(共39张PPT)
16.3 乘法公式
16.3.1 平方差公式
平方差公式
1.计算(4+x)(x-4)的结果是 ( A )
A.x2-16 B.16-x2
C.x2+16 D.x2-8x+16
A
2.下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是 ( B )
A.(m+2)(2+m)
B.
C.(-a+b)(a-b)
D.(m2-n)(m-n2)
3.若(1+2x)(1-2x)=a+bx2,则a= 1 ,b= -4 .
B
1
-4
4.填空:
(1)(3x-2y)( 3x+2y )=9x2-4y2.
(2)(-7y+x)( -7y-x )=49y2-x2.
5.运用平方差公式计算:
(1)(x-2)(x+2).
解:原式=x2-4.
(2)(4m+3n)(4m-3n).
解:原式=16m2-9n2.
(3)x-yx+y.
解:原式=x2-y2.
3x+2y
-7y-x
6.已知x=,求(2x+1)(2x-1)+x(3-4x)的值.
解:原式=4x2-1+3x-4x2=-1+3x.
当x=时,原式=-1+3×=0.
平方差公式的应用
7.若a+b=2,a-b=1,则a2-b2的值为 2 .
8.已知x2-9y2=3,x+3y=,则x-3y= 6 .
2
6
9.利用平方差公式计算:
(1)103×97.
解:原式=9 991.
(2)9.9×10.1.
解:原式=99.99.
(3)40×39.
解:原式=1 599.
10.已知(-3a+m)(4b+n)=16b2-9a2,则m,n的值分别是 ( C )
A.-4b,3a B.4b,-3a
C.4b,3a D.3a,4b
C
11.在数学实践课上,“智慧小组”将大正方形的阴影部分裁剪下来重新拼成一个图形,以下4种拼法中,能够验证平方差公式的是
( C )
第11题图
A.①② B.①③
C.①②③ D.①②④
C
12.若a+b=1,则a2-b2+2b-2= -1 .
13.若(2 0242-4)(2 0232-4)=2 026×2 022×2 021m,则m的值是
2 025 .
14.若y=-x2+3,则x4-y2= 6x2-9 .
-1
2 025
6x2-9
15.可以利用合适的方法,将复杂问题简单化.例如,化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).小刚同学看到这个问题之后想到用一个“引子”就可以使这个式子计算有规律,思路如下:
解:∵2-1=1,
∴(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=( )(24+1)(28+1)
=(28-1)(28+1)
=( ).
(1)根据小刚同学的解题思路,将上述过程补充完整.
(2)计算:.
解:(1)24-1,216-1.
(2)原式=2×
=2×
=2×
=2×
=2×
=2×
=2-.
16.新考法【实践操作】
如图1,在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把图1中L形的纸片按图2剪拼,改造成一个大长方形,如图3.
第16题图
(1)请写出从图1到图3验证的乘法公式为 ,并说明理由.
【应用探究】
(2)利用(1)中验证的公式简便计算:499×501+1.
【知识迁移】
(3)类似地,我们还可以通过对立体图形进行变换得到代数恒等式.如图4,在一个棱长为a的正方体中去掉一个棱长为b的正方体,再把剩余立体图形切割分成三部分,如图5,利用立体图形的体积,可得到的恒等式为:a3-b3= .(结果不需要化简)
解:(1)∵图3整个大长方形的面积等于图1阴影部分的面积,
∴(a-b)(a+b)=a2-b2.理由如下:
图1中,S阴影=a2-b2,
图3中,S阴影=2(a-b)=(a-b)(a+b),∴(a-b)(a+b)=a2-b2.
(2)原式=(500-1)×(500+1)+1
=5002-12+1
=250 000.
(3)将立体图形分割成三部分,分别为a2(a-b),b2(a-b),ab(a-b),
其和为a2(a-b)+b2(a-b)+ab(a-b)=a3-b3,
故答案为a2(a-b)+b2(a-b)+ab(a-b).
16.3.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
完全平方公式
1.计算(x-1)2的结果是 ( C )
A.x2-1 B.x2-x+1 C.x2-2x+1 D.x2+2x+1
2.若(x+m)2=x2+8x+16,则m的值为 ( A )
A.4 B.±4 C.8 D.±8
C
A
3.下列运用完全平方公式计算正确的是 ( C )
A.(x+y)2=x2+y2
B.(x-y)2=x2-y2
C.(-x+y)2=x2-2xy+y2
D.(-x-y)2=x2-2xy+y2
4.运用完全平方公式计算:
(1)(-2a+b)2. (2)(-2m-3n)2.
解:4a2-4ab+b2. 解:4m2+12mn+9n2.
(3)(x+y)2-(x-y)2.
解:4xy.
C
5.先化简,再求值:(x+1)2-2(x+1),其中x=.
解:原式=x2+2x+1-2x-2=x2-1.
当x=时,原式=2-1=1.
完全平方公式的应用
6.已知m+n=-5,mn=-2,则m2-mn+n2的值为 ( D )
A.7 B.25 C.-3 D.31
D
7.(2025·厦门期末)如图,图中阴影部分由两个正方形组成.若两个正方形面积的和与周长的和分别为20,24,则图中空白部分的面积共为 ( C )
第7题图
A.20 B.18 C.16 D.14
8.利用完全平方公式计算:
(1)992. (2)1022. (3)10.22.
解:9 801. 解:10 404. 解:104.04.
C
9.已知m2+n2-6m+10n+34=0,则m+n的值为 -2 .
10.已知(x-2 023)(x-2 025)=9,则(x-2 023)2+(x-2 025)2的值为 22 .
11.新考法利用(a±b)2可求某些整式的最值.例如:x2-2x+2=x2-2x+1+1=(x-1)2+1,由(x-1)2≥0知,当x=1时,多项式x2-2x+2有最小值1.对于多项式x2+6x+6,当x= -3 时,有最小值是 -3 .
-2
22
-3
-3
12.对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.例如:图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,请回答下列问题:
第12题图
(1)写出图2表示的数学等式为 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc .
(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式.
(3)利用(1)中得到的结论,回答问题:
若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= 30 .
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
30
解:(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
(2)证明:(a+b+c)(a+b+c)
=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
∴等式成立.
(3)a2+b2+c2=(a+b+c)2-2ab-2ac-2bc
=102-2(ab+ac+bc)
=100-2×35=30.故答案为30.
第2课时 添括号法则
添括号法则
1.在括号内填上适当的项.
(1)a-b+c-d=a+( -b+c-d ).
(2)a2-b2-a-b=a2-a-(b2+ b ).
2.在括号内填上适当的项.
2x+3y-4z+5t=-( -2x-3y+4z-5t )=+( 2x+3y-4z+5t )=2x-( -3y+4z-5t )=2x+3y-( 4z-5t ).
-b+c-d
b
-2x-3y+4z-5t
2x+3y-4z+5t
-3y+4z-5t
4z-5t
添括号法则的应用
3.计算(a+b)(-a-b)的结果是 ( B )
A.a2-b2 B.-a2-2ab-b2
C.b2-a2 D.-a2+2ab-b2
4.人教版教材P116例5改编运用平方差公式计算(2x+4y-3)(2x-4y+3),下列变形中正确的是 ( B )
A.[2x-(4y+3)]2
B.[2x+(4y-3)][2x-(4y-3)]
C.[(2x+4y)-3][(2x-4y)+3]
D.[2x+(4y+3)]2
B
B
5.填空:
(1)(a+b-c)(a+b+c)= (a+b) 2- c 2.
(2)(2a+b-c)(2a-b+c)= (2a) 2- (b-c) 2.
(3)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+( 2y-3 )]·[x-( 2y-3 )]=x2-( 2y-3 )2
(a+b)
c
(2a)
(b-c)
2y-3
2y-3
2y-3
6.运用乘法公式计算:
(1)(a-b+1)(a+b-1)
解:原式=[a-(b-1)][a+(b-1)]
=a2-(b-1)2
=a2-b2+2b-1.
(2)(a+b-1)2.
解:原式=a2+b2+2ab-2a-2b+1.
7.若a-b=2,a-c=1,则(2a-b-c)2+(c-a)2的值为 ( B )
A.9 B.10 C.2 D.1
8.已知(a-b-c)·M=(a-c)2-b2,则M= a+b-c .
9.核心素养·运算能力若P=(a2-a+1)(a2+a+1),Q=(a+1)2(a-1)2,其中a≠0,则P,Q的大小关系为P > Q.(选填“>”“<”或“=”)
B
a+b-c
>
10.计算:
(1)(3x-2y-1)2.
解:原式=[(3x-2y)-1]2=(3x-2y)2-2(3x-2y)+1=9x2-12xy+4y2-6x+4y+1.
(2)(a+2b-c)(a-2b-c).
解:原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]=(a-c)2-(2b)2=a2-2ac+c2-4b2.
(3)(a+2b-c)(a-2b-c)-(a-b-c)2.
解:原式=[(a-c)+2b][(a-c)-2b]-[(a-c)-b]2=(a-c)2-4b2-[(a-c)2-2b(a-c)+b2]=(a-c)2-4b2-(a-c)2+2b(a-c)-b2=-5b2+2ab-2bc.
综合与实践 分割长方形土地
根据以下素材,探索完成任务.
校园实践基地土地分割方案 素材1 学校有一块总面积为35 m2的长方形空地,现将这块空地用于建造实践基地
素材2 将长方形空地分割为以下三种类型的土地:A型土地是a×a的正方形,B型土地是b×b的正方形,C型土地是a×b的长方形(a,b都是正整数)
问题解决 任务一
学校原计划将长方形空地分割成1块A型土地、2块B型土地、3块C型土地(如图),请你用两种不同的方式表示出长方形空地的面积(用含a,b的代数式表示)
① ;
②
解:任务一:根据题意,可得列代数式a2+2b2+3ab,(a+2b)(a+b).
故答案为①a2+2b2+3ab;②(a+2b)(a+b).
任务二 学校现决定将长方形空地分割成1块A型土地、6块B型土地、5块C型土地.请你在虚线框中画出长方形空地的分割示意图,并写出一个关于a,b的等式
等式:
任务三 根据任务二的分割方案,求出a,b的值
任务二:长方形空地的分割示意图如右图所示,
根据示意图,可得等式(a+2b)(a+3b)=a2+5ab+6b2.
故答案为(a+2b)(a+3b)=a2+5ab+6b2.
任务三:根据题意,长方形空地的面积为35 m2,且a,b都是正整数,
∴该长方形的长和宽也为正整数,
则长方形的宽和长只能分别为5 m和7 m,
根据任务二中的分割方案,
可得解得
★单元核心考点归纳
八个法则
法则1 同底数幂的乘法法则
1.化简a4·(-a)3的结果是 ( D )
A.a12 B.-a12 C.a7 D.-a7
法则2 幂的乘方法则
2.若an=3,则a3n= 27 .
法则3 积的乘方法则
D
27
3.计算-x2y3的结果是 ( C )
A.-x6y3 B.-x2y3 C.-x6y3 D.-x5y4
法则4 单项式乘单项式法则
4.(2025·南昌期末)计算:(-5a4)·(-6ab3)= 30a5b3 .
法则5 单项式乘多项式法则
5.计算:(2x-4y-1)= -x3y+2x2y2+x2y .
法则6 多项式乘多项式法则
6.计算:(m-n)(m2+mn+n2)= m3-n3 .
C
30a5b3
-x3y+2x2y2+x2y
m3-n3
法则7 单项式除以单项式法则
7.计算:8x3y÷(2x)2= 2xy .
法则8 多项式除以单项式法则
8.计算:2a3-a2b+3a÷-a= -6a2+ab-9 .
三个公式
公式1 (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
9.若(x+3)(x+n)=x2+mx-15,则m的值为 ( B )
A.-5 B.-2 C.5 D.2
2xy
-6a2+ab-9
B
10.(2025·驻马店期末)已知P=(x-1)(x-4),Q=(x-2)(x-3),则P与Q的大小关系为 ( C )
A.P>Q B.P=Q
C.P公式2 平方差公式
11.下列式子:①(x-y)(x+y);②(-x-y)(x+y);③(x-y)(y-x);④(x+y)(-y+x);⑤(-x+y)·(-x-y).其中能用平方差公式运算的有 ①④⑤ .(填序号)
12.(2025·南阳模拟)若x2-y2=4 050,x+y=2,则x-y= 2 025 .
C
①④⑤
2 025
公式3 完全平方公式
13.下列各式:①a2-4a+4;②x2+4x+4y2;③4a2+2ab+b2;④a2-ab+b2;⑤x2-6x-9;⑥a2+a+0.25.其中能用完全平方式分解因式的是 ①③⑥ .(填序号)
14.(2025·泰州期中)已知x2-2x-1=0,则(x-1)2+1= 3 .
①③⑥
3
一个能力——运算能力
15.先化简,再求值:2a(3a+4)+(2a-3)2-(3a-5)(5+3a),其中a2-4a=2.
解:原式=6a2+8a+4a2-12a+9-9a2+25
=a2-4a+34,
当a2-4a=2时,原式=2+34=36.
一种思维——逆向思维
16.已知am=3,an=2.求:
(1)a2m. (2)am+n. (3)am-n.
(4)a3m+2n. (5)a3m-2n.
解:(1)a2m=(am)2=32=9.
(2)am+n=am·an=3×2=6.
(3)am-n==.
(4)a3m+2n=(am)3·(an)2=27×4=108.
(5)a3m-2n==.
17.已知二次三项式x2-7x+a有一个因式是(x+1),求另一个因式及a的值.
解:设另一个因式为x+b,
则(x+1)(x+b)=x2-7x+a,
∴
∴a=b=-8,
∴另一个因式为x-8,a=-8.(共49张PPT)
16.2 整式的乘法
第1课时 单项式乘单项式
单项式乘单项式法则
1.(2024·湖北)计算2x·3x2的结果是 ( D )
A.5x2 B.6x2 C.5x3 D.6x3
2.如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7,那么m和n的值分别是( C )
A.3,5 B.2,1
C.3,4 D.4,3
D
C
3.计算:
(1)2x2·(-xy). (2)(-2a2b)·abc.
解:(1)原式=-2x3y (2)原式=-a3b2c
(3)(-2xy2)·. (4)·(-3ab2).
(3)原式=-18x5y4 (4)原式=-12a5b2c2
单项式乘单项式法则的应用
4.新情境我国的陆地面积约是9.6×106 km2,平均每平方千米的陆地上,一年从太阳得到的能量约相当于燃烧1.3×105 t煤所产生的能量.我国陆地上一年内从太阳得到的能量约相当于燃烧 1.248×1012 t煤所产生的能量.
5.计算(2.5×103)3×(-0.8×102)2的结果是 1014 .
1.248×1012
1014
6.下列运算中正确的是 ( B )
A.4x3·3x2=12x6
B.(-3a4)(-4a3)=12a7
C.3a4·5a3=8a7
D.(-a)(-2a)3(-3a)2=-72a6
7.若x3·xm+n·=x9y9,则4m-3n= 10 .
8.若A=3x2,B=-2xy2,C=-x2y2,则AB2C= -12x6y6 .
B
10
-12x6y6
9.计算:
(1)(2x2y)·(3xy2)-4xy·(xy)2.
解:(1)原式= 2x3y3.
(2)(-3a2b3)2·4(-a3b2)5.
(2)原式=-36a19b16.
10.先化简,再求值:2x2y·(-2xy2)3+(2xy)3·,其中x=4,y=.
解:原式=-8x5y7.
当x=4,y=时,
原式=-8×45×=-.
11.新情境某市环保局将一个长为4(2a3b)2c4 dm,宽为4a2(bc)3 dm,高为8abc2 dm的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池中净化.那么请你想一想,能否恰好有一个正方体贮水池刚好装满这些废水 如果有,请求出正方体贮水池的棱长;如果没有,请说明理由.
解:有.理由如下:
废水的体积为4(2a3b)2c4·4a2(bc)3·8abc2=512a9b6c9(dm3).
∵512a9b6c9=(8a3b2c3)3,
∴正方体贮水池的棱长为8a3b2c3 dm.
第2课时 单项式乘多项式
单项式乘多项式法则
1.计算-2a(a2-1)的结果是 ( C )
A.-2a3-2a B.-2a3+a
C.-2a3+2a D.-a3+2a
2.计算3x·(2x2-5x-1)的结果是 ( B )
A.6x3+15x2+3x B.6x3-15x2-3x
C.6x3-15x2 D.6x3-15x2+1
C
B
3.(1)(2x-1)x= 2x2-x .
(2)2a2(a-3)= 2a3-6a2 .
(3)-2x(3x2-5x+1)= -6x3+10x2-2x .
2x2-x
2a3-6a2
-6x3+10x2-2x
4.计算:
(1)2a2(3ab2-5ab3). (2)2ab2(3a2b-2ab).
解:6a3b2-10a3b3. 解:6a3b3-4a2b3.
(3)-2xx2y+3y. (4)6a-a2-a+2.
解:-x3y-6xy. 解:-3a3-2a2+12a.
单项式乘多项式法则的应用
5.一个长方体的长,宽,高分别为3a-4,2a,a,则它的体积为 ( C )
A.3a3-4a2 B.a2
C.6a3-8a2 D.6a2-8a
6.今天数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记本复习,发现一道题:-3xy(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+□,□的地方被墨水弄污了,你认为□处应填写 3xy .
C
3xy
7.先化简,再求值:3x(2x+1)+2(3-x),其中x=-1.
解:原式=6x2+x+6.
当x=-1时,原式=6-1+6=11.
8.若xy的展开式是一个四次二项式,则mn的值为 ( B )
A.0 B.1 C.2 D.3
9.(2025·广州期末)若规定 表示单项式-2xyz, 表示多项式ab-cd,则计算 × 的结果是 ( D )
A.-4mn2-6m2n B.-4mn2+6m2n
C.-8mn2-12m2n D.-8mn2+12m2n
B
D
10.已知P=2y+a,Q=-y,R=2y2-3y+2,且P·Q+R的值与y无关,则a= -3 .
11.先化简,再求值:-xy2[xy(2x-y)-2x(xy-y2)],其中x=-,y=-2.
解:原式=x3y4.
当x=-,y=-2时,
原式=××(-2)4=-6.
-3
12.已知x(x-m)+n(x+m)=x2+5x-6对任意实数x都成立,求m(n-1)+n(m+1)的值.
解:x(x-m)+n(x+m)=x2-mx+nx+mn=x2+(n-m)x+mn,∴
∴m(n-1)+n(m+1)=n-m+2mn=5-12=-7.
第3课时 多项式乘多项式
多项式乘多项式法则
1.计算(x-1)(x-2)的结果是 ( C )
A.x2+3x-2 B.x2-3x-2
C.x2-3x+2 D.x2+3x+2
2.若(2x+p)(x-2)的展开式中,不含x的一次项,则p的值是 ( D )
A.-1 B.-4 C.1 D.4
C
D
3.计算(x+3)(x-2)+(x-3)(x+2)的结果是 2x2-12 .
4.若(x+1)(x+a)=x2+bx-4,则a= -4 ,b= -3 .
5.计算:
(1)(x+1)(x-4). (2)(m+4)(m-3).
解:x2-3x-4. 解:m2+m-12.
(3)(2m-1)(3m-2). (4)(x-1)(x2+x+1).
解:6m2-7m+2. 解:x3-1.
2x2-12
-4
-3
多项式乘多项式法则的应用
6.如图,将一张边长为x的正方形纸板沿图中虚线裁剪成三块长方形,下列表示阴影部分的面积错误的是 ( D )
第6题图
A.(x-1)(x-2)
B.x2-3x+2
C.x2-(x-2)-2x
D.x2-3
D
7.已知a2+a=1,则(a-2)(a+3)= -5 .
8.若x+y=2,xy=-1,则(1-2x)(1-2y)的值是 ( A )
A.-7 B.-3 C.1 D.9
9.若n为整数,则代数式(3n+3)(n+3)+3的值一定可以 ( B )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被9整除
-5
A
B
10.新考法如果一个数的平方等于-1,记为i2=-1,i叫作虚数单位.含i的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.如:(4+i)+(6-2i)=(4+6)+(1-2)i=10-i;(2-i)(3+i)=2×3+2i-3i-i2=6-i-(-1)=7-i.
根据以上信息,计算(3+i)(1-3i)= 6-8i .
6-8i
11.(2025·台州期末)观察下列两位数相乘的运算规律:
11×41=1×4×100+(1+4)×10+1=451;
21×51=2×5×100+(2+5)×10+1=1 071;
71×91=7×9×100+(7+9)×10+1=6 461;
……
设其中一个两位数的十位上的数字为a,另一个两位数的十位上的数字为b(a,b均为小于10的正整数).
(1)请用含a,b的等式表示上述运算规律:
(10a+1)(10b+1)=100ab+10(a+b)+1 .
(2)请证明上述运算规律.
解:(2)(10a+1)(10b+1)=100ab+10a+10b+1=100ab+10(a+b)+1,
故等式的左边等于等式的右边,
即(10a+1)(10b+1)=100ab+10(a+b)+1,
∴此等式成立.
(10a+1)(10b+1)=100ab+10(a+b)+1
12.(2024·永州期中)有甲、乙两个长方形纸片,边长如图所示(m>0),面积分别记为S甲和S乙.
第12题图
(1)①计算:S甲= m2+12m+32 ;
S乙= m2+13m+42 ;
②填空:S甲 < S乙(选填“>”“<”或“=”).
(2)若一个正方形纸片的周长与甲长方形纸片的周长相等,面积为S正.
①该正方形的边长是 m+6 (用含m的代数式表示);
m2+12m+32
m2+13m+42
<
m+6
②小方同学发现:S正与S甲的差与m无关.请判断小方的发现是否正确,并通过计算说明你的理由.
解:(2)②正确.理由如下:
∵S正=(m+6)2=m2+12m+36,
S甲=(m+4)(m+8)=m2+12m+32,
∴S正-S甲=(m2+12m+36)-(m2+12m+32)=4.
∵S正与S甲的差是4,
∴S正与S甲的差与m无关,小方的发现正确.
第4课时 整式的除法
同底数幂的除法
1.计算a8÷a2的结果是 ( B )
A.a4 B.a6 C.a10 D.a16
2.下列各式的计算中正确的是 ( C )
A.a4÷(-a)2=-a2 B.a3÷a3=0
C.(-a)4÷(-a)2=a2 D.-a6÷a2=-a3
3.若xm÷x2n+1=x,则m与n的关系是 m-2n=2 .
B
C
m-2n=2
4.计算:
(1)(a10÷a2)÷a3. (2)x2m+2÷xm+2.
解: a5. 解: xm.
(3)x6÷x2·x.
解: x5.
a0=1(a≠0)
5.计算-10,下列结果中正确的是 ( A )
A.-10=-1 B.-10=0
C.-10=1 D.-10无意义
6.填空:
(1)30= 1 .
(2)(-2)0= 1 .
(3)(π-3)0= 1 .
(4)(a-5)0= 1 (a≠5).
A
1
1
1
1
单项式相除,多项式除以单项式
7.计算4a·3a2b÷2ab的结果是 ( C )
A.6a B.6ab C.6a2 D.6a2b2
8.计算(-4a2+12a3b)÷(-4a2)的结果是 ( A )
A.1-3ab B.-3ab C.1+3ab D.-1-3ab
9.计算:
(1)-21a2b3c÷3ab= -7ab2c .
(2)(-ab)2÷a2b= b .
(3)(5x5-3x2)÷(-x)2= 5x3-3 .
C
A
-7ab2c
b
5x3-3
10.一个等边三角形框架的面积是4a2-2a2b+ab2,一边上的高为2a,则该三角形框架的周长为 12a-6ab+3b2 .
12a-6ab+3b2
11.计算:
(1)-21x2y4÷(-3x2y3).
解:7y.
(2)9a4b6c8÷-a2b4.
解:-27a2b2c8.
(3)(4x3y-6x2y2)÷2xy.
解:2x2-3xy.
(4)(27x3-18x2+3x)÷(-3x).
解:-9x2+6x-1.
12.若ax÷an+1(x,n是正整数)的计算结果是a,则x的值为 ( C )
A.3-n B.n+1
C.n+2 D.n+3
13.如图,图1的瓶子中盛满了水,如果将这个瓶子中的水全部倒入图2杯子中,那么一共需要的图2杯子的个数为 ( A )
第13题图
A.h+2H B.h+H
C.h+2H D.h+H
C
A
14.若x满足(x-2=1,则整数x的值为 -1或3或1 .
15.已知10m=50,10n=0.5.
(1)求m-n的值.
(2)求9m÷32n的值.
解:(1)∵10m=50,10n=0.5,
∴10m÷10n=50÷0.5=100,
∴10m-n=100=102,
∴m-n=2.
(2)9m÷32n=9m÷9n=9m-n=92=81.
-1或3或1
16.李老师给学生出了一道题:当x=2 024,y=2 025时,求[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y的值.题目出完后,小明说:“老师给的条件y=2 025是多余的.”小颖说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说得有道理 为什么
解:小明说得有道理.理由如下:
原式=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y=x3y÷x2y=x.
∵最后的化简结果不含y,
∴最后的结果与y的值无关,
∴小明说得有道理.
17.(2025·汕头期末)如图1,在边长为3a+2b的大正方形纸片中,剪掉边长为2a+b的小正方形,得到图2.把图2中阴影部分剪下,按照图3拼成一个长方形纸片.
第17题图
(1)用含a,b的式子表示拼成的图3长方形纸片的长和宽.
(2)图3长方形纸片的面积加上10a+6b后,就和另一个新的长方形的面积相等.已知这个新长方形的长为5a+3b,求新长方形的宽.
解:(1)长方形的长为3a+2b+2a+b=5a+3b,
长方形的宽为(3a+2b)-(2a+b)=3a+2b-2a-b=a+b.
(2)由题意,得[(5a+3b)(a+b)+10a+6b]÷(5a+3b)
=[(5a+3b)(a+b)+2(5a+3b)]÷(5a+3b)
=a+b+2.
答:新长方形的宽为a+b+2.
18.核心素养·创新意识两个多项式相除,可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列,然后再仿照两个多位数相除的计算方法,用竖式进行计算.例如:(7x+2+6x2)÷(2x+1),仿照672÷21计算如下:
因此(7x+2+6x2)÷(2x+1)=3x+2.
阅读上述材料后,试判断x3-x2-5x-3能否被x+1 整除,并说明理由.
解:x3-x2-5x-3能被x+1整除,理由如下:
阶段小测(六)
(测试范围:16.1~16.2 时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1.计算a·a2的结果是 ( C )
A.a B.a2 C.a3 D.a4
2.计算-a6÷a3的结果是 ( A )
A.-a3 B.-a2 C.a3 D.a2
3.(2024·浙江)下列式子运算正确的是 ( D )
A.x3+x2=x5 B.x3·x2=x6
C.(x3)2=x9 D.x6÷x2=x4
C
A
D
4.(2024·河北)若a,b是正整数,且满足8个2a相加等于8个2b相乘,则a与b的关系正确的是 ( A )
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
5.已知(xn+a+xn+b)÷xn+1=x2+x3,其中n是正整数,则a-b的值是( D )
A.-1 B.0
C.1 D.-1或1
A
D
6.如图,在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个,先从甲袋中取出2x个球放入乙袋,再从乙袋中取出(2x+2y)个球放入丙袋,最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋,此时三只袋中球的个数都相同,则2x+y的值为 ( A )
第6题图
A.128 B.64 C.32 D.16
A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
7.若(-2x-1)0=1,则x的取值范围是 x≠- .
8.已知多项式x2+ax-4(a为常数)是两个一次多项式 x+1和x+n(n为常数)相乘得来的,则a= -3 .
9.若(x2-3x+n)的积中不含x和x3项,则m-mn+n= 1 .
10.有一个魔术盒,当将任意数对(a,b)放入其中时,会得到一个新的数3b(a-2).现将数对(m,2)放入其中,得到数n,再将数对(n,m)放入其中,得到的数是 18m2-42m (结果化为最简).
x≠-
-3
1
18m2-42m
三、解答题(本大题共6小题,满分56分)
11.(本题8分)计算:
(1)3y·5y2. (2)24x2y÷(-6xy).
解:原式=15y3. 解:原式=-4x.
(4分) (8分)
12.(本题8分)已知2a=m,32b=n,a,b为正整数,求23a+10b的值.
解:23a+10b=(2a)3(2b)10=(2a)3(32b)2=m3n2.(8分)
13.(本题8分)已知x2-x+1=0,求代数式(x+3)·(x-1)-(x+1)(2x-1)的值.
解:原式=x2+2x-3-2x2+x-2x+1=-x2+x-2.(4分)
当x2-x+1=0,即-x2+x=1时,
原式=1-2=-1.(8分)
14.(本题8分)小明在做一个多项式除以a的题时,由于粗心误认为是乘a,他得到的结果是8a4b-4a3+2a2,你知道正确的结果是多少吗
解:原多项式为(8a4b-4a3+2a2)÷a=16a3b-8a2+4a,(4分)
正确的结果是(16a3b-8a2+4a)÷a=32a2b-16a+8.(8分)
15.(本题10分)探究应用:
(1)计算:(x+1)(x2-x+1)= ;
(2x+y)(4x2-2xy+y2)= .
(2)上面的乘法计算结果很简洁,用含a,b的式子表示你发现的规律,并说明理由.
(3)下列各式能用(2)中的式子计算的是
(填选项).
A.(m+2)(m2+2m+4)
B.(m+2n)(m2-2mn+2n2)
C.(3+n)(9-3n+n2)
D.(m+n)(m2-2mn+n2)
解:(1)(x+1)(x2-x+1)=x3+1;
(2x+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3.
故答案为x3+1;8x3+y3.(4分)
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.理由如下:
∵(a+b)(a2-ab+b2)
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
=a3+b3,
∴(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3成立.(8分)
(3)由(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3可知,选项C正确.故选C.(10分)
16.(本题14分)(2025·抚州期中)如图,某城市广场是一个长方形,长为(4a+3b)m,宽为(3a+4b)m.为了丰富市民文化生活,政府计划在中间区域建一个长方形的音乐喷泉池(图中阴影部分),音乐喷泉池的四周为市民活动区域,宽度分别为a m,b m(如图所示).
第16题图
(1)求音乐喷泉池的占地面积(用含a,b的式子表示).
(2)若a,b满足(a-3)2+|b-2|=0,求该广场音乐喷泉的面积S.
(3)在(2)的条件下,音乐喷泉池建成后,需给市民活动区域铺上地砖.若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为80元,求市民活动区域铺设地砖的费用.
解:(1)由题可得音乐喷泉池的占地面积为
(4a+3b-2a)(3a+4b-2b)=(2a+3b)(3a+2b)=6a2+13ab+6b2(m2).(4分)
(2)∵(a-3)2+|b-2|=0,
∴a-3=0,b-2=0,(6分)
解得a=3,b=2,
∴S=6a2+13ab+6b2=6×32+13×3×2+6×22=54+78+24=156(m2).(8分)
(3)由题可得市民活动区域的面积为
(4a+3b)(3a+4b)-(6a2+13ab+6b2)
=12a2+25ab+12b2-6a2-13ab-6b2
=6a2+12ab+6b2(m2).(10分)
∵市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为80元,
∴80×(6a2+12ab+6b2)=480a2+960ab+480b2.
当a=3,b=2时,
480a2+960ab+480b2=480×32+960×3×2+480×22=12 000(元).
答:市民活动区域铺设地砖的费用为12 000元.(4分)(共19张PPT)
第十六章 整式的乘法
16.1 幂的运算
16.1.1 同底数幂的乘法
正用同底数幂的乘法法则
1.计算(-x)2·(-x3)的结果是 ( C )
A.x6 B.-x6 C.-x5 D.x5
2.已知2m·2m=218,则m的值是 ( D )
A.3 B.4 C.8 D.9
3.下列计算中正确的是 ( B )
A.a2·a3=a6 B.y7·y=y8
C.b3·b3=2b3 D.x5+x5=x10
C
D
B
4.人教版教材P99例1改编填空:
(1)a3·a2= a5 .
(2)106×103= 109 .
(3)(-p)2·(-p)6= p8 .
(4)(x+y)3·(x+y)5= (x+y)8 .
5.计算:
(1)x·x5+x2·x4.
解:x·x5+x2·x4=x1+5+x2+4=x6+x6=2x6.
(2)××.
解:××===.
a5
109
p8
(x+y)8
逆用同底数幂的乘法法则
6.若am=2,an=8,则am+n= 16 .
7.若3m=6,3m+n=48,则32n= 64 .
8.若整数x满足2x·2x·2x=8,则x的值为 ( A )
A.1 B.2 C.3 D.6
9.若3a=2,3b=5,则3a+b+1的值为 ( A )
A.30 B.10 C.6 D.38
10.下列算式中,结果等于a6的有 ( B )
①a4+a2;②a4·a2;③a2·a3;④a2·a2·a2;
⑤a2+a2+a2;⑥a6+a6.
16
64
A
A
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.若10x=a,10x+y+2=100ab,则10y= b .
12.已知2a=3,2b=5,2c=30,求a,b,c之间的关系.
解:由题意,得2a·2b=15,∴2·2a·2b=30,
∴2a+b+1=2c,∴a+b+1=c.
b
13.新考法阅读材料:如果ac=b,那么c为a,b的“关联数”,记为c=L(a,b).例如32=9,则有2=L(3,9).
(1)若L(-3,x)=3,L(y,-8)=3,求x+y的值.
(2)若a=L(m,4),b=L(m,5),c=L(m,20),其中m≠0,请证明:c-b=a.
解:(1)∵L(-3,x)=3,L(y,-8)=3,
∴(-3)3=x,y3=-8,
∴x=-27,y=-2,
∴x+y=-27-2=-29.
(2)证明:∵a=L(m,4),b=L(m,5),c=L(m,20),
∴ma=4,mb=5,mc=20.
∵4×5=20,
∴ma·mb=mc,即ma+b=mc,
∴a+b=c,即c-b=a.
16.1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
正用幂的乘方法则
1.若k为正整数,则(k3)2表示 ( C )
A.2个k3相加 B.3个k2相加
C.2个k3相乘 D.5个k相乘
2.下列算式:①am·a2=a2m(m是正整数);②(a3)2=a5;③(-x2)3=x6;④(-a3)2·a4=a10.其中正确的有 ( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
A
3.填空:
(1)(am)2= a2m .
(2)(x3)2n= x6n .
(3)[(x-y)2]4= (x-y)8 .
4.计算:
(1)(-a2)·(a4)2.
解:(1)原式=-a10.
(2)(a2)4+a·a7.
(2)原式=2a8.
a2m
x6n
(x-y)8
逆用幂的乘方法则
5.若10a=5,则102a的值是 ( A )
A.25 B.50 C.250 D.500
6.填空:a48=( a8 )6=( a4 )12=( a6 )8.
7.已知10m=3,10n=2.求103m,102n,103m+2n的值.
解:103m=27,102n=4,103m+2n=108.
8.x20不可以写成 ( C )
A.(x4)5 B.(x2)10 C.(x10)10 D.(x5)4
9.已知25x=a,5y=b,125z=ab,那么x,y,z满足的等量关系是 ( C )
A.2x+y=z B.xy=3z
C.2x+y=3z D.2xy=z
A
a8
a4
a6
C
C
10.已知2x+3y-3=0,则4x·8y= 8 .
11.已知xm·xn·x4=(x2)8,当n=6时,m= 6 .
8
6
12.求值:
(1)已知2x+5y+3=0,求4x·32y的值.
(2)已知-3x=54,求x的值.
解:(1)∵2x+5y+3=0,∴2x+5y=-3,
∴4x·32y=(22)x·(25)y==
=2-3=.
(2)∵-3x=54,
∴3·3x-3x=54,∴2·3x=54,
∴3x=27,∴x=3.
13.新考法阅读材料:
若a3=2,b5=3,则a,b的大小关系是a > b.(选填“>”或“<”)
解答下列问题:
(1)上述求解的过程中,逆用了哪一条幂的运算性质
(2)已知x5=5,y6=6,试比较x与y的大小.
解:(1)幂的乘方.
(2)∵x30=(x5)6=56=15 625,y30=(y6)5=65=7 776,∴x>y.
>
第2课时 积的乘方
正用积的乘方法则
1.计算的结果是 ( D )
A.2a5 B.6a5 C.8a5 D.8a6
2.计算:
(1)a3= a3 .
(2)(-2x3)3= -8x9 .
(3)-n32= n6 .
D
a3
-8x9
n6
3.计算:
(1)(2x2yz)3.
解:(1)原式=8x6y3z3.
(2)(-3x3y4)3.
(2)原式=-27x9y12.
逆用积的乘方法则
4.计算(-3)24×24的结果是 ( B )
A.-1 B.1 C.- D.
5.若(ambn)2=a8b6,则m,n的值分别是 ( C )
A.1,2 B.2,3 C.4,3 D.3,5
6.已知|a-2|+b+2=0,则a2 024·b2 025= - .
B
C
-
7.计算:
(1)20×20.
解:(1)原式=1.
(2)100×1650.
(2)原式=1.
8.若m=36,n=43,则1224的值为(用含m,n的式子表示) ( D )
A.mn B.m18n21 C.m2n4 D.m4n8
9.计算:2 022×(-1.5)2 023×(-1)2 024= - .
10.若=-(a-b)2,则(-2a)2b= -32 .
11.计算:(1)a·a3++(2a)4.
解:(1)原式=a4+a4+16a4=18a4.
(2)a·a5+(-a)3·a3-·a2.
(2)原式=a6+(-a3)·a3-(4a4)·a2=a6-a6-4a6 =-4a6.
D
-
-32
12.(1)若a2n=3,bn=,求(-ab)2n.
(2)已知n为正整数,且x2n=2,求+的值.
解:(1)∵a2n=3,bn=,
∴(-ab)2n=a2n·=3×=.
(2)+=4x6n-x6n=3x6n=3×=3×23=24.
