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第十四章 全等三角形
全等三角形及其性质
知识点一 全等形的概念
能够完全 的两个图形叫作全等形(即 、 .
相同).
重合
学新知 知识导学 01
形状
大小
1.典例 下列各组图形中,是全等图形的是( )
B
2.下列说法正确的是( )
A.形状相同的两个图形一定全等
B.两个长方形是全等图形
C.两个全等图形面积一定相等
D.两个正方形一定是全等图形
C
知识点二 全等三角形的概念
(1)能够完全 的两个三角形叫作全等三角形;
(2)把两个全等的三角形重合到一起,重合的 叫作对应顶点,重合的 叫作对应边,重合的 叫作对应角;
(3)全等三角形的表示方法:如图所示,△ ≌△DEF(对应顶点要写在对应位置上).
重合
顶点
边
角
ABC
【归纳总结】 1.平移、翻折、旋转前后的图形全等.2.找全等三角形对应边或对应角方法:①大对大,小对小;②利用“≌”字母的对应关系找.
3.典例 教材P30T2变式 如图所示,△ABC≌△DEB,请写出图中的对应角,对应边.
(1)∠ABC的对应角为 ;
(2)∠C的对应角为 ;
(3)AB的对应边为 ;
(4)AC的对应边为 .
∠DEB
∠DBE
DE
DB
4.(2025惠州期中)如图所示,△ABC≌△CDA,下列结论:①AB与AD是对应边;②AD与CB是对应边;③∠CAB与∠ACD是对应角;④∠BAC与∠DAC是对应角.其中正确的有( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
B
知识点三 全等三角形的性质
全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 .
相等
相等
5.典例 如图所示,△AOB绕点O旋转后与△COD重合.
则OA= ,
AB= ,
∠A= ,
∠B= .
OC
CD
∠C
∠D
6.(2025东莞期中)如图所示,已知△ABC≌△ADE,∠DAC=60°,
∠BAE=100°,BC,DE相交于点F,则∠DFB的度数是 .
20°
精评价 层级演练 02
基础巩固
7.(2025广州期中)如图所示,△ABC≌△DCB,若AC=9,BE=6,则DE的长为( )
A.3 B.6 C.2 D.4
A
8.跨学科融合 下列各学科使用的教学器具中,属于全等图形的是( )
A
9.如图所示,已知△ABC≌△DBC,∠ABC=55°,∠ACD=60°,那么∠D= °.
95
10.如图所示,已知△ABC≌△ADE,试找出对应边、对应角.
解:对应边是AC与AE,AB与AD,BC与DE.对应角是∠A与∠A,∠B与∠D,∠ACB与∠AED.
能力进阶
11.(2025珠海期中)若图中的两个三角形全等,则∠α等于
( )
A.72° B.60°
C.58° D.50°
C
12.如图所示,将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠,使点C落在AB边上的点E处,折痕为BD,则下列结论中一定正确的是
( )
A.AD=BD
B.AE=AC
C.ED+EB=DB
D.AE+CB=AB
D
13.如图所示,△ADE≌△BCF,AD=8 cm,CD=6 cm,∠A=30°,∠E
=80°.
(1)求BD的长;
解:(1)∵△ADE≌△BCF,AD=8 cm,
∴BC=AD=8 cm.
∵CD=6 cm,
∴BD=BC-CD=8-6=2(cm).
(2)求∠BCF的度数.
解:(2)∵△ADE≌△BCF,∠A=30°,∠E=80°,
∴∠B=∠A=30°,∠F=∠E=80°.
∴∠BCF=180°-(∠B+∠F)=180°-(30°+80°)=70°.
14.如图所示,B,C,D三点在同一条直线上,∠B=∠D=90°,
△ABC≌△CDE,AB=5,BC=12,CE=13.
(1)△ABC的周长为 ;
30
(2)求△ACE的面积.
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三角形全等的判定(5)——HL
知识点一 三角形全等的判定(HL)
斜边和一 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“ ”).
学新知 知识导学 01
直角边
HL
Rt△A′B′C′
HL
1.典例 如图所示,∠C=∠F=90°,AB=DE,BC=EF.求证:Rt△ABC
≌Rt△DEF.
知识点二 直角三角形全等的判定与性质的综合
2.典例 如图所示,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF交于点D,则下列结论中不正确的是( )
A.△ABE≌△ACF
B.点D在∠BAC的平分线上
C.△BDF≌△CDE
D.D是BE的中点
D
3.如图所示,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,
∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 .
110°
4.典例 教材 P43 练习 T1 变式 如图所示,点C是路段AB的中点,小明和小红两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地,并且DA⊥AB于点A,EB⊥AB于点B.此时小明到路段AB的距离是50 m,则小红到路段AB的距离是多少米
5.教材 P45 习题 T12 变式 如图所示,小明和小芳以相同的速度分别同时从A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达C,D,若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等吗 为什么
精评价 层级演练 02
基础巩固
6.如图所示,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,CE=DE,E是AB的中点.应用上述条件,可证明△CAE ≌△DBE,这是根据( )
A.SAS B.SSA
C.AAS D.HL
D
7.如图所示,∠B=∠D=90°,AB=AD,∠1=25°,则∠2的度数为
( )
A.25°
B.40°
C.65°
D.60°
C
8.如图所示,有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上.已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF相等,那么判定△ABC与△DEF全等的依据是 .
HL
9.(2025韶关期中)如图所示,已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,
AB=DE.求证:Rt△ABC≌Rt△DEC.
能力进阶
10.(2025广州期中)如图所示,在△ABC和△CDE中,∠ACB=
∠CED=90°,AB=CD,BC=DE,则下列结论不一定成立的是( )
A.△ABC≌△CDE
B.CE=BE
C.AB⊥CD
D.∠CAB=∠ECD
B
11.如图所示,已知∠ABE=∠ACD=90°,AD=AE,∠ADE=∠AED,那么图中有 对全等三角形.
3
12.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,
E在BC的延长线上,且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明你猜想的正确性.
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第十四章 章末知识复习
考点1 全等三角形的性质
1.(2025江门期中)如图所示,△ABC≌△DEF,BE=4,AE=1,则DE的长是( )
A.5 B.4
C.3 D.2
A
分类练 考点集训 01
2.(2025汕尾期中)如图所示,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是( )
A.AC=DE B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE D.∠ABC=∠AED
3.(2024成都)如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=
45°,则∠DCE的度数为 .
B
100°
考点2 全等三角形的判定
4.一定能确定△ABC≌△DEF的条件是( )
A.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
B.∠A=∠E,AB=EF,∠B=∠D
C.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
A
5.(2024德州)如图所示,C是AB的中点,且CD=BE,请添加一个条件: ,使得△ACD≌△CBE.
AD=CE(答案不唯一)
6.(2024西藏)如图所示,C是线段AB的中点,AD=BE,∠A=∠B.求证:∠D=∠E.
7.新教材样板题 如图所示,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的跨度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC与∠EFD的大小有什么关系 说说你的理由.
考点3 角的平分线的性质与判定
8.(2024青海)如图所示,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=
2,则点P到OA的距离是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
C
9.(2025中山期中)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=12 cm,
CD∶AD=1∶3,BD平分∠ABC,则点D到AB的距离为 cm.
3
10.(2025江门月考)如图所示,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE交于点D,且BE=CF,求证:AD平分∠BAC.
讲方法 数学思想 02
类型一 分类讨论思想
类型解读
当判定三角形全等没有指明对应顶点(对应角或对应边)时要分情况讨论.
11.(2025珠海期中)如图所示,AB=4 cm,BC=6 cm,∠B=∠C,如果点P在线段BC上以2 cm/s 的速度由B点向C点运动,同时,点Q从C点出发沿射线CD运动.若经过t s后,△ABP与△CQP全等,则t的值是 .
12.(2025广州期中节选)如图所示,已知在△ABC中,AB=AC=
10 cm,BC=8 cm,∠B=∠C,D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动.当点Q的运动速度为 cm/s时,能够使△BPD与△CQP全等.
类型二 转化思想
类型解读
常见的转化类型
利用全等三角形的性质证明线段相等或角相等.
13.如图所示,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
求证:(1)△BDE≌△CDF;
(2)AD是△ABC的角平分线.
证明:(2)∵△BDE≌△CDF,∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴点D在∠BAC的平分线上,
即AD是△ABC的角平分线.
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三角形全等的判定(2)——ASA和AAS
知识点一 三角形全等的判定(ASA)
两角和它们的 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
学新知 知识导学 01
夹边
ASA
1.典例 如图所示,已知∠A=∠C,OA=OC,求证:AB=CD.
知识点二 三角形全等的判定(AAS)
两角分别相等且其中一组等角的 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
【几何语言】 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
对边
AAS
2.典例 (2025东莞期中)如图所示,点A,C,B,D在一条直线上,
∠A=∠DCE,AC=BD,∠F=∠E.求证:△ABF≌△CDE.
知识点三 三角形全等判定方法的应用
3.典例 如图所示,海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方,海岛C在观测点A的正北方,海岛D在观测点B的正北方.如果从观测点A看海岛C,D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C,D的视角∠CBD相等,那么海岛C,D到观测点A,B所在海岸的距离CA,DB相等.请你说明理由.
解:∵∠CAB=∠DBA=90°,∠CAD=∠CBD,
∴∠DAB=∠CBA.
又AB=BA,∴△ABC ≌△BAD(ASA).∴CA=DB.
4.新教材样板题 如图所示,从C地看A,B两地的视角∠C是锐
角,从C地到A,B两地的距离相等.A地到路段BC的距离AD与B地到路段AC的距离BE相等吗 为什么
精评价 层级演练 02
基础巩固
5.小明不慎将一块三角形的玻璃打碎成如图所示的四块(图中所标1、2、3、4),你认为将其中的哪一块带到玻璃店,就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃 应该带去的是( )
A.第1块 B.第2块
C.第3块 D.第4块
D
6.如图所示,已知∠ABC=∠DCB,下列所给条件不能证明△ABC
≌△DCB的是( )
A.∠A=∠D
B.AC=BD
C.∠ACB=∠DBC
D.AB=DC
B
7.新教材样板题 如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B
=∠C.求证:AD=AE.
8.如图所示,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=∠C,AD=AE,求证:△ABD
≌△ACE.
能力进阶
9.如图所示,点A在DE上,点F在AB上,且AC=CE,∠1=∠2=∠3,则DE的长等于( )
A.DC B.BC
C.AB D.AE+AC
C
10.(2025东莞期中)游乐园的海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图所示,当海盗船静止时,转轴B到地面的距离BD=15 m.当海盗船的船头在A处时,AC⊥BD,此时测得点A到地面的距离AE=9 m.当船头从A处摆动到A′处时,A′B⊥AB,则点A′到BD的距离为 .
6 m
11.如图所示,AB⊥AC,BD⊥CD,∠1=∠2.求证:AE=DE.
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角的平分线(1)——角的平分线的
性质
知识点一 角的平分线的作法
学新知 知识导学 01
1.典例 尺规作图:作∠AOB的平分线OC(不写作法,保留作图
痕迹).
解:如图所示,OC即为所求.
35°
知识点二 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离 .
【几何语言】 如图所示,∵AP平分∠BAC, , ,
∴ .
相等
PB⊥AB
PC⊥AC
PB=PC
3.典例 新教材样板题 证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”.
4.(1)如图(1)所示,OP平分∠MON,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为A,B.若PB=4,则PA= ;
(2)如图(2)所示,OP平分∠AOB,PC⊥OA于点C,点D在OB上,若PC
=3,OD=6,则△POD的面积为 .
4
9
图(1) 图(2)
精评价 层级演练 02
基础巩固
5.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若点D到AB的距离为3,则CD的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
A
6.如图所示,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2,则PQ的长不可能是( )
A.4
B.3.5
C.2
D.1.5
D
15
8.如图所示,在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,
AB=7,AC=3,求BE的长.
能力进阶
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,DE⊥BC于点E,若△ABC与△CDE的周长分别为14和4,则AB的长为( )
A.18
B.10
C.8
D.5
D
10.如图所示,在△ABC中,∠CAB=50°,点D在△ABC的外部,且AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E,DF⊥BC,交BC于点F,连接BD.若∠BCE=104°,DE=DF,则∠DBC的度数为
.
63°
11.(2025江门月考)如图所示,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB(E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长.
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三角形全等的判定(4)——尺规作图
知识点一 用尺规作图作已知角
学新知 知识导学 01
1.典例 已知:∠AOB,如图所示.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法)
解:如图所示,∠A′O′B′即为所求.
2.(2025江门月考)尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法.如图所示,为了得到∠MBN=∠PAQ,在用直尺和圆规作图的过程中,得到△ACD≌△BEF的依据是( )
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
B
知识点二 用尺规作图作平行线
3.典例 尺规作图题,不写作法,但保留作图痕迹:如图所示,过点C作AB的平行线.
解:如图所示,CD为所求.
4.如图所示,点C在∠AOB的边OA上,用尺规作出了CP∥OB,作图痕迹中,弧FG是( )
A.以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B.以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C.以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D.以点E为圆心、OD的长为半径的弧
C
知识点三 用尺规作图作三角形
5.典例 如图所示,已知线段a,b,∠1.
尺规作图:作△ABC,使得△ABC的两边分别为a,b,一内角等于∠1.
解:如图所示,△ABC为所求,
6.(2024深圳期中)如图所示,已知∠AOB=48°,点C为射线OB上一点,用尺规按如下步骤作图:①以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于点D,交OB于点E;②以点C为圆心,以OD长为半径作弧,交OC于点F;③以点F为圆心,以DE长为半径作弧,交前面的弧于点G;④连接CG并延长交OA于点H,则∠AHC的度数为( )
A.24° B.42°
C.48° D.96°
D
精评价 层级演练 02
基础巩固
7.如图所示,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是( )
A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧
B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧
C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧
D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧
D
8.(2024潮州期中)如图所示,是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图,画图的原理是( )
A.同位角相等,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等
D.两直线平行,内错角相等
A
9.(2024佛山期末)如图所示,作一个角等于已知角(尺规作图)的正确顺序是( )
A.①⑤②④③ B.①②④⑤③
C.①④③⑤② D.②①③④⑤
A
10.尺规作图:如图所示,已知△ABC,过点A画BC的平行线(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图所示.
能力进阶
11.如图所示,已知∠AOB,以点O为圆心,以任意长为半径画弧①,分别交OA,OB于点E,F,再以点E为圆心,以EF长为半径画弧,交弧①于点D,画射线OD.若∠AOB=32°,则∠BOD的度数为
.
64°
12.如图所示,∠DAE=100°,∠EAB=65°,根据图中尺规作图的痕迹,可知∠ABC的度数为 .
35°
13.如图所示,已知△ABC的两角分别为∠α、∠β,求作这个三角形,使∠B=∠α,∠C=∠β,BC=a(不写作法,保留作图
痕迹).
解:如图所示,△ABC即为所求.
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角的平分线(2)——角的平分线的
判定
知识点一 角的平分线的判定
角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上.
【几何语言】 如图所示,∵ , , ,
∴AP平分∠BAC.
学新知 知识导学 01
相等
PB=PC
PB⊥AB
PC⊥AC
1.典例 新教材样板题 证明“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”。
2.(1)如图(1)所示,PM⊥OA,PN⊥OB.若PM=PN,∠AOB=80°,则∠AOC的度数为 .
40°
图(1)
(2)如图(2)所示,有三条公路两两相交,要在它们所围成的三角形中间建一个加工厂,并保证加工厂到三条公路的距离相
等,作图找到工厂位置.(用尺规作图法,保留作图痕迹,不必写作法和证明过程)
解:如图(2)所示,点P即为所求.
图(2)
知识点二 角的平分线的性质与判定的综合
3.典例 如图所示,点B,C在∠MAN的两边上,且AB=AC,D为∠CAB内的一点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,DE=DF.求证:DB=
DC.
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于E,且DE=DC.若∠A=36°,求∠DBC的度数.
精评价 层级演练 02
基础巩固
5.到三角形三边的距离相等的点是( )
A.三角形三条高所在直线的交点
B.三角形三条中线的交点
C.三角形三条角平分线的交点
D.不存在这个点
C
6.如图所示,在CD上求一点P,使它到边OA,OB的距离相等,则点P是( )
A.线段CD的中点
B.CD与过点O作CD的垂线的交点
C.CD与∠AOB的平分线的交点
D.以上均不正确
C
7.(2025东莞期中)如图所示,BE=CF,DE⊥AB的延长线于点E,DF
⊥AC于点F,且DB=DC,求证:AD是∠BAC的平分线.
8.如图所示,CE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,且BD=CD.求证:点D在∠BAC的平分线上.
证明:∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠CFD=∠BED=90°.
又∠CDF=∠BDE,BD=CD,
∴△CFD≌△BED.∴FD=DE.
又CE⊥AB,BF⊥AC,
∴点D在∠BAC的平分线上.
能力进阶
9.如图所示,AB∥CD,点P到AB,BC,CD距离都相等,则∠P等于
( )
A.120°
B.90°
C.75°
D.60°
B
10.如图所示,点O在△ABC内,且到三边的距离相等,若∠A=
55°,则∠BOC= .
117.5°
11.教材 P53 习题 T8 改编 如图所示,在梯形ABCD中,∠A=
∠B=90°,E为AB的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:CE平分∠BCD;
证明:(1)作EM⊥CD,垂足为M,如图所示.
∵DE平分∠ADC,∠A=90°,∴AE=EM.
∵E为AB的中点,∴AE=EB.∴EM=EB.∵EM⊥CD,∠B=90°,∴CE平分∠BCD.
(2)求证:AD+BC=CD.
证明:(2)由(1),得∠EMC=∠B=∠A=90°,DE=DE,AE=EM,
∴Rt△DEA≌Rt△DEM(HL).∴DA=DM.
同理可证:Rt△BEC≌Rt△MEC(HL).∴CB=CM.
∵DM+MC=CD,∴AD+BC=CD.
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三角形全等的判定(3)——SSS
知识点一 三角形全等的判定(SSS)
三边分别 的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
学新知 知识导学 01
相等
△A′B′C′
SSS
1.典例 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,延长AE,交BC边于点D,则由“SSS”可以判定( )
A.△ABD≌△ACD
B.△BDE≌△CDE
C.△ABE≌△ACE
D.以上都不正确
C
2.典例 如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,求证:△ABD≌
△ACD.
3.如图所示,AB=AD,BC=DE,AE=AC.求证:△ABC≌△ADE.
知识点二 三角形全等的判定与性质的应用
4.典例 如图所示,C是AB的中点,AD=BE,CD=CE.求证:∠D=∠E.
5.新教材样板题 如图所示,仪器ABCD可以用来平分一个角,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们落在角的两边上,沿AC画一条射线AE,AE就是∠PRQ的平分线.你认为这样合理吗 为什么
解:合理.理由如下:在△ABC和△ADC中,
AB=AD,BC=DC,AC=AC,
∴△ABC ≌△ADC(SSS).
∴∠BAC=∠DAC,即∠QRE=∠PRE.
∴AE就是∠PRQ的平分线.
精评价 层级演练 02
基础巩固
6.跨学科融合 工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法是:如图所示,在∠AOB的边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺的两边相同的刻度分别与M,N重合,得到∠AOB的平分线OP,做法中用到三角形全等的判定方法是( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.SSA
A
7.如图所示,已知EF=BA,DE=CB,点A,D,C,F在一条直线上且AC=
FD,以下结论错误的是( )
A.△DEF≌△CBA
B.AD=CF
C.CB∥DE
D.以上都不对
D
8.如图所示,已知点A,D,C,F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,根据SSS还需要添加一个条件是 .
.
AC=DF(答
案不唯一)
9.已知:线段a,b,c,如图所示.求作:△ABC,使AB=c,BC=a,AC=
b.(不写作法,保留作图痕迹)
解:如图所示,△ABC即为所求.
能力进阶
10.(2025中山月考)如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,则∠B与∠D的关系是( )
A.∠B>∠D
B.∠B<∠D
C.∠B=∠D
D.不能确定
C
11.如图所示,在△ABC的上方有一点D,连接AD,CD,AB=AD,CB=
CD,∠BCD=50°,则∠ACB的度数为 °.
25
12.如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC,AD=AE,BD=CE.求证:AD⊥AE.
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三角形全等的判定(1)——SAS
知识点一 三角形全等的判定(SAS)
两边和它们的夹角分别 的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“ ”).
学新知 知识导学 01
相等
SAS
SAS
【方法技巧】 判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
1.典例 如图所示,△ABC的三边长分别为a,b,c,∠B=72°,∠C
=58°,则与△ABC一定全等的三角形是( )
A
2.如图所示,已知∠ACB=∠DBC,要用“SAS”判断△ABC≌
△DCB,需添加的一个条件: .
AC=BD
3.典例 如图所示,AB和CD相交于点O,且AO=BO,CO=DO.求证:
△ACO≌△BDO.
4.(2025珠海期中)如图所示,D,E分别是AB,AC上的点,且AB=
AC,AD=AE,求证:△ABE≌△ACD.
知识点二 “边边角”不能判定两个三角形全等
【重点必记】两个三角形,如果两边和其中一边的对角相等,那么这两个三角形不一定全等,即不能用“边边角”判定两个三角形全等.
5.典例 如图所示,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC,固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD,这个实验说明了什么
解:△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.说明了不能用“边边角”判定两个三角形全等.
知识点三 三角形全等的判定与性质的应用
6.典例 如图所示,是一个瓶子的截面图,测量得到瓶子的外径AB的长度是10 cm,为了得到瓶子的壁厚a cm,小庆把两根相同长度的木条DE和CF的中点O固定在一起,做了一个简单的测量工具,测得EF的长为 6 cm,则瓶子的壁厚a的值为 .
2
7.教材 P34 练习 T1 变式 有一座小山,如图所示,要测量小山两端A,B的距离,先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,量出DE的长为 68 m,则小山两端A,B的距离为 m.
68
精评价 层级演练 02
基础巩固
8.如图所示,AB与CD相交于点E,EA=EC,DE=BE,若使△AED≌
△CEB,则( )
A.应补充条件∠A=∠C
B.应补充条件∠B=∠D
C.不用补充
D.以上说法都不正确
C
9.如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD=8,AC平分∠BAD.若CD=5,则四边形ABCD的周长为 .
26
10.如图所示,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为 .
7
11.如图所示,已知OC平分∠MON,点A,B分别在射线OM,ON上,且OA=OB.求证:△AOC ≌△BOC.
能力进阶
12.如图所示,点C是线段AB的中点,∠ACD=∠BCE,CD=CE,求证:
△ACE≌△BCD.
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