2.1.1 函数的概念和图象 函数的图像 课件 (2)

课件32张PPT。一.作函数图象
二.函数图象变换
三.函数图象运用函数的图象函数的图象1.利用描点法作函数图像
其基本步骤是_____、描点、_____，具体为：
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）.
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）.
最后：描点，连线.
基础回顾列表连线2.函数的图像变换
（1）平移变换：f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k（2）对称变换：
①y=f(x) y= ;
②y=f(x) y= ;
③y=f(x) y= ;
④y=ax(a>0且a≠1) y= __________________.关于x轴对称关于原点对称关于y轴对称关于y=x对称-f(x)f(-x)-f(-x)logax（a>0且a≠1）（3）翻折变换：
①y=f(x) y= _______；
②y=f(x) y= _______.
（4）伸缩变换：
①y=f(x) y= ______；
②y=f(x) y= ______. 保留x轴上方图像保留y轴右边图像，并作其将x轴下方图像翻折上去关于y轴对称的图像a>1,横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变01,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变02.判断下面结论中正确的是 （请填序号）.
（1）当x∈（0，+∞）时，函数y=|f（x）|与y=f（|x|）的图像相同.
（2）函数y=af（x）与y=f（ax）(a＞0且a≠1)的图像相同.
（3）函数y=f（x）与y=-f（x）的图像关于原点对称.
（4）若函数y=f（x）满足f（1+x）=f（1-x），则函数f（x）的图像关于直线x=1对称.【解析】（1）错误.例如函数y=|log2x|与y=log2|x|，当x＞0时，它们的图像不相同.
（2）错误.函数y=af（x）与y=f（ax）分别是对函数y=f（x）作了上下伸缩和左右伸缩变换，故函数图像不同.
（3）错误.函数y=f（x）与y=-f（x）的图像关于x轴对称.
（4）正确.点（1+x，y）与（1-x，y）关于直线x=1对称，且有f（1+x）=f（1-x），从而图像关于直线x=1对称.
答案：（4）3.已知函数 是R上的奇函数，则函数 的图象经
过定点 .4.函数y=f（x）为偶函数，则函数y=f（x+1）的一条对称轴是__________.题型一 作函数图象
【例1】画出下列函数的图像：
（1）y=|log2(x+1)|.（2） （3）
（4）y=x2-2|x|-1.交流质疑 精讲点拨【思路点拨】对于（1），（2）可通过图像变换画出函数的图像.对于（3）可先化简解析式，分离常数，再用图像变换画图.对于（4）可先去掉绝对值号化成分段函数，再分段画出函数的图像.
【规范解答】（1）将函数y=log2x的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图像，如图.（2）作出函数 的图像，保留 图像中x≥0的部分，加上 的图像中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得 的图像，如图实线部分.(3)原函数解析式可化为 故函数图像可由 图像
向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图.(4)∵ 且函数为偶函数，先用描点法作出［0，+∞）上的图像，再根据对称性作出（-∞，0）上的图像，得图像如图.（1）直接法：当函数解析式（或变形后的解析式）是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分）时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出.
（2）图像变换法：
①若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序；
②对不能直接找到熟悉函数的，要先变形，同时注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【小结】作函数图像的三个方法
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行分析.
【提醒】当函数解析式是较复杂的高次、分式、指数、对数及三角函数式时，常借助于导数探究图像的变化趋势从而画出图像的大致形状.题型二 函数图象的变换【例2】（1）已知y=f（2x+1）是偶函数，则函数y=f（2x）
的图像的对称轴是 .
（2）（2013·安庆模拟）函数f(x),g(x)的图像如图:
则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是( )【思路点拨】(1)根据图像平移或根据偶函数的定义求解.
(2)从函数f(x)·g(x)的奇偶性和定义域两方面判断.【规范解答】(1)选D.函数y=f（2x+1）的图像是由函数y=f（2x）的图像沿x轴方向向左平移 个单位得到的，又y=f（2x+1）是偶函数，其图像关于y轴对称，所以函数y=f（2x）的图像关于直线 对称.(2)选A.由图可知，f(x),g(x)分别是偶函数、奇函数，f(x)·g(x)是奇函数，可排除B，又∵函数y=f(x)·g(x)的定义域是函数y=f(x)与y=g(x)的定义域的交集（-∞,0）∪(0,+∞)，图像不经过坐标原点，可以排除C，D，故选A.【变式】若本例题（1）中，函数y=f（2x+1）是“偶函数”
改为“奇函数”，则函数y=f（2x）的图像关于下列哪个点成
中心对称( )
(A)（1，0） (B)（-1，0）
(C) (D)【解析】选C.∵y=f(2x+1)是奇函数，
∴f（2x+1）的图像关于原点（0，0）对称.
又f（2x）的图像可由f（2x+1）的图像向右平移 个单位得到，
∴y=f（2x）的图像关于点 成中心对称.【小结】知式选图的方法（1）从函数的定义域，判断图像左右的位置；从函数的值域，判断图像上下的位置.（2）从函数的单调性（有时可借助导数判断），判断图像的变化趋势.（3）从函数的奇偶性，判断图像的对称性.
（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.
（5）从函数的极值点,判断图像的拐点.
题型三 函数图象的运用【例3】已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R)，且f(4)=0.
(1)求实数m的值.
(2)作出函数f(x)的图像并判断其零点个数.
(3)根据图像指出f(x)递减的单调区间.
(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集.
(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.
【规范解答】(1)∵f(4)=0，∴4|m-4|=0，即m=4.
(2)∵f(x)=x|m-x|
=x|4-x|
∴函数f(x)的图像如图：
由图像知f(x)有两个零点.【思路点拨】先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图像，进而应用图像求解（2）（3）（4）（5）四个小题.(3)从图像上观察可知：f(x)递减的单调区间为
（4）从图像上观察可知：
不等式f(x)>0的解集为{x|04}.
（5）由图像可知若y=f(x)与y=m的图像有三个不同的交点，则0∴集合M={m|0对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.
2.利用函数的图像研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图像来研究方程的根，方程f(x)=0的根就是函数f(x)图像与x轴的交点的横坐标，方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像的交点的横坐标.3.利用函数的图像研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.当堂反馈 拓展迁移3.定义在R上的偶函数f(x)的部分图像如图所示，则在（-2，0）上，下列函数中与f(x)的单调性相同的是（ ）（1）y=x2+1
（2）y=|x|+1
（3）
（4）2.【解析】函数 可表示
为
图像为如图所示的实线部分，数
形结合可知，要使两函数图像有
两个交点，
则k∈（0，1）∪（1，2）.1.【解析】选C.利用指数函数图像及平移变换求解.令y=ax-a=0，得x=1，即函数图像必过定点（1，0），符合条件的只有选项C.3.【解析】（1）（2）（4）.由奇偶性知函数f(x)在（-2，0）上的图像如图所示：则知f(x)在（-2，0）上为递减的，而y=x2+1,y=|x|+1和 由其图像知在（-2，0）上均为递减的.又y=x3+1,x<0时，y′=3x2>0，故y=x3+1在（-2，0）上为递增的，与f(x)的单调性不同.