弦值．
(第16题图)
17．(15分)
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab等号成立．
(1)证明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，＋∞)) ．
(2)已知函数f(x)＝x2＋．
①解不等式f(x)≥5；
②对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求实数m的取值范围．
18．(17分)
在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝2，AA1＝2．
(1)求AC1的长度；
(2)求二面角B－AA1－D的大小；
(3)求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积．
(第18题图)
19．(17分)
已知函数f(x)＝＋ax．
(1)函数y＝f(x)是否具有奇偶性 为什么
(2)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)有两个不同极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)＜．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C.
2. B.
3. B
4. A.
5. C
6. C
7. D.
8. B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. CD
10. BD.
11. AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. （答案不唯一）
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（1）从6张奖券中，任取2张奖券共有种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，
所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
（2）的所有可能取值为80，85，90，
，
，
，
的分布列为：
80 85 90
.
16. （1）如图，连接，因为分别为的中点，
所以，，
又，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，平面，
所以，，
又，是平面内两条相交直线，
平面，又平面，
，
所以两两互相垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，，
，
设二面角的平面角为，
，则.
所以二面角的正弦值为.
17. （1）因为，
则
（当且仅当时取等），
所以（当且仅当时取等），
同理（当且仅当时取等），
（当且仅当时取等），
三式相加可得：，
又因为，
所以，
所以（当且仅当时取等）.
（2）①由可得：，
所以，即，
即，则，
所以，
解得：
②因为当时，，
当且仅当，即时取等，
所以当时，，
对任意，恒成立，
则，
所以，解得：.
所以实数的取值范围为：.
18.（1）根据图形可知：，
则
；
（2）
作，则等于二面角的一个平面角，
因为，，
则，
易知
，
所以，所以，
即二面角的大小为；
（3）由（2）知平面，而四边形的面积，
则平行六面体的体积.
19.（1），而，
显然，且，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，故函数不具有奇偶性.
（2）时，，
，
故当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（3），
因为有两个不同极值点，，故即有两个不等的实根，
令，所以有两个不等的正数根，
所以，得，且，
所以
，
设，，
所以在上单调递增，
所以，
故.