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第2课时 线段的垂直平分线(1)
知识点一 线段的垂直平分线的定义与性质
(1)定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线;
(2)性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
.
【几何语言】 如图所示:∵点P在线段AB的
垂直平分线m上,∴PA=PB.
相等
学新知 知识导学 01
1.典例 跨学科融合 如图所示是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画,已知箭杆CD垂直平分AB,AC=5 cm,则BC的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
B
2.(2024镇江)如图所示,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD= .
3
知识点二 线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的 上.
【几何语言】 如图所示:∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.
垂直平分线
3.典例 (2025汕头期中)如图所示,点P是△ABC内的一点,若PA
=PC,则( )
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AC的垂直平分线上
D.点P在边AB的垂直平分线上
C
4.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC上,且BD+AD=BC,则点D在
( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
A
知识点三 命题和定理
(1)两个命题的题设、结论正好 ,我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题,那么另一个叫作它的 ;
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是 ,那么它也是一个定理,这两个定理叫作互逆定理,其中一个定理叫作另一个定理的 .
相反
逆命题
真命题
逆定理
5.典例 教材 P67 练习 T3 变式 下列命题中,原命题与其逆命题均为真命题的有 .(填序号)
①全等三角形对应边相等;②全等三角形对应角相等;③两条平行直线被第三条直线所截,截得的同旁内角的角平分线互相垂直.
①③
6.下列说法正确的是( )
A.每个命题都有逆命题
B.真命题的逆命题是真命题
C.假命题的逆命题是真命题
D.每个定理都有逆定理
A
7.典例 写出命题“内错角相等,两直线平行”的逆命题是
.
8.写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是 .
.
两直线平行,内错角相等
面
积相等的两个三角形全等
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.线段AB的垂直平分线上有一点P,若PA=3,则PB的值为( )
A.3 B.4 C.2 D.无法确定
10.下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.两直线平行,内错角相等
B.如果a=b,那么a2=b2
C.钝角三角形中有两个锐角
D.对顶角相等
A
A
11.新教材样板题 如图所示,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
解:∵DE是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE.
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC.
∴BC=50-27=23.
12.如图所示,AB=AC,MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗 请说明理由.
解:是.理由如下:
∵AB=AC,BM=CM,
∴点A,M都在线段BC的垂直平分线上.根据“两点确定一条直线”知,直线AM是线段BC的垂直平分线.
能力进阶
13.如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线MD交BC于点D,且
△ABD的周长为11,AM=2,则△ABC的周长是( )
A.13
B.14
C.15
D.16
C
14.如图所示,某公园有三角形草坪(△ABC),现准备在该三角形草坪内种一棵树,使得该树到△ABC三个顶点的距离相等,则该树应种在( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的平分线的交点
C.三角形三条高所在直线的交点
D.三角形三条中线的交点
A
15.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点,∠CAD=20°,∠ACB=70°.
求证:BE=AC.
证明:如图所示,连接AE.
∵∠ACB=70°,∠DAC=20°,
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-20°-70°=90°.
∴AD⊥EC.
∵DE=DC,∴AD是线段CE的垂直平分线.∴AE=AC.
∵EF垂直平分AB,∴AE=BE.∴BE=AC.
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第10课时 等边三角形(3)——含30 °角的直
角三角形的性质
知识点一 含30 °角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
【几何语言】 如图所示,∵在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,∠A=30°,
学新知 知识导学 01
一半
1.典例 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是 .
8
2.若等腰三角形的顶角为30°,腰长为6,则此等腰三角形的面积为( )
A.36 B.18 C.9 D.3
C
3.典例 (2025珠海期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∠B=30°,AC=5,用图示的尺规作图方法在边AB上确定一点D.则△ACD的周长为( )
A.10 B.15 C.16 D.20
B
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD⊥AB,AB=6,则AD= .
知识点二 含30 °角的直角三角形的性质的运用
5.典例 如图所示,一棵树在一次强台风中于离地面3 m处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为
( )
A.6 m B.9 m
C.12 m D.15 m
B
6.(2025中山期中)如图所示为某商场一楼与二楼之间的电梯示意图,∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
D
8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,D是AB的中点,求证:△ACD是等边三角形.
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB+BC=12,则AB等于( )
A.6 B.7
C.8 D.9
C
10.(2025云浮期中)如图所示,将一个含45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带边沿上.另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板的直角边的长为( )
A.3 cm B.6 cm C.8 cm D.9 cm
B
11.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=4,BD∥AC,BD⊥CD,则BD等于( )
B
12.如图所示,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE
⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F.若BC=4,则BE+CF= .
2
能力进阶
13.如图所示,已知∠AOB=60°,点P在边OA上,OP=12,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=2,则OM的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
C
14.(2025肇庆期中)如图所示,等边三角形ABC中,点P是CA延长线上一点,点D是BC上一点,且PB=PD.若CP+CD=10,BD=3,则AB的长为 .
15.如图所示,某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境,已知这种草皮每平方米a元,则购买这种草皮一共需要多少钱
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第8课时 等边三角形(1)——等边三角形的
性质
知识点一 等边三角形的性质
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.等边三角形的三个角都 ,并且每一个角都等于 .
学新知 知识导学 01
相等
60°
【几何语言】 如图所示,∵△ABC是等边三角形,AD平分
∠BAC,
∴(1)AB= = ;(2)∠BAC=∠B=∠C= ;
(3)AD⊥ ,BD= .
BC
AC
60°
BC
CD
1.典例 已知△ABC为等边三角形,则∠A的度数是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
2.已知△ABC为等边三角形,若△ABC的周长为12,则边BC的长为( )
A.3 B.4
C.8 D.9
C
B
3.典例 如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC=45°,则∠ACE等于( )
A.18°
B.20°
C.30°
D.15°
D
4.如图所示,P是等边三角形ABC的边AC的中点,E是BC边延长线上一点,PE=PB,则∠E的度数是( )
A.15°
B.30°
C.35°
D.45°
B
知识点二 等边三角形的性质的运用
5.典例 如图所示,直线a,b分别经过等边三角形ABC的顶点A,
C,且a∥b,∠1=42°,则∠2的度数为 .
102°
6.如图所示,△ABC为等边三角形,BD⊥BC,AE∥BD,则∠EAC的度数为 .
150°
7.典例 新教材样板题 如图所示,点P为等边三角形ABC的边上一点,且∠APD=80°,AD=AP,求∠DPC的度数.
解:∵AD=AP,
∴∠APD=∠ADP=80°.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°.
∴∠DPC=∠ADP-∠C=20°.
8.(2025东莞期中)如图所示,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到E,使 CE=CD.求证:DB=DE.
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.(2025东莞期中)如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD的度数为( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
D
10.如图所示,△ABC是等边三角形,点D在AC边上,∠DBC=35°,则∠ADB的度数为( )
A.25°
B.60°
C.85°
D.95°
D
11.下列说法正确的是( )
A.所有的等腰三角形都是锐角三角形
B.等边三角形属于等腰三角形
C.不存在既是钝角三角形又是等腰三角形的三角形
D.等边三角形不是等腰三角形
B
12.如图所示是一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α+∠β等于( )
A.180°
B.220°
C.240°
D.300°
C
能力进阶
13.(2025广州期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE⊥AC,
△BDE是等边三角形,若AD=4,则线段BE的长为 .
4
14.如图所示,△ABC是等边三角形,AD是高,BE是中线,若DE=
3 cm,则△ABC的边长是 cm.
6
15.如图所示,△ABC为等边三角形,BC⊥CD,AC=CD,求∠CED的度数.
16.如图所示,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC,若∠CDE=
15°,求证:BD=BE.
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第5课时 画轴对称的图形(2)——轴对称图形的坐标变化
知识点一 关于坐标轴对称的点的坐标特点
(1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ,即横坐标相等,纵坐标互为 ;
(2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 ,即横坐
标互为 ,纵坐标相等.
学新知 知识导学 01
(x,-y)
相反数
(-x,y)
相反数
1.典例 分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标:
坐标 (3,-6) (-3,6) (-3,-6)
关于x轴对称
关于y轴对称
(3,6)
(-3,-6)
(-3,6)
(-3,-6)
(3,6)
(3,-6)
知识点二 关于坐标轴对称的运用
2.典例 跨学科融合 蝴蝶颜色绚丽,翩翩起舞时非常美丽,深受人们喜爱,它的图案具有对称美,如图所示,蝴蝶图案关于y轴对称,点M的对应点为M1,若点M的坐标为(-1,-4),则点M1的坐标为 .
(1,-4)
3.某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路,园丁在花园中栽种了8棵桂花树,如图所示.若A,B两处桂花树的位置关于一条小路对称,在分别以两条小路为 x轴、y轴的平面直角坐标系内,若点A的坐标为(-6,2),则点B的坐标为 .
(6,2)
4.典例 已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+
b)2 025的值为 .
5.若点(m,-1)和点(2,n)关于y轴对称,则3mn= .
-1
6
知识点三 画出关于坐标轴对称的图形
画关于坐标轴对称的图形,只需先作出各顶点(或其他特殊点)的 ,再顺次连接各 .
对称点
对称点
6.典例 (2025汕头期中)已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,其中A(-2,5),B(-3,2),C(-1,1).画出△ABC关于 y轴对称的△A′B′C′,并写出点C′的坐标.
解:如图所示,点C′的坐标为(1,1).
7.(2025广州期中节选)如图所示,在平面直角坐标系中,A
(2,5),B(3,1),C(-2,-1).在图中作出△ABC关于x轴对称的
△A1B1C1.
解:如图所示,△A1B1C1即为所求.
精评价 层级演练 02
基础巩固
8.(2025东莞期末)点A(1,4)关于x轴对称的点的坐标为( )
A.(1,-4) B.(-1,4)
C.(1,4) D.(4,-1)
A
9.(2025珠海期中)在平面直角坐标系中,点P的坐标为(3,-5),则点P关于y轴的对称点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.坐标平面内的点M(-2,3)与点N(-2,-3)关于 对称(选填“x轴”或“y轴”).
11.在平面直角坐标系中,点(m,-2)与点(3,n)关于x轴对
称,则m+n= .
C
x轴
5
能力进阶
12.已知点P(m-3,m-1)关于y轴的对称点在第一象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是( )
D
(-5,-4)
14.(2025江门期中)已知点A(2a-b,5+a),B(2b-1,-a+b).
(1)若点A,B关于x轴对称,求a,b的值;
(2)若A,B关于y轴对称,求(4a+b)2 026的值.
15.如图所示,四边形OABC各个顶点的坐标分别是O(0,0),A(2,
1),B(3,4),C(0,5).
(1)求四边形OABC的面积;
(2)画出四边形OABC关于y轴对称的图形.
解:(2)如图所示,四边形ODEC即为所求.
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第7课时 等腰三角形(2)——等腰三角形的
判定
知识点一 等腰三角形的判定
(1)定义:有两边 的三角形,叫作等腰三角形;
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“ .
”).
【几何语言】 如图所示,∵∠B=∠C,
∴AB=AC.
学新知 知识导学 01
相等
等角对
等边
1.典例 下列条件中,能判定三角形是等腰三角形的是( )
A.三角形中有两个角为30°,60°
B.三角形中有两个角为40°,80°
C.三角形中有两个角为50°,80°
D.三角形中有两个角为锐角
C
2.(2025惠州期中)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠B=40°,∠C=80°
B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
C.2∠A=∠B+∠C
D.三个角的度数之比是2∶2∶1
D
3.典例 如图所示,∠B=∠C,AE∥CD,AE交BC于点E.求证:△ABE是等腰三角形.
证明:∵AE∥CD,∴∠C=∠AEB.
∵∠B=∠C,∴∠B=∠AEB.
∴△ABE是等腰三角形.
4.(2025东莞期中)如图所示,∠CAE是△ABC的外角,∠1=∠2,
AD∥BC.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:∵AD∥BC,
∴∠1=∠B,∠2=∠C.
∵∠1=∠2,∴∠B=∠C.∴△ABC是等腰三角形.
知识点二 等腰三角形的性质与判定的运用
5.典例 教材 P81 练习 T3 变式 如图所示,已知AC和BD相交于点O,AB∥DC,OA=OB=8,若OC=6,则BD的长为 .
14
6.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C=70°,D为BC的中点,连接AD,则∠BAD的度数为 .
20°
知识点三 等腰三角形的尺规作图
7.典例 如图所示,已知等腰三角形的底边长为a,底边上的高为h,求作这个等腰三角形.(不写作法,保留作图的痕迹)
解:如图所示,△ABC即为所求.
8.在△ABC中,∠BAC=90°,AB≠AC.用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D,使△ACD为等腰三角形.下列作法不正确的是
( )
A
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.下列各组线段中,能构成等腰三角形的是( )
A.1,1,2 B.2,2,4 C.3,3,5 D.3,4,5
10.教材 P81 练习 T1 变式 在△ABC中,∠A=30°,∠C=75°,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
C
C
11.如图所示,C为两个直角三角板的公共顶点,∠A=∠B=30°,则图中等腰三角形共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.如图所示,∠ACB=60°,∠D=30°,AC=4,则CD= .
D
4
能力进阶
13.如图所示,把一张长方形的纸片沿对角线BD折叠,若△AFD的周长为12,则长方形ABCD的周长是 .
24
14.已知:如图所示,在△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,DF⊥BC,垂足为F,且ED=FD,求证:△ABC是等腰三角形.
15.新教材样板题 如图所示,在等腰三角形ABC中,两底角的平分线BE,CD相交于点O,求证:OB=OC,OD=OE.
16.如图所示,已知等腰三角形的底边长为a,顶角的平分线的长为b,求作这个等腰三角形(尺规作图,保留作图痕迹).
解:(1)作线段AB=a;
(2)作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D;
(3)在MN上取一点C,使CD=b;
(4)连接AC,BC.
如图所示,△ABC就是所求作的等腰三角形.
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第4课时 画轴对称的图形(1)
知识点一 轴对称变换
轴对称变换的性质:
(1)成轴对称的两个图形 ;
(2)对称轴与连接对应点的线段 ;
(3)对应点到对称轴的距离 ;
(4)对应点的连线互相 或 .
学新知 知识导学 01
全等
垂直
相等
平行
在同一条直线上
1.典例 下列同类型的每个网格中均有两个三角形,其中一个三角形可以由另一个进行轴对称变换得到的是( )
B
2.如图所示,把一个正方形对折两次后沿虚线剪下,展开后所得的图形是( )
B
知识点二 画轴对称图形
画一个图形的轴对称图形的方法:
几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,顺次连接这些 .
,就可以得到原图形的轴对称图形.
对
称点
3.典例 作已知点关于某直线的对称点的第一步是( )
A.过已知点作一条直线与已知直线相交
B.过已知点作一条直线与已知直线垂直
C.过已知点作一条直线与已知直线平行
D.不确定
B
4.如图所示,从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形,而且图形从左到右分别是1～7的数字,请在空白处填上恰当的
图形.
5.典例 教材P72例1变式 如图所示,已知△ABC和直线l,画出△ABC关于直线l的对称图形.
解:如图所示,△A′B′C′即为所求.
6.如图所示,画出△ABC关于直线l对称的△A′B′C′.
解:如图所示,△A′B′C′即为所求.
精评价 层级演练 02
基础巩固
7.将一张长方形的纸片对折,然后用笔尖在上面扎出字母
“B”,再把它展开铺平后,你可以看到的图形是( )
C
8.如图所示,画出点A关于直线l的对称点A′.
解:如图所示,点A′即为所求.
9.如图所示,画出线段AB关于直线l对称的线段A′B′.
解:如图所示,线段A′B′即为所求.
10.新教材样板题 如图所示,已知△ABC和直线l,画出与△ABC关于直线l对称的图形.
解:如图所示,△A′B′C′即为所求.
能力进阶
11.如图所示,在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合),所画三角形的顶点落在各小方格的顶点处,这样的三角形能画出( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
12.传统文化 剪纸是中国的民间艺术,剪纸方法很多,如图所示是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠,然后再剪,展开即得到图案):
下面的四个图案,不能用上述方法剪出的是( )
C
13.教材 P73 练习 T1 变式 如图所示,已知直线AB和△CDE,画出△CDE关于直线AB对称的图形.
解:如图所示,△C′D′E′即为所求.
14.如图所示,在3×3的正方形格点图中,有格点△ABC,若有另一格点△DEF与△ABC关于某直线成轴对称,请在下面的图中画出所有这样的△DEF.
解:如图所示.
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数学活动
活动1 美术字与轴对称
1.在美术字中,有些文字、字母和数字是轴对称的.如图所示,画出这些文字和数字的对称轴.
践活动 要点精练
解:如图所示.
2.以虚线为对称轴,将虚线右边或下边的部分补充完整.
解:如图所示.
活动2 利用轴对称设计图案
3.观察下列图案:
图①到②是利用 得到的,图③经过 或 .
都可以直接得到图④.
轴对称
平移
轴
对称
4.如图所示,下面所给的基本图形可以设计许多富有生活情趣的图案,请你设计一个图案,并说明它的含义.
基本图形: 设计图案:
解:如图所示.(答案不唯一,设计一个即可)
水车
风车
活动3 等腰三角形中相等的线段
5.项目式学习
项目主题:探索等腰三角形中相等的线段.
项目情境:数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗 同学们就这个问题展开探究.
(1)项目初探:希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥
AC,垂足分别为E,F.经过合作,该小组的同学们得出的结论是DE=DF.请你帮希望小组的同学们说明结论成立的理由;
(2)类比探究:奋斗小组的同学们认真研究过后,发现了以下两个正确结论:
①如图(2)所示,若DE,DF分别为△ABD和△ACD的中线,那么DE=
DF仍然成立;
②如图(3)所示,若DE,DF分别为△ABD和△ACD的角平分线,那么DE=DF仍然成立.
请你选择其中一个结论,写出证明过程.
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第十五章 章末知识复习
考点1 轴对称及其性质
1.跨学科融合 在天气预报图上,有各种各样表示天气的符号,下列表示天气符号的图形中,不是轴对称图形的是( )
C
分类练 考点集训 01
A. 晴 B. 冰雹
C. 雷雨 D. 大雪
2.(2025汕尾期中)如图所示,△ABC与△ADC关于AC所在的直线对称,∠BCA=35°,∠D=80°,则∠BAD的度数为( )
A.170° B.150° C.130° D.110°
C
考点2 垂直平分线的性质及判定
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交BC于点D,连接AD,则△ACD的周长是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
A
4.(2025珠海期中)如图所示,AB,CD表示两条公路,E,F表示两个仓库,试找出一点P,使P到两公路的距离相等且到两个仓库的距离也相等,则P点为( )
A.EF的垂直平分线与CD的交点
B.EF的垂直平分线与AB的交点
C.EF的垂直平分线与AB,CD组成角的平分线的交点
D.以上都不对
C
5.新教材样板题 如图所示,已知一点O,请用尺规作一个以点O为顶点的直角.
解:如图所示,∠BOC即为所求(答案不唯一).
考点3 平面直角坐标系中的对称问题
6.(2025广州期中)已知平面直角坐标系中点 A(a,2)和点B
(-4,2a+b)关于x轴对称,则b-a= .
10
7.(2025广州期中)如图所示,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别为A(5,2),B(3,5),C(-1,-1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)求△A1B1C1的面积.
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
考点4 等腰三角形的性质与判定
8.(2025肇庆期中)如图所示,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论中不正确的是( )
A.∠B=∠C B.AD平分∠BAC
C.AD⊥BC D.AB=2BD
9.若等腰三角形的一个内角为50°,则它的底角的度数为
.
D
65°或50°
10.如图所示,已知,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高,BP与CQ交于点O.求证:△BCO是等腰三角形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BP,CQ是△ABC两腰上的高,
∴∠BQC=∠CPB=90°.
∵∠OBC=90°-∠ACB,∠OCB=90°-∠ABC,
∴∠OBC=∠OCB.∴OB=OC.
∴△BCO为等腰三角形.
考点5 等边三角形的性质与判定
11.如图所示,BC=20 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为( )
A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm
C
12.如图所示,△ABC中,∠A=60°,AB=AC,BE⊥AC于点E,延长BC至点F,连接EF,且∠F=∠FEC.
(1)求∠ABC的度数;
(1)解:∵∠A=60°,AB=AC ,
∴△ABC为等边三角形.∴∠ABC=60°.
(2)求证:BE=FE.
讲方法 数学思想 02
类型一 分类讨论思想
类型解读
有关等腰三角形的顶角与底角的讨论.
13.如图所示,点O是等边三角形ABC内一点,D是△ABC外的一
点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形;
(1)证明:∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.
(2)探究:当α的度数为 时,△AOD是等腰三角形.
110°或125°或 140°
类型二 方程思想
类型解读
列方程求与等腰三角形有关的角度问题.
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
解:设∠A=x°.
∵AD=BD,∴∠ABD=∠A=x°.
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCD=2x°.
∵x+2x+2x=180,∴x=36.
∴∠A=36°,∠ABC=∠ACB=72°.
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第3课时 线段的垂直平分线(2)
知识点一 作已知线段的垂直平分线
作法:如图所示.(1)分别以点A和B为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于C,D两点;
(2)作直线CD,CD就是线段AB的垂直平分线.
学新知 知识导学 01
1.典例 按要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹:作线段EF的垂直平分线MN.
解:如图所示,MN即为所求.
知识点二 作轴对称图形的对称轴
作轴对称图形的对称轴的方法:①找到任意一组对称点;②连接两个对称点;③作所连线段的 .
垂直平分线
2.典例 下图是轴对称图形,请用尺规作图法画出其对称轴.
解:如图所示,直线AD为所求.
3.下图是轴对称图形吗 如果是,作出它的对称轴.
解:是轴对称图形,如图所示,直线AB为所求.
知识点三 作已知直线的垂线
作法:如图所示.
(1)以点C为圆心,适当长为半径作弧,交直线AB于点D和点E;
(2)分别以点D和点E为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧相交于点F;
(3)作直线CF,直线CF就是所求作的垂线.
4.典例 (2025广州期中)如图所示,已知点A和直线MN,过点A用尺规作图画出直线MN的垂线,下列画法中错误的是( )
A
5.如图所示,已知直线AB和AB上一点C,请用尺规作AB的垂线,使它经过点C.
解:如图所示,直线CF为求作的垂线.
精评价 层级演练 02
基础巩固
B
7.如图所示,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条直线吗
解:如图所示,作线段AB的垂直平分线,则直线CD即为所求.
8.如图所示,已知直线l和l外一点P,用尺规作l的垂线,使它经过点P.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示,直线l′为所作.
9.如图所示,已知△ABC,利用尺规作图法作线段AD,使得AD将△ABC的面积平分,且点D在线段BC上.(不写作法,保留作图
痕迹)
解:如图所示,AD即为所求.
能力进阶
10.如图所示,在△ABC中,∠B=30°,∠C=50°,通过观察尺规作图的痕迹,∠DAE的度数是 .
35°
11.如图所示,在△ABC中,尺规作图:作AC边上的高BD(不写作法,保留作图痕迹).
解:如图所示,BD为所求.
12.指出下列轴对称图形各有几条对称轴,并把它们画出来.
解:图(1)有1条对称轴;图(2)有2条对称轴;图(3)有2条对称轴;图(4)有4条对称轴;画对称轴如图所示.
13.电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔,如图所示,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B的距离必须相等,到两条高速公路m,n的距离也必须相等,发射塔应修建在什么位置 在图上标出它的位置(不写作法,保留作图痕迹).
解:作AB的垂直平分线与∠MON的平分线,交点P即为所求发射塔应修建的位置.
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第9课时 等边三角形(2)——等边三角形的
判定
知识点一 等边三角形的判定
(1)由等边三角形的定义判定:三边都 的三角形是等边三角形;
(2)三个角都 的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的 三角形是等边三角形.
学新知 知识导学 01
相等
相等
等腰
1.典例 下列条件中,不能得到等边三角形的是( )
A.有两个角是60°的三角形
B.有一个角是60°的等腰三角形
C.有两个外角相等的等腰三角形
D.三边都相等的三角形
C
2.下列条件不能判定△ABC为等边三角形的是( )
A.AB=BC=CA
B.∠A=∠B=∠C
C.AB=BC,∠A=60°
D.△ABC满足“三线合一”
D
3.典例 如图所示,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
4.如图所示,点D是△ABC边AC上的点,且点D在线段AB的垂直平分线上,∠ABC=87°,∠ACB=33°.求证:△ABD是等边三角形.
证明:在△ABC中,∠ABC=87°,∠ACB=33°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°.
∵点D在线段AB的垂直平分线上,
∴DA=DB.∴△ABD是等边三角形.
知识点二 等边三角形的性质与判定的综合
5.典例 如图所示,在△ABC中,AD=DE=EA=BD=EC,则∠BAC的大小为( )
A.150° B.135° C.120° D.90°
C
6.(2025广州期中)如图所示,在△ABC中,∠B=60°,AB=AC,BC=
4,则△ABC的周长为( )
A.9 B.8
C.6 D.12
D
7.典例 教材 P85 习题 T9 变式 如图所示,一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120 n mile到达 B地,再由B地向北偏西35°的方向行驶120 n mile到达A地,则A,C两地相距 n mile.
120
8.(2025广州期中)如图所示,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数
据:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48 m,则AC= m.
48
精评价 层级演练 02
基础巩固
9.在△ABC中,AB=AC=9,∠A=60°,则BC等于( )
A.4.5 B.9
C.12 D.18
B
B
11.(2025惠州期中)如图所示,下列能推出△ABC是等边三角形的是( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC,BD=CD
C.AD⊥BC,BD=CD,∠BAD=30°
D.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
C
12.(2025云浮期中)如图所示是某种落地灯的简易示意图,已知悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCD=60°.若CD的长度为40 cm,则此时B,D两点之间的距离为 cm.
40
能力进阶
13.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥CB,∠ADC的平分线与CB的延长线交于点E,∠E=60°,求证:△ECD为等边三角形.
证明:∵AD∥CB,∴∠A=∠ABE,∠ADE=∠E=60°.
∵∠ADC的平分线与CB的延长线交于点E,
∴∠CDE=∠ADE=60°.
∴∠C=180°-∠CDE-∠E=180°-60°-60°=60°.
∴∠C=∠CDE=∠E=60°.
∴△ECD为等边三角形.
14.如图所示,△ABC≌△ADE,点D恰好在BC边上,∠B=60°,∠E
=40°,求∠DAC的度数.
解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠C=∠E=40°,AB=AD.
∵∠B=60°.∴△ABD是等边三角形.
∴∠BAD=60°.
∵∠C+∠B+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠C-∠B=80°.
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=20°.
15.如图所示,在我国北斗卫星导航系统的精确导航下,一艘货轮在海上以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向航
行,已知货轮在B处时,测得灯塔A在其北偏东80°的方向上,航行半小时后货轮到达C处,此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上,求货轮到达C处时与灯塔A的距离.
解:如图所示,根据题意,得CD∥BE,
∴∠1=∠EBC=40°.∴∠BCA=∠1+∠ACD=40°+20°=60°.
∵∠ABC=180°-80°-40°=60°,∴∠BCA=∠ABC=60°.
∴△ABC是等边三角形.
∴AC=BC=40×0.5=20(n mile).
答:货轮到达C处时与灯塔A的距离是20 n mile.
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综合与实践 最短路径问题
探究一:牧民饮马问题
1.综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河,”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图(1)所示,将军从山脚下的点A出发,到达河岸点C饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走,才能使他每天走的路
程之和最短呢
探实践 要点精练
【分析问题】小亮:作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是饮马的地方,此时所走的路程就是最短的.[如图(2)所示]
小慧:你能详细解释为什么吗
小亮:如图(3)所示,在直线l上另取任一点C′,连接AC′,BC′,
B′C′,我只要证明AC+CB
∵直线l是点B,B′的对称轴,点C,C′在l上,
∴CB= ,C′B= ,
请完整地写出小亮的证明过程.
解:【分析问题】根据题意,可知CB=CB′,C′B=C′B′,
∴AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+C′B′.
∴AB′∴作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,点C就是饮马的地方.
【解决问题】如图(4)所示,将军牵马从军营P处出发,到河流OA饮马,再到草地OB吃草,最后回到P处,试分别在边OA和OB上各找一点E,F,使得走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线.)
解:【解决问题】如图所示,分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于E,F,则路线PE,EF,PF即为所求.
∵CE=PE,DF=PF,∴PE+EF+PF=CE+EF+DF.根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF为所求.
模型一 两定一动型
2.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BC=4,△ABC的面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于E,F点.若D为BC边的中点,M为线段EF上一动点,则CM+DM的最小值为 .
7
模型二 两动一定型
3.如图所示,在△ABC中,BA=BC=10,△ABC的面积是48,BH为高,点P,D分别是BH和AB上的动点,则 PA+PD的最小值为 .
9.6
探究二:牧民饮马问题的拓展
4.如图所示,在旷野上,一个人骑着马从A到B,半路上他必须先到河岸l的P点去让马饮水,然后再让马到河岸m的Q点再次饮
水,最后到达B点,他应该如何选择饮马地点P,Q,才能使所走路程AP+PQ+QB为最短(假设河岸l,m为直线).
解:如图所示,分别作A点关于直线l的对称点A′、B点关于直线m的对称点B′,连接A′B′,分别交l于点P,交m于点Q,连接AP,BQ,所以路程AP+PQ+BQ最短.
模型三 两动两定型
5.如图所示,A为马厩,B为帐篷,牧马人某天要从马厩牵出马,先到草地边的某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线.作出图形,并说明理由.
解:沿AC-CD-DB路线走是最短的路线,如图所示.
理由如下:在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR,
BR,RT,ET,AT,如图所示.
∵A,E关于ON对称,∴AC=EC.同理,BD=FD,FR=BR,AT=ET.
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,AT+TR+BR=ET+TR+FR.
∵ET+TR+FR>EF,∴AC+CD+DB探究三:造桥选址问题
6.如图所示,两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
解:如图(1)所示,从A到B的路径AMNB最短.
【思考】如果A,B两地之间有两条平行的河流,我们要建的桥都是要与河岸垂直的,我们应该如何找到这个最短的距离呢
解:【思考】如图(2)所示,从A到B的路径AMNEFB最短.
【进一步思考】如果A,B两地之间有三条平行的河流呢
解:【进一步思考】如图(3)所示,从A到B的路径AMNGHFEB最短.
【拓展】如果在上述其他条件不变的情况下,两条河并不平
行,又该如何建桥呢
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来,保留作图痕
迹,将行走的路线画出来.
解:【拓展】如图(4)所示,从A到B的路径AMNEFB最短.
模型四 造桥选址模型
7.如图所示,直线l1∥l2,A,B为两定点,M,N分别在直线l1,l2
上,且MN⊥l2,请确定M,N的位置,使AM+MN+BN最小.
解:如图所示,过点A作AA1⊥l1,且AA1=MN,连接A1B,交l2于点N,
过点N作MN⊥l2交l1于点M,连接AM,则AM+MN+BN最小.
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第十五章 轴对称
第1课时 轴对称及其性质
知识点一 轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相
,那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线就是它的 .折叠后重合的点是对应点,叫作 .
重合
学新知 知识导学 01
对称轴
对称点
1.典例 跨学科融合 下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是( )
C
知识点二 成轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形
,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称,也称这两个图形关于这条直线 .这条直线叫作 .
重合
对称
对称轴
2.典例 教材 P64 练习 T2 变式 视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合的两个字母“E”是关于某条直线成轴对称的是( )
D
3.如图所示,阴影三角形与哪些三角形成轴对称 它们分别是以哪条直线为对称轴的
解:由轴对称的性质可知,阴影三角形与三角形1,3,5,7可形成轴对称图形,阴影三角形与1关于直线BD对称,阴影三角形与3关于直线GH对称,阴影三角形与5关于直线AC对称,阴影三
角形与7关于直线EF对称.
知识点三 轴对称的性质
(1)轴对称的性质:①成轴对称的两个图形全等;②成轴对称的两个图形中,连接对称点的线段被对称轴垂直平分.
(2)经过线段中点并且垂直于这条线段的 ,叫作这条线段的垂直平分线.
(3)无论是成轴对称的两个图形,还是轴对称图形,其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的 .
直线
垂直平分线
4.典例 如图所示,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,连接AA′,BB′,CC′,其中BB′分别交AC,A′C′于点D,D′,下列结论:①AA′∥BB′;②∠ADB=∠A′D′B′;③直线l垂直平分AA′;④直线AB与A′B′的交点不一定在直线l上.其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
精评价 层级演练 02
基础巩固
5.传统文化 文化是一个国家、一个民族的灵魂.文化兴国运兴,文化强民族强.没有高度的文化自信,没有文化的繁荣兴
盛,就没有中华民族伟大复兴.下列甲骨文中,可看作轴对称图形的是( )
A
6.如图所示的图形中,属于轴对称图形的有 ;两个图形成轴对称的有 .(填序号)
①③④⑧
②⑤⑦
7.(2025广州期中)如图所示,四边形ABCD是轴对称图形,BD所在的直线是它的对称轴,AB=4,则BC= .
4
8.教材 P64 练习 T1 变式 如图所示的每个图形是轴对称图形吗 如果是,画出它的对称轴.
解:图(1)(3)是轴对称图形,对称轴如图所示;图(2)不是轴对称图形.
能力进阶
9.如图所示的2×4的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中,与
△ABC成轴对称的格点三角形一共有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
B
10.(1)(2025汕头期中)如图(1)所示,直线AD为△ABC的对称
轴,BC=6,AD=4,则图中阴影部分的面积为 .
6
(2)新课标 生活情境 从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图(2)所示,这时的正确时间是 .
21:05
11.如图所示,将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合,若AC=6,BC的长为15,求△ADC的周长.
解:∵将△ABC沿直线DE折叠后,使得点B与点A重合,AC=6,BC的长为15,
∴AD=BD.
∴△ADC的周长=AC+(AD+CD)=AC+(BD+CD)=AC+BC=6+15=21.
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第6课时 等腰三角形(1)——等腰三角形的
性质
知识点一 等腰三角形的性质1:等边对等角
(1)知识回顾:①等腰三角形的定义:有 相等的三角形叫作等腰三角形;
②认识等腰三角形:腰 ,底边 ,顶角 ,
底角 .
学新知 知识导学 01
两边
AB,AC
BC
∠A
∠B,∠C
(2)性质1:等腰三角形的两个底角 (简称“等边对等角”).
【几何语言】 如图所示,∵AB=AC,∴∠B=∠C.
相等
1.典例 (2025东莞期中)在△ABC中,AB=AC,∠B=65°,则∠A的大小为( )
A.50° B.55°
C.60° D.65°
2.(2024湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为 °.
A
100
3.典例 新教材样板题 如图所示,点E在BC上,AB=AE,AE∥CD,求证:∠B=∠C.
解:∵AB=AE,∴∠B=∠AEB.
∵AE∥CD,∴∠AEB=∠C.
∴∠B=∠C.
4.随着钓鱼成为一种潮流,如图(1)所示的便携式折叠凳成为热销产品,图(2)是折叠凳撑开后的侧面示意图,已知OC=OD,
∠BOD=100°,则凳腿与地面所成的角∠ODC为( )
A.36° B.50° C.54° D.72°
B
知识点二 等腰三角形的性质2:三线合一
(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成“ ”);
(2)等腰三角形是 图形,底边上的中线(顶角平分线、底边上的高)所在直线就是对称轴.
三线合一
轴对称
5.典例 如图所示:(1)∵AB=AC,∠1=∠2,
∴ , ;
(2)∵AB=AC,BD=CD,
∴ , ;
(3)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴ , .
BD=CD
AD⊥BC
∠1=∠2
AD⊥BC
∠1=∠2
BD=CD
6.(1)如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∠BAC=
50°,则∠BAD的度数为 ;
25°
(2)如图(2)所示,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,E是AD上一点,若CE=5,则BE= .
5
精评价 层级演练 02
基础巩固
7.已知等腰三角形的顶角为70°,则其底角为( )
A.70° B.55° C.40° D.110°
8.(2025广州期中)若等腰三角形的两边长分别是2和10,则它的周长是( )
A.14 B.22 C.14或22 D.12
B
B
9.在△ABC中,AB=BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放,它们一组较短的直角边分别在AB,BC上,P为两个三角板的公共顶点,BP交边AC于点D,则下列结论错误的是( )
A.BP平分∠ABC
B.AD=DC
C.BD垂直平分AC
D.AB=2AD
D
10.(2025东莞期中)如图所示,小聪和小明玩跷跷板游戏,支点O是跷跷板的中点(即OA=OB),支柱OH垂直于地面,两人分别坐在跷跷板A,B两端,当A端落地时,∠AOH=71°,则AB上下可转动的最大角度∠AOM= °.
38
能力进阶
11.如图所示,l1∥l2,点B在直线l1上,点A在直线l2上,AB=BC,
∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是( )
A.70°
B.65°
C.60°
D.55°
A
12.(2025广州期中)如图所示,在△ABC中,∠BAC=100°,点D,E分别在边BC,AC上,且AB=AD=DE=EC,则∠ADE= .
100°
13.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于点E.求证:∠CBE=∠BAD.
证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=∠ADC=90°.
∴∠CBE=90°-∠C,∠CAD=90°-∠C.
∴∠CBE=∠CAD.
∴∠CBE=∠BAD.
14.拓展 如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的中点,BE=AC.
(1)求证:AD⊥BC;
(1)证明:如图所示,连接AE,
∵EF垂直平分AB,∴AE=BE.
∵BE=AC,∴AE=AC.
∵D是EC的中点,∴AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°,求∠B的度数.
(2)解:设∠B=x°,∵AE=BE,∴∠BAE=∠B=x°.
∴由三角形的外角的性质,得∠AEC=2x°.
∵AE=AC,∴∠C=∠AEC=2x°.
在三角形ABC中,3x°+75°=180°,x=35.
∴∠B=35°.
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