第16章 整式的乘法 数学活动 课件(共22张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共22张PPT)
第16章 整式的乘法
数学活动
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
同样的落叶，
乐观者看到浪漫， 悲观者看到伤感， 农民一叶知秋，
物理学家看到万有引力， 数学家看到什么呢？
我们已经在七年级探究过月历中存在的规律，
如图是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题：
蓝色方框中的９个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么.
解：设中心的数为a,则这9个数分别
为a-8,a-7,a-6,a-1,a,a+1,a+6,a+7,a+8,
所以这9个数的和为
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+
(a+6)+(a+7)+(a+8)=9a.
所以蓝色方框中的９个数的和是方框正中心的数的9倍.
新知初探
贰
新知初探
13×7-6×14=7，或6×14-13×7=-7.
活动1
月历中的奥秘
如图是某月的月历.
(1)选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结果
改变方框的位置，结果有变化吗？
23×17-16×24=7，或16×24-23×17=-7.
结果没有变化
你发现了什么规律
(2)再换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？
10×4-3×11=7，或3×11-10×4=-7.
29×23-22×30=7，或22×30-29×33=-7.
蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果为7或-7
猜想结论
(3)你能用整式的运算对以上规律加以证明吗？
证明：设左上角的数字为a,则右上角的数字为a+1,左下角的数字为a+7,右下角的数字为a+8，
所以(a+7)(a+1)-a(a+8)
=(a2+8a+7)-(a2+8a)
=a2+8a+7-a2-8a
=7.
证明猜想
你还能发现其他的规律吗？
(1)计算下列两个数的积(每组中两个数的和为定值).
①30×30= ;
35×25= ;
43×17= ;
52×8= ;
900
活动2
和为定值的两数积的规律
②50×50= ;
53×47= ;
74×26= ;
91×9= .
875
731
416
2500
2491
1924
819
思考：你能发现结果有什么规律吗？
①当两数相等时，积最大；
②两数越接近，积越大；两数相差越大，积越小.
猜想结论
(2)你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？
证明猜想
证明：设两个数分别为 +d和 -d,则两数的和为定值S，两数的差为2d.
则他们的积为( +d)( -d)= S2-d2,
因为d2≥0，所以当d=0时，d2有最小值，
所以 S2-d2有最大值，最大值为 S2.
若两个数的差越小，则d越小，此时d2越小, S2-d2就越大.
若两个数的差越大，则d越大，此时d2越大, S2-d2就越小.
(3)利用你发现的规律解决下面的问题:
用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少 此时长方形的两条邻边长有什么关系
周长为10m
解：用10m长的绳子围成一个长方形，则长方形的长与宽的和为定值5，即S=5，
则最大面积为 S2= (m2).
此时长与宽相等，即围成了一个正方形.
当堂达标
叁
当堂达标
1.观察下列式子中的运算规律：
13×17＝1×2×100+21；
23×27＝2×3×100+21；
33×37＝3×4×100+21；
…
（1）观察规律并填空：83×87＝（ 　　）×（ 　　）×（ 　　）+（ 　　）；
（2）观察规律，写出第11个等式；
（3）设n（n≥1）表示自然数，请根据这个规律把第n个等式表示出来，并利用所学知识来验证这个等式成立．
解：（1）8 9 100 21
（2）113×117＝11×12×100+21；
（3）第n个等式为（10n+3）（10n+7）＝n（n+1）×100+21，
∵（10n+3）（10n+7）
＝100n2+70n+30n+21
＝100n2+100n+21，
n（n+1）×100+21＝100n2+100n+21，
∴左边＝右边，
故原等式成立．
2.在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
（1）图1是2024年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：5×19-4×20= （请完成填空），2×16-1×17= ，不难发现，结果都等于 ；
（2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x,请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
（3）如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为105，那么中间位置上的数a= .
解：（1）15，15，15
（2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x,则A，B，D，E四个数依次为x-8，x-7，x+7，x+8，
由题意得，（x-7）（x+7）-（x-8）（x+8）
=（x2-49）-（x2-64）
=x2-49-x2+64
=15.
（3）13
课堂小结
肆
课堂小结
(1)本节课主要学习了哪些知识 学习了哪些数学思想和方法
(2)本节课还有哪些疑惑 请同学们说一说.
课后作业
基础题：1.课后复习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后复习题第10题
谢
谢