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第2课时 用提公因式法分解因式(2)
知识点一 确定公因式
确定公因式时,数字因数需要考虑最大公约数,相同字母需要考虑最低次幂.
学新知 知识导学 01
1.典例 (1)单项式6a3b与9a2b3的公因式是( )
A.a2b B.3a3b3
C.3a2b D.18a3b3
(2)2x3y2与6x4y的公因式是 .
2.(1)多项式2x2-4x中各项的公因式是 ;
(2)(2025东莞期末)多项式8a3b2+6ab3c的公因式是 .
C
2x3y
2x
2ab2
知识点二 公因式是单项式的因式分解
先确定公因式,再把多项式写成公因式和另一个因式的乘积的形式.
3.典例 分解因式:
(1)3m2-6m= ;
(2)4x2y-12xy= .
4.分解因式:
(1)2a2-6ab= ;
(2)3a2b-9ab= .
3m(m-2)
4xy(x-3)
2a(a-3b)
3ab(a-3)
5.典例 教材P127习题T6变式 若a+b=3,ab=-2,则代数式a2b+
ab2的值为( )
A.1 B.-1
C.-6 D.6
6.已知x-y=-2,xy=3,则x2y-xy2的值为( )
A.2 B.-6
C.5 D.-3
C
B
7.典例 分解因式:(1)4a4b3+6a3b2c;
(2)3x2-6x+12xy.
解:(1)4a4b3+6a3b2c=2a3b2(2ab+3c).
(2)3x2-6x+12xy=3x(x-2+4y).
8.分解因式:(1)8abc-2bc2;
(2)9x3y3-21x3y2+12x2y2.
解:(1)8abc-2bc2=2bc(4a-c).
(2)9x3y3-21x3y2+12x2y2=3x2y2(3xy-7x+4).
知识点三 公因式是多项式的因式分解
考虑整体思想,将多项式公因式提取出来,再进行因式分解.
9.典例 分解因式:
(1)2x(x+y)-6(x+y);
(2)(x-y)3+4x(x-y)2.
解:(1)2x(x+y)-6(x+y)=2(x+y)(x-3).
(2)(x-y)3+4x(x-y)2=(x-y)2(x-y+4x)
=(x-y)2(5x-y).
10.分解因式:
(1)(x-4)2-x+4;
(2)y(2a-b)+x(b-2a).
解:(1)(x-4)2-x+4=(x-4)2-(x-4)
=(x-4)(x-4-1)
=(x-4)(x-5).
(2)y(2a-b)+x(b-2a)=y(2a-b)-x(2a-b)
=(2a-b)(y-x).
精评价 层级演练 02
基础巩固
11.多项式9a2x2-18a4x3各项的公因式是( )
A.9ax B.9a2x2
C.a2x2 D.9a4x3
12.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是( )
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
B
A
13.分解因式:
(1)6a2m-3am;
(2)m(a-2)+n(2-a).
解:(1)6a2m-3am=3am(2a-1).
(2)m(a-2)+n(2-a)
=m(a-2)-n(a-2)
=(a-2)(m-n).
解:(1)5x(a-2)+4x(2-a)=x(a-2).
当x=0.4,a=102时,
原式=0.4×(102-2)=40.
能力进阶
15.教材P127习题T8变式 已知△ABC的三边长a,b,c满足a(a+
c)-bc-ab=0,则△ABC的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
16.已知xy=15,且满足(x2y-xy2)-(x-y)=28.则x-y的值为 .
A
2
17.(1)已知a+b=2,ab=2,则2a2b+2ab2的值为 ;
(2)若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-10,则ab的值为 ;
8
-2
解:(3)(2x+y)(2x-3y)+3x(2x+y)
=(2x+y)(2x-3y+3x)
=(2x+y)(5x-3y).
把2x+y=3,5x-3y=-2代入上式,得
原式=3×(-2)=-6.
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第十七章 因式分解
第1课时 用提公因式法分解因式(1)
知识点一 因式分解的概念
把一个多项式化成几个 的 的形式,叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式.
整式
学新知 知识导学 01
乘积
1.典例 教材P125练习T1变式 下列从左到右的变形,哪些是因式分解,哪些不是因式分解
(1)(x+5)(x-5)=x2-25;
(2)x2-9=(x+3)(x-3);
(3)x2+x+1=x(x+1)+1.
解:(1)(x+5)(x-5)=x2-25,从左到右是整式乘法运算,不是因式分解.
(2)x2-9=(x+3)(x-3),从左到右是因式分解.
(3)x2+x+1=x(x+1)+1,从左到右变形,不符合因式分解的定义,
不是因式分解.
知识点二 公因式
多项式各项都有的 因式,叫作多项式各项的公因式.
2.典例 多项式a2-2a的公因式是( )
A.a B.a2 C.2a D.-2a
3.(1)多项式x3+12xy的公因式是 ;
(2)多项式12ab3c+a3b的公因式是 .
公共的
A
x
ab
知识点三 提公因式法
一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个 提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法.
公因式
4.典例 分解因式:
(1)x2-x= ;
(2)x2+3x= ;
(3)m2-5m= .
5.分解因式:
(1)3mn+m= ;
(2)a2-ab= ;
(3)-mn+m2= .
x(x-1)
x(x+3)
m(m-5)
m(3n+1)
a(a-b)
m(m-n)
6.典例 教材 P125 练习 T3 变式 利用因式分解计算:
(1)17×0.11+37×0.11+46×0.11;
(2)2 026×2 024-2 0242.
解:(1)17×0.11+37×0.11+46×0.11=(17+37+46)×0.11=100×0.11=11.
(2)2 026×2 024-2 0242=2 024×(2 026-2 024)=2 024×2=
4 048.
7.利用因式分解计算:
(1)1.992+1.99×0.01;
(2)5.6×100.8+5.3×100.8-100.8×0.9.
解:(1)1.992+1.99×0.01=1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98.
(2)5.6×100.8+5.3×100.8-100.8×0.9=(5.6+5.3-0.9)×
100.8=10×100.8=1 008.
精评价 层级演练 02
基础巩固
8.(2025汕头潮阳区期末)下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.x2-4=(x+2)(x-2)
C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x
D.x2+4x-2=x(x+4)-2
B
9.下列多项式中,可以提取公因式的是( )
A.x2-y2 B.x2+x
C.x2-y D.x2+2xy+y2
B
10.分解因式:
(1)x2+xy= ;
(2)2a2-a= ;
(3)a2-4ab= ;
(4)4m-m2= ;
(5)a2+ab+2a= ;
(6)ab2-3ab-5a= .
x(x+y)
a(2a-1)
a(a-4b)
-m(m-4)
a(a+b+2)
a(b2-3b-5)
11.填空:
(1)如果把多项式x2-3x+n分解因式得(x-1)(x+m),那么m= ,
n= ;
(2)若x2+ax+b=(x+3)(x-4),则a= ,b= ;
(3)当k= 时,二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3);
(4)若多项式ax2+bx+c可以被分解为(x-3)(x-2),则a= ,
b= ,c= .
-2
2
-1
-12
7
1
-5
6
能力进阶
12.用简便方法计算:
(1)4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7;
(2)9992+999.
解:(1)4.3×199.7+7.5×199.7-1.8×199.7
=199.7×(4.3+7.5-1.8)
=199.7×10
=1 997.
(2)9992+999=999×(999+1)=999 000.
13.跨学科融合 因式分解可以简化一些复杂的计算,如图所
示,把R1,R2,R3三个电阻器串联起来,线路AB上的电流为I,电
压为U,则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.76 Ω,R2=32.41 Ω,R3=
35.83 Ω,I=2.5 A 时,请利用因式分解计算出U的值.
解:∵U=IR1+IR2+IR3,R1=19.76 Ω,
R2=32.41 Ω,R3=35.83 Ω,I=2.5 A,
∴U=IR1+IR2+IR3=I(R1+R2+R3)
=2.5×(19.76+32.41+35.83)
=2.5×88=220 V.
14.已知a+b=2,ab=-3,求代数式a3b+ab3的值.
解:∵a+b=2,ab=-3,
∴a3b+ab3=ab(a2+b2)=ab[(a+b)2-2ab]=-3×(4+6)=-30.
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第4课时 用公式法分解因式(2)——完全平方公式
知识点一 完全平方式
我们把a2+2ab+ 和a2- +b2这样的式子叫作完全平方式.
b2
学新知 知识导学 01
2ab
1.典例 下列多项式为完全平方式的是( )
A.1+4a2 B.4b2+4b-1
C.a2-4a+4 D.a2+ab+b2
2.下列多项式是完全平方式的是( )
A.a2-ab+b2 B.a2-2ab-b2
C.2a2+2ab+b2 D.a2+4ab+4b2
D
C
3.典例 已知9x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解,则k的值为 .
4.若x2-mx+25可以用完全平方公式来分解因式,则m的值为
.
±24
±10
知识点二 利用完全平方公式分解因式
(1)可以用来因式分解的完全平方公式:
a2+2ab+b2=( )2;a2-2ab+b2= ,即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方;
(2)因式分解与整式乘法的关系:a2±2ab+b2 (a±b)2.
a+b
(a-b)2
5.典例 分解因式:
(1)x2-4x+4= ;
(2)9x2+6x+1= ;
(3)x2-4xy+4y2= .
6.分解因式:
(1)a2-6a+9= ;
(2)4x2-4x+1= ;
(3)9a2-6ab+b2= .
(x-2)2
(3x+1)2
(x-2y)2
(a-3)2
(2x-1)2
(3a-b)2
7.典例 分解因式:
(1)-2xy-x2-y2;
(2)(2x-y)2+4(2x-y)+4.
解:(1)-2xy-x2-y2=-(x2+y2+2xy)=-(x+y)2.
(2)(2x-y)2+4(2x-y)+4=(2x-y+2)2.
8.分解因式:(1)-4ab-4a2-b2;
(2)(m-n)2-6(n-m)+9.
解:(1)-4ab-4a2-b2=-(4ab+4a2+b2)=-(2a+b)2.
(2)(m-n)2-6(n-m)+9=(m-n)2+6(m-n)+9=(m-n+3)2.
知识点三 利用完全平方公式计算
9.典例 利用因式分解进行简便运算:
(1)992+202×99+1012;
(2)2.22+4.4×17.8+17.82.
解:(1)992+202×99+1012=992+2×101×99+1012
=(99+101)2=2002=40 000.
(2)2.22+4.4×17.8+17.82=(2.2+17.8)2=202=400.
10.利用因式分解进行简便运算:
(1)2022+202×196+982;
(2)2 0232-4 046×2 021+2 0212.
解:(1)2022+202×196+982=2022+2×202×98+982=(202+98)2=3002=90 000.
(2)2 0232-4 046×2 021+2 0212=2 0232-2×2 023×2 021+
2 0212=(2 023-2 021)2=22=4.
精评价 层级演练 02
基础巩固
11.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A.x2+x+1 B.x2+2x-1
C.x2-1 D.x2+6x+9
12.若4x2-(k+1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为
( )
A.±6 B.±12
C.-13或11 D.13或-11
D
C
13.分解因式:
(1)a2-6ab+9b2;
(2)16m2-8mn+n2;
(3)(a-3)2-6(a-3)+9;
(4)-x2+6xy-9y2.
解:(1)a2-6ab+9b2=(a-3b)2.
(2)16m2-8mn+n2=(4m-n)2.
(3)(a-3)2-6(a-3)+9=(a-3-3)2=(a-6)2.
(4)-x2+6xy-9y2=-(x2-6xy+9y2)=-(x-3y)2.
14.分解因式:
(1)4a2-4ab+b2;
(2)m(m+2)+1;
(3)-x2+6xy-9y2;
(4)-4x2+4xy-y2.
解:(1)4a2-4ab+b2=(2a-b)2.
(2)m(m+2)+1=m2+2m+1=(m+1)2.
(3)-x2+6xy-9y2=-(x2-6xy+9y2)=-(x-3y)2.
(4)-4x2+4xy-y2=-(4x2-4xy+y2)=-(2x-y)2.
能力进阶
D
B
17.分解因式:
(1)(2a-b)2+10(2a-b)+25;
(2)(x+y)2-8(x+y)+16.
解:(1)(2a-b)2+10(2a-b)+25
=(2a-b)2+2×5×(2a-b)+52
=(2a-b+5)2.
(2)(x+y)2-8(x+y)+16
=(x+y)2-2×4×(x+y)+42
=(x+y-4)2.
18.已知a,b,c为三角形的三边长,且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,试说明该三角形是等边三角形.
解:∵a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.
∴(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
∴a-b=0,b-c=0,c-a=0.
∴a=b=c.
∴△ABC为等边三角形.
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第十七章 章末知识复习
考点1 因式分解的概念
1.下列从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.x2+x=x(x+1)
B.(x+2)(x-2)=x2-4
C.(x+1)2=x2+2x+1
D.x2-x+1=x(x-1)+1
A
分类练 考点集训 01
2.(2024郴州)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3,从左到右的变形,表述正确的是( )
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.①是乘法运算,②是因式分解
D.①是因式分解,②是乘法运算
D
考点2 提公因式法分解因式
3.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于( )
A.(a-2)(m2+m) B.(a-2)(m2-m)
C.m(a-2)(m-1) D.m(a-2)(m+1)
4.(2025广州荔湾区期末)若实数a,b满足a+b=5,a2b+ab2=-15,则ab的值是 .
C
-3
5.(2024深圳期中)分解因式:
(1)8a3b2+12a3bc;
(2)(x-2)2-x+2.
解:(1)8a3b2+12a3bc=4a3b(2b+3c).
(2)(x-2)2-x+2=(x-2)2-(x-2)
=(x-2)(x-2-1)
=(x-2)(x-3).
考点3 用公式法分解因式
6.对多项式4x2-1进行因式分解,正确的是( )
A.4x2-1=(x+1)(x-1)
B.4x2-1=(2x+1)(2x-1)
C.4x2-1=(4x+1)(4x-1)
D.4x2-1=(1+2x)(1-2x)
7.(2024淄博)若多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因
式分解,则m的值是 .
B
±12
8.分解因式:
(1)4ab-a2-4b2;
(2)25(m+n)2-9(m-n)2.
解:(1)4ab-a2-4b2=-(a2+4b2-4ab)=-(a-2b)2.
(2)25(m+n)2-9(m-n)2
=[5(m+n)+3(m-n)][5(m+n)-3(m-n)]
=(5m+5n+3m-3n)(5m+5n-3m+3n)
=(8m+2n)(2m+8n)
=4(4m+n)(m+4n).
考点4 用十字相乘法分解因式
9.把多项式x2+ax-2分解因式,结果是(x+1)(x+b),则a,b的值为( )
A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2
C.a=1,b=-2 D.a=-1,b=-2
10.在有理数范围内分解因式x2-17x+52= .
D
(x-4)(x-13)
考点5 综合运用方法分解因式
12.(2024深圳福田区期中)下列因式分解正确的是( )
A.4a2-1=(4a+1)(4a-1)
B.-a2+25=(5+a)(5-a)
C.a2-6ab-9b2=(a-3b)2
D.a2-8a+16=(a-8)2
13.分解因式ax2-4ax+4a= .
B
a(x-2)2
14.分解因式:
(1)3a2-6ab+3b2;(2)x2(m-2)+y2(2-m).
解:(1)3a2-6ab+3b2=3(a2-2ab+b2)=3(a-b)2.
(2)x2(m-2)+y2(2-m)=(m-2)(x2-y2)=(m-2)(x+y)(x-y).
讲方法 数学思想 02
类型一 数形结合思想
类型解读
应用数形结合可以把一个复杂的多项式因式分解.
15.如图所示,将一张长方形纸板按图中实线裁剪成 12块,其中有两块是边长都为m的大正方形,3块是边长都为n的小正方形,且m>n,7块是长为m,宽为n的小长方形.
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+7mn+3n2可以因式分解为
;
(2m+n)(m+3n)
(2)若每块小长方形的周长是20,且每块大正方形与每块小正方形的面积差为40,求这张长方形纸板的面积.
类型二 配方法
类型解读
利用配方法进行因式分解.
16.(2025湛江期末节选)阅读下面材料,在代数式中,我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法.
例如:分解因式x2-120x+3 456.
解:x2-120x+3 456=x2-2×60x+602-602+3 456
=(x-60)2-144
=(x-60)2-122
=(x-60+12)(x-60-12)
=(x-48)(x-72).
根据上述方法分解因式x2-46x+520.
解:x2-46x+520
=x2-46x+232-9
=(x-23)2-9
=(x-26)(x-20).
类型三 整体思想
类型解读
在因式分解的过程中,把某个单项式或多项式看成一个整体作为一项进行因式分解.
17.(2025中山期末)【阅读材料】因式分解:
x2+4xy+4y2-16.
解:∵x2+4xy+4y2=(x+2y)2,∴将x+2y看成整体,令x+2y=M,则原式=
M2-16=(M+4)(M-4),将M还原,则原式=(x+2y+4)(x+2y-4).上述解题过程用到的是“整体思想”,请用“整体思想”解决以下问题:
【数学理解】(1)分解因式(a-2b)2-6(a-2b)+9;
(1)解:令a-2b=A,
则(a-2b)2-6(a-2b)+9=A2-6A+9=(A-3)2,
将A还原,则原式=(a-2b-3)2.
【拓展探索】(2)证明:无论a,b取何值,(a2b2-4a)(a2b2-4a-2)+
1的值一定是非负数.
(2)证明:令a2b2-4a=B,
则(a2b2-4a)(a2b2-4a-2)+1=B(B-2)+1=B2-2B+1=(B-1)2.
将B还原,则原式=(a2b2-4a-1)2≥0,
∴无论a,b取何值,(a2b2-4a)(a2b2-4a-2)+1的值一定是非负数.
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第6课时 用公式法分解因式(4)——十字相乘法(选学)
知识点一 x2+(p+q)x+pq型多项式的因式分解
十字相乘法:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).
方法:首分解,尾分解,交叉相乘两相加要等于中间项,成功之后横着写.
学新知 知识导学 01
1.典例 分解因式:
(1)x2+5x+6; (2)x2-4x+3.
解:(1)x2+5x+6=(x+2)(x+3).
(2)x2-4x+3=(x-1)(x-3).
2.分解因式:
(1)x2+10x+9; (2)x2-5x+4.
解:(1)x2+10x+9=(x+1)(x+9).
(2)x2-5x+4=(x-1)(x-4).
3.典例 分解因式:
(1)x2+2x-8; (2)x2-3x-10.
解:(1)x2+2x-8=(x+4)(x-2).
(2)x2-3x-10=(x+2)(x-5).
4.分解因式:
(1)x2+4x-12; (2)x2-5x-14.
解:(1)x2+4x-12=(x+6)(x-2).
(2)x2-5x-14=(x+2)(x-7).
知识点二 x2+(p+q)xy+pqy2型多项式的因式分解
5.典例 分解因式:
(1)a2-5ab+4b2; (2)x2+2xy-8y2.
解:(1)a2-5ab+4b2=(a-b)(a-4b).
(2)x2+2xy-8y2=(x-2y)(x+4y).
6.分解因式:
(1)p2+3pq-10q2; (2)m2-4mn-21n2.
解:(1)p2+3pq-10q2=(p-2q)(p+5q).
(2)m2-4mn-21n2=(m+3n)(m-7n).
知识点三 ax2+bx+c(a≠1)型多项式的因式分解
7.典例 分解因式:
(1)2x2+5x+2;
(2)3a2-5a-2.
解:(1)2x2+5x+2=(2x+1)(x+2).
(2)3a2-5a-2=(3a+1)(a-2).
8.分解因式:
(1)3x2-4x+1;
(2)5m2-6m-8.
解:(1)3x2-4x+1=(3x-1)(x-1).
(2)5m2-6m-8=(5m+4)(m-2).
知识点四 整体思想在十字相乘法因式分解中的应用
9.典例 分解因式:
(1)x2y2+9xy+8;
(2)(x+3)2-5(x+3)-6.
解:(1)x2y2+9xy+8=(xy+1)(xy+8).
(2)(x+3)2-5(x+3)-6
=(x+3-6)(x+3+1)
=(x-3)(x+4).
10.分解因式:
(1)a2b2-3ab-4;
(2)(a+b)2+4(a+b)-5.
解:(1)a2b2-3ab-4=(ab+1)(ab-4).
(2)(a+b)2+4(a+b)-5
=(a+b+5)(a+b-1).
精评价 层级演练 02
基础巩固
11.将多项式x2+4x-12分解因式,正确的结果为( )
A.(x+3)(x-4) B.(x+4)(x-3)
C.(x+6)(x-2) D.(x+2)(x-6)
12.若二次三项式x2+mx-6可分解为(x-3)(x+2),则m的值为( )
A.1 B.-1
C.-2 D.2
C
B
13.分解因式:
(1)x2+2x-15;(2)m2-m-12;
(3)t2-8t+12.
解:(1)x2+2x-15=(x-3)(x+5).
(2)m2-m-12=(m-4)(m+3).
(3)t2-8t+12=(t-6)(t-2).
14.分解因式:
(1)a2-a-6;
(2)y2+11y+24;
(3)p2-13p-30.
解:(1)a2-a-6=(a-3)(a+2).
(2)y2+11y+24=(y+3)(y+8).
(3)p2-13p-30=(p+2)(p-15).
能力进阶
15.分解因式:
(1)-a2-5b2+6ab;
(2)2x2-4x-6;
解:(1)-a2-5b2+6ab=-(a2+5b2-6ab)=-(a-5b)(a-b).
(2)2x2-4x-6=2(x2-2x-3)=2(x-3)(x+1).
(3)(x-2)(x-3)-2;
(4)x4-3x2-4.
解:(3)(x-2)(x-3)-2=x2-5x+6-2=x2-5x+4=(x-1)(x-4).
(4)x4-3x2-4=(x2+1)(x2-4)
=(x2+1)(x+2)(x-2).
16.分解因式x2+ax+b,甲看错了a的值,分解的结果为(x+6)(x-1),乙看错了b的值,分解的结果为(x-2)(x+1).
(1)求a,b的值;
(2)把x2+ax+b分解因式.
解:(1)因为(x+6)(x-1)=x2+5x-6,
(x-2)(x+1)=x2-x-2,
由于甲看错了a的值没有看错b的值,所以b=-6,
乙看错了b的值而没有看错a的值,所以a=-1,
∴a=-1,b=-6.
(2)由(1),得x2+ax+b=x2-x-6=(x-3)(x+2).
17.分解因式:(1)(x-y)2+4(x-y)+3;(2)m(m+2)(m2+2m-2)-3.
解:(1)令A=x-y,
则原式=A2+4A+3=(A+1)(A+3).
∴原式=(x-y+1)(x-y+3).
(2)令B=m2+2m.
则原式=B(B-2)-3
=B2-2B-3
=(B+1)(B-3).
∴原式=(m2+2m+1)(m2+2m-3)
=(m+1)2(m-1)(m+3).
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数学活动
践活动 要点精练
活动1 个位数字是5的两位数平方的规律
1.探究活动:
(1)探究规律:
152=15×15=225=(1×2)×100+25;
252=25×25=625=(2×3)×100+25;
352=35×35=1 225=(3×4)×100+25;
452=45×45=2 025=(4×5)×100+25;
…
100a(a+1)+25
(3)证明:因为左边=(10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25=右边,
所以此等式成立.
(4)对于个位数字是5的三位数也同样适用上述规律,请用此规律计算:①1152;②2052;
(4)解:①1152=11×12×100+25=13 225;
②2052=20×21×100+25=42 025.
活动2 利用因式分解生成密码
2.(1)对于多项式x2y-4y,将其分解因式为y(x+2)(x-2),若取x=15,y=12,则有y=12,x+2=17,x-2=13,其中12,17,13为因式码,将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317.若取x=10,y=15,则形成的密码是多少
解:(1)取x=10,y=15时,y=15,x+2=12,x-2=8,将这三个因式码15,
12,8按从小到大的顺序排列就形成密码81215.
(2)已知多项式2a2b-32b,用题(1)中的方法,当取a=20,b=7时,生成的密码是多少
解:(2)将2a2b-32b分解因式为2b(a+4)(a-4),当取a=20,b=7时,2b=14,a+4=24,a-4=16,将这三个因式码14,24,16按从小到大的顺序排列,形成的密码是141624.
(3)已知16p4-q4,当p,q分别取正整数时,用题(1)中的方法生成密码,若密码的前两个因式码为5,15,请求出第三个因式码.
3.问题背景:
在如今信息快速发展的时代,“密码”与我们的生活已经紧密相连,密不可分,例如生日,连续数字等简单密码,其中有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆.其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x3-x因式分解的结果为x(x-1)(x+1),当x=10时,x-1=9,x+1=11,此时把所得到的数字按照从小到大的顺序排列可以得到数字密码091011.(数字密码为六位数)
实际应用:
(1)根据上述方法,小明同学设置了密码:多项式x3-xy2分解因式后利用x,y的数值设置密码,当x=9,y=3时,请破解小明的密码是多少;
解:(1)x3-xy2=x(x2-y2)=x(x-y)(x+y),
当x=9,y=3时,x-y=9-3=6,x+y=9+3=12,
∴小明的密码是060912.
(2)若设置了一个密码,一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,请你破解出由多项式x3-4xy2分解因式后得到的密码.
解:(2)∵一个等腰三角形的周长是12,其中腰和底分别为不同的整数x,y,
∴2x+y=12.∵x,y都为整数,
当x=5,y=2时符合题意,其他解与题意不符,舍去.
x3-4xy2=x(x2-4y2)=x(x+2y)(x-2y).
当x=5,y=2时,x+2y=5+2×2=9,x-2y=5-2×2=1,
∴多项式x3-4xy2分解因式后得到的密码为010509.
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第3课时 用公式法分解因式(1)——平方差公式
知识点一 直接运用平方差公式分解因式
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换,就得到a2-b2= ,即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
【思路点拨】因式分解与整式乘法的关系:a2-b2 (a+
b)(a-b).
(a+b)(a-b)
学新知 知识导学 01
1.典例 在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+b2 B.4m2-16m
C.-x2-y2 D.-x2+16
2.下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2-y2 B.x2-4y2
C.-x2-y2 D.(x+y)2-y2
D
C
3.典例 分解因式:
(1)9x2-y2= ;
(2)25-16x2= ;
(3)(2x+y)2-(x+2y)2= .
4.分解因式:
(1)4a2-1= ;
(2)16m2-25n2= ;
(3)(2a+b)2-(2a-b)2= .
(3x+y)(3x-y)
(5-4x)(5+4x)
3(x+y)(x-y)
(2a+1)(2a-1)
(4m+5n)(4m-5n)
8ab
知识点二 利用平方差公式计算
5.典例 利用因式分解计算1012-1.
解:1012-1=(101-1)(101+1)
=100×102=10 200.
6.利用因式分解计算1012-992.
解:1012-992=(101+99)(101-99)=200×2=400.
知识点三 利用平方差公式证明
7.典例 求证:当n是整数时,(n+1)2-(n-1)2是4的倍数.
证明:(n+1)2-(n-1)2
=(n+1+n-1)(n+1-n+1)
=4n.
∵n是整数,
∴(n+1)2-(n-1)2是4的倍数.
8.求证:对于任意整数m,多项式(4m+5)2-9是8的倍数.
证明:(4m+5)2-9
=(4m+5+3)(4m+5-3)
=(4m+8)(4m+2)
=8(m+2)(2m+1).
故多项式(4m+5)2-9是8的倍数.
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.(2025广州越秀区期中)下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是( )
B
10.将多项式“4m2- ”因式分解,结果为(2m+3)(2m-3),则“ ”是( )
A.3 B.-3
C.9 D.-9
C
解:(1)m2-16n2=(m+4n)(m-4n).
(2)a2-81b4=(a+9b2)(a-9b2).
(3)(2x+1)2-x2=(2x+1-x)(2x+1+x)
=(x+1)(3x+1).
12.分解因式:
(1)9x-x3;(2)x2y-4y;
(3)a3-ab2;(4)(a-1)2-(a+1)2.
解:(1)9x-x3=x(9-x2)=x(3+x)(3-x).
(2)x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2).
(3)a3-ab2=a(a2-b2)=a(a+b)(a-b).
(4)(a-1)2-(a+1)2=(a-1+a+1)[a-1-(a+1)]=-4a.
能力进阶
13.(1)对于多项式xa-y2(其中1≤a≤6,且a为整数)能够利用平方差公式进行因式分解,则a的值可能有( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
(2)计算1982-36+1062-4= .
C
50 400
14.分解因式:
(1)81a4-16;
(2)9(m+n)2-16(m-n)2.
解:(1)81a4-16=(9a2)2-42
=(9a2+4)(9a2-4)
=(9a2+4)(3a+2)(3a-2).
(2)9(m+n)2-16(m-n)2=[3(m+n)+4(m-n)][3(m+n)-4(m-n)]=(7m-n)(-m+7n).
15.拓展 定义:如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差,那么称这个正整数为“登高数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,因此8,16,24都是“登高数”.
(1)特例感知:判断40是否为“登高数”,说明理由.
解:(1)40是“登高数”,理由如下:
∵40=112-92,∴40是“登高数”.
(2)规律探究:根据“登高数”的定义,设两个连续正奇数为2k-1和2k+1,其中k是正整数,那么“登高数”都能被8整除吗 如果能,说明理由;如果不能,举例说明.
解:(2)“登高数”都能被8整除,理由如下:
∵(2k+1)2-(2k-1)2=(2k+1+2k-1)(2k+1-2k+1)=4k×2=8k,
∴“登高数”都能被8整除.
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第5课时 用公式法分解因式(3)——综合运用方法分解因式
知识点一 先提公因式,再运用公式法分解因式
综合运用提公因式法和公式法因式分解:一般先 ,再用 因式分解.
学新知 知识导学 01
提公因式
公式法
1.典例 分解因式:
(1)5m2-5= ;
(2)a3-9a= .
2.分解因式:
(1)4a3-a= ;
(2)x2y-4y= .
5(m+1)(m-1)
a(a+3)(a-3)
a(2a+1)(2a-1)
y(x+2)(x-2)
3.典例 (2025广州番禺区期中)分解因式2x2-20x+50.
解:2x2-20x+50=2(x2-10x+25)=2(x-5)2.
4.(2025广州白云区期末)分解因式y3-4y2+4y.
解:y3-4y2+4y=y(y2-4y+4)=y(y-2)2.
知识点二 两次运用平方差公式分解因式
5.典例 分解因式p4-1.
解:p4-1=(p2+1)(p2-1)
=(p2+1)(p+1)(p-1).
6.分解因式a4-81.
解:a4-81=(a2+9)(a2-9)
=(a2+9)(a+3)(a-3).
知识点三 综合运用公式法分解因式
(1)综合运用两种公式法分解因式:既要用 ,还要用 因式分解;
(2)先进行化简,再分解因式.
平方差公式
完全平方公式
7.典例 分解因式(x2-1)2-6(x2-1)+9.
解:(x2-1)2-6(x2-1)+9=[(x2-1)-3]2
=(x2-4)2
=(x+2)2(x-2)2.
8.分解因式(x2+4y2)2-16x2y2.
解:(x2+4y2)2-16x2y2=(x2+4y2)2-(4xy)2
=(x2+4y2-4xy)(x2+4y2+4xy)
=(x-2y)2(x+2y)2.
9.典例 分解因式2m(2m-3)+6m-1.
解:2m(2m-3)+6m-1=4m2-6m+6m-1
=4m2-1
=(2m+1)(2m-1).
10.分解因式(x-1)(x-3)+1.
解:(x-1)(x-3)+1=x2-4x+3+1
=x2-4x+4
=(x-2)2.
精评价 层级演练 02
基础巩固
11.将多项式a3-16a进行分解因式的结果是( )
A.a(a+4)(a-4) B.(a-4)2
C.a(a-16) D.(a+4)(a-4)
A
12.下列各式因式分解正确的是( )
A.x2+3xy+9y2=(x+3y)2
B.2x2-4xy+9y2=(2x-3y)2
C.x(x-y)+y(y-x)=(x-y)(x+y)
D.2x2-8y2=2(x+2y)(x-2y)
D
13.分解因式:
(1)ab2-4a= ;
(2)4m2n-4mn+n= ;
(3)x4-16= ;
(4)x(x-2)+1= ;
(5)(a2+b2)2-4a2b2= .
a(b+2)(b-2)
n(2m-1)2
(x2+4)(x+2)(x-2)
(x-1)2
(a+b)2(a-b)2
解:(1)-2x2+32x-128=-2(x2-16x+64)=-2(x-8)2.
能力进阶
15.如果x+y,x-y,x2-y2,4,m+n,mm分别对应6个字:语、文、数、我、爱、学,现将 4m(x2-y2)+4n(x2-y2)分解因式,结果呈现的可能是( )
A.我爱语文 B.爱语文
C.语文数学 D.我爱数学
A
16.若58-1可以被20到30之间的某两个整数整除,则这两个整数是( )
A.24,26 B.25,27
C.26,28 D.27,29
A
17.拓展 下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程:
解:设x2-4x=y.
(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了 ;
A.提取公因式 B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式 D.两数差的完全平方公式
(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,这个结果是否分解到最后 (选填“是”或“否”).如果否,直接写出最后的结果: ;
C
否
(x-2)4
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
解:(3)设x2-2x=y,
则(x2-2x)(x2-2x+2)+1=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=
(x-1)4.
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