第15章 轴对称 综合与实践 最短路径问题 课件(共45张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共45张PPT)
第15章 轴对称
综合与实践 最短路径问题
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
观察图片，生活中你通常如何选择路径，使所走路径最短呢？
1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
①
②
③
A
B
路线②最短，因为两点之间，线段最短．
PC最短，因为垂线段最短．
复习旧知
新知初探
贰
新知初探
活动一
牧民饮马问题
任务1 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A
B
l
l
A
B
如图，在直线l上找一点C，使CA+CB最短.
l
A
B
如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
思考1：你能联系已学的知识，回忆在最短问题中，我们是通过什么知识进行解决呢？
已知，如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求作一点C，使得CA+CB最短．
解决问题一
连接AB，线段AB与直线l交于点C，点C即为所求．
两点之间，线段最短
作法：
依据：
已知，如图，点A、B在直线l的两侧，在l上求作一点C，使得CA+CB最短．
解决问题一
如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
思考2：能否通过图形的变换，把左边未知的问题转化为我们右边研究过的问题呢？
l
A
B
A、B在直线l的同侧
A、B在直线l的异侧
解决问题二
转化
l
A
B
问题转化为：
在直线l上求作一点C，使CA+CB'最短．
B'
解决问题二
例:如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B'，
(2)连接AB'交直线l于点C，
(3)则点C即为所求．
解决问题二
如图，在直线l上求作一点C，使CA+CB最短．
此题，能否作点A关于直线l的对称点呢？
B'
作法：
(1)作点A关于直线l的对称点A'，(2)连接A'B交直线l于点C，
(3)则点C即为所求．
归纳总结
A
B
抽象成数学模型
B'
如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
l
A
B
联想
旧知
解决实
际问题
用旧知解决新知
在直线上另外任取一点C'，连接AC',BC',B'C'.
任务2 如何证明任务1中得到的CA+CB最短？
需证明：
证明：
∵
∴
∴
任务3 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？请举例并加以解决
牧民饮马问题的拓展
实际问题
活动二
任务1 如图，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处，牧民怎样走可使所走的路径最短
A
草地
小河
已知直线m、直线n及点A，在直线m上找一点B,在直线n上找一点C，使AB+BC+CA最短.
数学问题
已知直线m、直线n及点A，在直线m上找一点B,在直线n上找一点C，使AB+BC+CA最短.
问题解决
作法：(1)作点A关于直线m的对称点A1,作点A关于直线n的对称点A2.
(2)连接A1A2，交直线m于点B，交直线n于点C.
则牧民行走的最短路线是A→B→C→A.
A1
A2
B
C
实际问题
任务2 如图,牧马人从A地出发,先去草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后到B处.请在图上画出牧马人行走的最短路线.
A
草地
小河
已知直线m,n及点A,B，在直线m上找一点P,在直线n上找一点Q，使AP+PQ+QB最短.
数学问题
B
已知直线m,n及点A,B，在直线m上找一点P,在直线n上找一点Q，使AP+PQ+QB最短.
问题解决
作法：
(1)作点A关于直线m的对称点A’,作点B关于直线n的对称点B’.
(2)连接A’B’，交直线m于点P，交直线n于点Q.
如图所示,牧民行走的最短路线是A→P→Q→B.
实际问题
任务3 如图，牧民每天从生活区的边沿A处出发，
先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，然后回到A处，如何确定A,B，C的位置，使从A处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短.
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA最短.
数学问题
思考1 对于这个实际问题，我们怎样把它抽象成数学问题呢？
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA最短.
问题解决
思考2 这个问题与任务1中的问题有什么区别？如何把任务3中的问题转化为任务1中的问题？
假设点A的位置是固定的，根据任务1的探究结果，作点A关于DE的对称点A1,点A关于DF的对称点A2，连接A1A2，交DE,DF于点B，C，则此时AB+BC+CA最短，且AB+BC+CA=A1A2，所以此时问题就转化为当点A的位置在何处时线段A1A2最短.
A1
A2
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA最短.
问题解决
思考3 如图，连接DA1,DA2，
(1)猜想△DA1A2的形状并说明理由？
(2)猜想∠A1DA2与∠EDF的数量关系并说明理由？
A1
A2
连接DA，根据轴对称的性质可得DA=DA1,DA=DA2,
∠ADE=∠A1DE,∠ADF=∠A2DF，
所以∠A1DA2=∠ADE+∠A1DE+∠ADF+∠A2DF
=2∠ADE+2∠ADF
=2∠EDF.
即△DA1A2是等腰三角形且∠A1DA2=2∠EDF.
由∠EDF为定值，可得等腰三角形A1DA2的顶角∠A1DA2是固定不变的，所以当DA1最短时，A1A2的长度最短.
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA最短.
问题解决
思考4 当点A位于什么地方时，DA1的长度最小？
A1
A2
因为DA1=DA，
所以当DA⊥EF时，根据垂线段最短，此时DA最短，
所以DA1最短，
所以A1A2最短，即AB+BC+CA最短.
已知△DEF，在EF上找一点A，在DE上找一点B，在DF上找一点C，使AB+BC+CA最短.
问题解决
作法：(1)过点D作DA⊥EF；
(2)作点A关于DE的对称点A1,点A关于DF的对称点A2；
(3)连接A1A2，交DE,DF于点B，C.
如图所示,牧民行走的最短路线是A→B→C→A.
A
A1
A2
B
C
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
活动三
造桥选址问题
任务1 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
问题分析
转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小。
问题描述：已知两条直线a，b，a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点M、N在直线什么位置时，AM+MN+NB最小呢？
思考：能否简化这个问题？
思考：左图和右图的区别是什么？如何通过图形的变换(轴对称、平移等）转化为右图？
转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
将AM沿与河岸垂直的方向平移，使得点M与点N重合，此时点A移动到点A'，则AA'=MN，AM=A'N .
转化1：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
A’
转化2:当点N在直线b的什么位置时，A’N+NB最小？
转化2：当点N在直线b的什么位置时，A'N+NB最小？
连接A'B与直线b相交于点N，过点N作河岸的垂线，交直线a于点M，连接AM，则所求的MN即为所求。
'
'
如图，将点A沿垂直于直线a的方向平移到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交直线b于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短。
作法：
问题解决
如图，平移A到A′，使AA ′等于河宽，连接A′ B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短。
问题证明
在直线l 上任取一异于最小值点C的C′，证明AC +BC＜AC′+BC′。
C ′
'
'
需证明：AM'+M'N'+BN' >AM+MN+NB
思考：如何证明这条路径AMNB最短？
A'N'+BN' >A'B
另任作桥M ′ N′，连接A′N′.
MN=M′N′
AM'+BN' >AM+NB
AM'=A′N′
AM＝A′N
两点之间，线段最短
证明：若桥的位置建在M′N′处，由平移的性质，得： AM=A′N且AA′=NM=N′M′,则A到B的路径长为AM+MN+BN= A′N +AA′+BN=AA′+A′B, 连接AM′, N′B,则A到B的路径长为AM′+N′M′+N′B=AA′+A′N′+N′B,
在△A′N′B中，∵A′N′+N′B＞A′B,
∴ A′N′+N′B+MN＞A′B+MN,
即AM′+N′M′+N′B ＞AM+MN+BN，
所以桥在MN处，A到B的路径最短.
问题证明
M′
N′
A′
任务2 你还能举出类似上述数学模型的其他现实问题吗？请举例并加以解决
当堂达标
叁
当堂达标
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
D
1000
3.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
A
D ′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
课堂小结
肆
课堂小结
原理
线段公理和垂线段最短
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”和同侧点平移
最短路径问题
轴对称知识+线段公理
解题方法
思想
化归思想
课后作业
基础题：1.课后复习题 第 9,10题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后复习题第14题
谢
谢