18.5　分式方程 第1课时 分式方程的解法 课件(共35张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共35张PPT)
第18章 分式
18.5　分式方程
第1课时 分式方程的解法
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
代数式
字母不在分母中
整式
分式
单项式和多项式的概念、性质和运算
分式方程
字母在分母中
整式方程
分式的概念、性质和运算
二次根式
二元一次方程
一元一次方程
一元二次方程
代数式 ， ， ， ，这四个代数式中.
（1）请填空：
其中整式是 .
分式是 .
，
，
1．代数式 ， ， ， .
（2）用以上四个代数式中的两个组成方程，共能组成哪些不同的方程？
①
②
③
④
⑤
⑥
（3）仔细观察由（2）组成的方程，未知数的位置有什么特点？
序号为①③④⑤⑥的方程的分母含有未知数
序号为②的方程的分母不含有未知数
思
考
新知初探
贰
新知初探
任务一　分式方程的概念与解法
活动1
像这样，分母里含有未知数的方程叫作分式方程.
这样的方程是我们之前学过的整式方程，它们未知数不在分母中.
； ； ；
； ； ；
；
即时测评
下列方程中， 是分式方程.
① ② ③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
④
⑤
⑥
②
分式方程定义：
分母里含有未知数的方程叫作分式方程.
⑨
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π不是未知数)．
因此，分式方程的两个重要特征：
①是方程；
②分母中含有未知数．
分析：(1)设江水流速为 vkm/h,则轮船顺流速度是 km/h，轮船逆流速度是 km/h;
(2)根据时间=路程÷速度，则轮船顺流航行 90km 所用时间为 小时，逆流航行 60km 所用时间为 小时;
(3)根据题目中的信息：“所用时间相等”，我们就可以列出方程：
活动1
本章引言中的问题
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流航行 60km 所用时间相等，江水的流速为多少？
(30+v)
(30-v)
=
任务二 分式方程的解法
如何求分式方程的解呢？
类比
2
去分母，得
去括号，得
1
3
移项，得
5
合并同类项，得
系数化为1，得
4
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化思想.
解方程：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
答：江水的流速为6 km/h．
解：方程两边同乘最简公分母
检验：把 代入原方程，左边 右边，
因此， 是原分式方程的解.
将分式方程化为整式方程的关键步骤是“去分母”！
v=6是原分式方程的解吗？
解分式方程的基本思路：
将分式方程转化为整式方程，具体做法是“去分母”， 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
归纳
活动2
运用上述“去分母化为整式方程”的方法解分式方程
解：方程两边同乘(x+5)(x-5)，得
x+5=10，
解得 x=5.
x=5是原分式方程的解吗？
检验：将x=5代入原方程中，分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解.
上面两个分式方程中，
为什么方程 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，
而方程 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？
思
考
方程两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
x+5=10
两边同乘(x+5)(x-5)
当x=5时, (x+5)(x-5)=0
方程两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
90(30-x)=60(30+x)
两边同乘(30+x)(30-x)
当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
我们再来观察去分母的过程:
思考：怎样检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解？
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，所以分式方程的解必须检验．
分式方程解的检验------必不可少的步骤
检验方法：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
回顾解分式方程 和 的过程，你能归纳解分式方程的一般思路和步骤吗？
解分式方程应该注意什么？
思
考
知识要点
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去。
4.写出原方程的根.
简记为：“一化二解三检验”.
“去分母法”解分式方程的步骤
解分式方程的思路：分式方程
整式方程
去分母
转化
范例应用
【例1】 解方程
解： 方程两边乘x(x-3),得
2x=3x-9.
解得
x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
【例2】 解方程
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
检验：当x=1时， (x-1)(x+2) =0, 因此x=1不是原分式方程的解.
所以，原分式方程无解.
即时测评
(2)方程两边都乘(x-2),得
1=x-1-3(x-2).
整理,得2x=4,解得x=2,
检验:当x=2时,x-2=0.故x=2是增根,
故原分式方程无解.
解:(1)方程两边都乘(x+3)(x-3),得
3+x(x+3)=x2-9,
整理,得3x=-12,解得x=-4,
检验:当x=-4时,(x+3)(x-3)≠0,
所以x=-4是原分式方程的根.
解分式方程：
(1) ; (2) .
分式方程
是分式方程的解.
检验
解整式方程
去分母
整式方程
方程的左边=右边
方程的左边≠右边
目标
不是分式方程的解.
最简公分母不为0
最简公分母为0
解分式方程的一般过程：
当堂达标
叁
当堂达标
1. 下列关于x的方程,是分式方程的是(　　)
D
2.把分式方程 化为整式方程,方程两边需同时乘以(　　)
A.2x B.2x-4
C.2x(x-2) D.2x(2x-4)
C
3.解分式方程 时，去分母后变形正确的是(　　)
A．2+(x+2)=3(x﹣1)
B．2﹣x+2=3(x﹣1)
C．2﹣(x+2)=3
D．2﹣(x+2)=3(x﹣1)
4.使分式 的值相等的x的值为 　　．
D
9
解：（1）方程两边同乘（x﹣2），
得x﹣3+x﹣2＝﹣3，
解得x＝1，
检验：当x＝1时x﹣2≠0，
∴原分式方程的解是x＝1.
5.解方程：
（2）方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），
得x+1﹣2（x﹣1）＝4，
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
∴原分式方程无解．
6.若关于x的方程 无解,求m的值.
解:方程两边同乘(x-3),得
x-2=m+2(x-3).
整理,得m=-x+4.
因为当x=3时,分式方程无解,
所以m=1.
课堂小结
肆
课堂小结
2.解分式方程的思路是：
分式方程
整式方程
去分母
3.解分式方程的一般步骤：
1.分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．
方程两边同乘最简公分母
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1 题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题
谢
谢