18.4　整数指数幂 第1课时 整数指数幂 课件(共29张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共29张PPT)
第18章 分式
18.4　整数指数幂
第1课时 整数指数幂
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
3世纪
丢番图
△
r
△
△
r
K
r
韦达(1540-1603)
16世纪
Aq
Acu
Aqq
aa,aaa,aaaa
哈里奥特(1560-1621)
17世纪
笛卡尔
1637年
a2,a3,a4
幂的符号溯源
幂的符号的演变经历了漫长的时间，a2,a3,a4的一些表示如图所示.
an这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广.
算一算，并分别说出每一小题所用的运算性质．
（2） = ；
同底数幂的乘法：
（m，n是正整数）
幂的乘方：
（m，n是正整数）
（3） = ；
积的乘方：
（n是正整数）
(1)a3·a4= ;
a7
（4） = ；
同底数幂的除法：
（a≠0，m，n是正整数且m>n ）
乘方：
（b≠0，n是正整数）
（6） = ；
（5） = ；
（ ）
新知初探
贰
新知初探
思考 你认为牛顿的这个设想合理吗？
也就是说，如果am中的m可以是负整数，那么负整数指数
幂am表示什么？
任务一　探究负整数指数幂的意义
活动1
1676年，牛顿提出了一个设想：“因为数学家将aa,aaa,aaaa,…写成a2,a3,a4，…,所以我将 ,…写成a-1,a-2,a-3,….”
问题：计算：a3 ÷a5= (a ≠0)
(1)根据分式的约分
(2)根据同底数幂的运算法则：am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数， ).
于是得到：
a3÷a5=a3-5=a-2.
m>n
②
①
由①②的运算结果，你得到了什么结论？
知识要点
负整数指数幂的意义
一般地，我们规定：当n是正整数时，
这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数.
即时测评
计算：
(1)3 = ;30 = ;3-2 = .
(2)(-3) = ;(-3)0 = ;(-3)-2 = .
(3)b0 = ; b-2 = (b≠0).
9
1
9
1
1
你能猜出：
当m分别是正整数、0 、负整数时，am分别表示什么意思吗？
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
am=
am (m是正整数）
1 （m=0）
（m是负整数）
任务二 探究整数指数幂的性质
活动1
问题1 引入负整数指数和0指数后,am·an=am+n(m,n是正整数)这条性质能否推广到m,n是任意整数的情形
问题2 分别根据分式的约分和同底数幂的乘法法则计算：
(1)a3·a-5; (2)a-3·a-5; (3)a0·a-5.
解：(1)a3·a-5= =a-2=a3+(-5), 即 a3·a-5=a3+(-5) ;
(2)a-3·a-5= =a-8=a(-3)+(-5), 即 a-3·a-5=a(-3)+(-5) ;
(3)a0·a-5=1· = =a-5=a0+(-5), 即 a0·a-5=a(0)+(-5) .
am·an=am+n这条性质对于m,n是任意整数的情形仍然适用
归纳总结：
问题 3 类似地，你可以用负整数指数幂或 0 指数幂
对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？
①(am)n=amn(m,n是正整数);
②(ab)n=anbn(n是正整数);
③am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n);
④ (n是正整数).
解：①(a2)-3= =a2×(-3)，即 (a2)-3=a2×(-3) .
②(ab)-2= =a-2b-2，即 (ab)-2=a-2b-2 .
③a-2÷a-3= =a=a（-2）-（-3）,即 a-2÷a-3=a（-2）-（-3） .
④ ,即 .
随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.
归纳总结：
(1) (m，n 是整数)；
(2) (m，n 是整数)；
(3) (n 是整数)；
(4) (m，n 是整数)；
(5) (n 是整数)．
归纳总结
范例应用
【例1】　计算：　　　
解：　　
提示：计算结果一般需化为正整数幂的形式.
解：　　
即时测评
计算：
解：(1)原式=x2y-3·x-3y3
=x2-3·y-3+3
=x-1
=
(1) 根据整数指数幂的运算性质，当m,n为整数时，
am ÷an=am-n
又am ·a-n=am-n，因此am ÷an=am ·a-n.
即同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法.
(2) 特别地，
所以
即商的乘方可以转化为积的乘方.
总结归纳
整数指数幂的运算性质归结为
(1)am·an=am+n ( m、n是整数) ；
(2)(am)n=amn ( m、n是整数) ；
(3)(ab)n=anbn ( n是整数).
当堂达标
叁
当堂达标
1.填空：(-3)2·(-3)-2=( )；103×10-2=( );
a-2÷a3=( );a3÷a-4=( ).
2.计算：(1)0.1÷0.13
(2)(-5)2 024÷(-5)2 026
(3)100×10-1÷10-2
(4)x-2·x-3÷x2
1
10
a7
3.计算下列各式,并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
(1)(a2b-3)-2·(a-2b3)2;
(2)a-2b2·(-2a2b-2)-2÷(a-4b2).
解:(1)原式=a-4b6·a-4b6=a-8b12= .
(3)原式=a-2b2· a-4b4·a4b-2= a-2b4= .
课堂小结
肆
课堂小结
整数
指数幂
负整数指数幂：当n是正整数时，a-n=
整数指数幂的运算性质：
（1） am·an=am+n（m，n为整数，a≠0）
（2）（ab）m=ambm（m为整数，a≠0，b≠0）
（3）（am）n=amn（m，n为整数，a≠0）
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第7题
谢
谢