第17章 因式分解 数学活动课件(共26张PPT) 2025-2026学年数学人教版八年级上册

(共26张PPT)
第17章 因式分解
数学活动
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
1.一个两位数, 十位上的数是a, 个位上的数是b, 这个两位数用 式子可以表示为 ;
98=90+8=9×10+8
90
10a + b
10a
10a+b
2.一个三位数，百位上的数是a ，十位上的数是b，个位上的数 是c，这个三位数用式子可以表示为 .
100a+10b+c
985=900+80+5=9×100+8×10+5
100a
10b
900
80
100a + 10b + c
小敏同学在数学课外活动中发现了一个有趣的数字运算规律：1×1=1；11×11=121；111×111=12321，…，其实在数字运算中还有许多规律性结论，这节课我们共同探讨数字运算中的某些规律.
新知初探
贰
新知初探
活动1
个位数字是5的两位数平方的规律
观察上述每一个算式，这些算式左右两侧具有什么样的规律？
问题1　我们共同来进行一个简单的数学计算：
15×15 =
25×25 =
35×35 =
……
1×2×100+25
2×3×100+25
3×4×100+25
　　 15×15 =1×2×100+25 ；
　　25×25 =2×3×100+25 ；
　　35×35 =3×4×100+25 ．
你能用语言表述出你发现的规律吗？
原十位上的数字加上1，再与自己相乘得到的结果乘100 ，再加上25，就是个位数字为5的两位数的平方数的结果.
归纳总结
问题3 用字母怎么表示得到的一般性的规律呢？
问题2 你能再举几个具有这样特征的例子，并用上述方法验证其正确性吗？
　 45×45 =2025=4×5×100+25
　　55×55 =3025=5×6×100+25
　 (10a+5)(10a+5) =100a(a+1)+25
问题4 你能用本章所学的知识证明你的结论吗？
证明：设两位数的十位数字为a，个位数字为5，则这个两位数可表示为10a +5．
　　所以　 (10a+5)(10a+5)
　　　　 =(10a+5)2
=100a2+100a +25
=100a(a+1)+25．
规律：
个位数是5的两位数的平方，结果的十位个位是25， 结果的千位百位是原十位上的数乘以比它大1的数的乘积.
(10a+5)2=a(a+1)·100+25
结果的十位个位是25 .
结果的千位百位是 原十位上的数乘以比 它大1的数的乘积.
小结：特殊算式—寻找规律—字母表示—推理证明.
活动2
利用因式分解生成密码
人类历史使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码;
(1)先将确定的多项式分解因式;
(2)再对因式赋值生成正整数或0的因式码;
(3)将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
例如多项式x2y-4y.
(1) 分解因式，得x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2).
(2)若取x=15,y=12,则有
y=12, x+2=17,x-2=13.
所以12,17,13分别为因式码,
（3）将这三个因式码按从小到大的顺序排列，
所以密码为121317.
问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10,q=5时，
用上述方法生成的密码是什么
16p4-q4=（4p2）2-(q2)2
=(4p2+q2)(4p2-q2)
=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q).
把p=10,q=5代入，得4p2+q2=4×102+52=425,
2p+q=2×10+5=25,2p-q=2×10-5=15.
将因式码按从小到大的顺序排列15, 25, 425.
因此，密码为 1525425.
问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，
若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗
16p4-q4=（4p2）2-(q2)2=(4p2+q2)(4p2-q2)=(4p2+q2)(2p+q)(2p-q).
所以因式码为4p2+q2，2p+q，2p-q.
因为p,q为非负整数，所以2p-q<2p+q<4p2+q2.
因为密码的前两个因式码为5，15，
所以4p2+q2=4×52+52=125.
所以第三个因式码为125.
所以 解得
问题3 自己写一个多项式，并用上述方法生成密码.
例如多项式xy2-x,分解因式得xy2-x=x(y+1)(y-1).
取x=3,y=5,代入，得y+1=6,y-1=4.
所以因式码为3,6,4.
按由小到大的顺序排列：3，4，6.所以密码为346.
当堂达标
叁
当堂达标
1. 老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：32-12=8×1；52-32=8×2；72-52=8×3；…
(1)试写出符合上述规律的第五个算式；
解：(1)第五个算式为112-92=8×5.
解：(2)验证：设两个连续奇数为2n+1，2n-1，
则（2n+1）2-（2n-1）2
=（2n+1-2n+1）（2n+1+2n-1）
=2×4n
=8n．
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
2.(2)验证：设两个连续奇数为2n+1，2n-1
（其中n为正整数），用因式分解的方法说明它们的平方差是8的倍数.
2.在现今信息化时代，，锁屏密码为保护我们个人隐私起到
了不可或缺的作用，而诸如“1234”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式；x2-9因式分解的结果为（x-3）（x+3）或（x+3）（x-3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，此时可以得到数字密码1016或1610．
（1）根据上述方法，若多项式为x2-16，当x=15时，求出锁屏密码；
解：（1）∵x2-16因式分解的结果为
（x-4）（x+4）或（x+4）（x-4），
∴当x=15时，x-4=11，x+4=19，
∴锁屏密码为1119或1911．
2.（2）若王老师选取的多项式为x3-x,已知王
老师手机的锁屏密码是6位数字353334，请尝试分析王老师当前年龄是多少岁，并说明理由．
解：（2）王老师的年龄是34岁．理由如下：
x3-x
=x（x2-1）
=x（x+1）（x-1）
∵王老师手机的锁屏密码是6位数字353334，35＞34＞33，
∴x+1=35，x=34，x-1=33，
∴x=34，
∴王老师的年龄是34岁．
课堂小结
肆
课堂小结
1.通过本节课的学习,你有那些收获
2.有什么体会和感悟
3.你还有哪些疑问
课后作业
基础题：1.课后复习题 第 1,2,3题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后复习题第8题
谢
谢