(共19张PPT)
18.3 分式的加法与减法
第1课时 分式的加减
同分母分式的加减法
1.计算+的结果为 ( C )
A. B. C. D.
2.(2024·甘肃)计算-的结果为 ( A )
A.2 B.2a-b C. D.
C
A
3.化简:
(1)+= x .
(2)-= 1 .
4.计算:
(1)-. (2)-.
解:(1)原式= (2)原式=1.
=.
x
1
(3)- (4)+-.
(3)原式= (4)原式=1.
=
=
=.
异分母分式的加减法
5.计算+的结果是 ( C )
A. B. C. D.a+b
6.(2025·郑州期末)化简-的结果是 ( B )
A.x-2 B.
C. D.x+2
7.若ab=2,a+b=-1,则+= - .
C
B
-
8.计算:
(1)++.
解:(1)原式=.
(2)+.
(2)原式=.
(3)+.
(3)原式=.
(4)+÷-.
(4)原式=.
9.有两条长度相同的路:①一条为平坦的道路;②一条前一半路程为上坡,后一半路程为下坡.已知小明上坡平均速度为x,下坡平均速度为y(x≠y),在平坦道路上的平均速度为,则通过这两条路用时较少的是 ( A )
A.①路 B.②路
C.用时一样 D.无法判断
A
10.跨学科·物理照相机成像应用了一个重要原理,用公式=+(v≠f)表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离.已知f,u,则v可表示为 ( C )
A. B.
C. D.
11.已知非零实数x,y满足-=1,且x≠y,则= - .
C
-
12.计算:
(1)++.
解:(1)原式=.
(2)-+.
(2)原式=.
(3)m-2++.
(3)原式=m-2++
=m-2++
=m-2+=m-2+
=m-2+2=m.
13.计算-x+1时,小明、小亮两位同学的解法如下:
(1)判断:小明、小亮两位同学的解题过程有无错误 若无误,请直接回答问题(2);若有误,则找出最先出错的式子是 ① (填序号).
(2)请任选一种自己喜欢的解法,完成解答.
小明:-x+1 =- ① =- ② 小亮:-x+1
=-+ ③
=-+ ④
①
解:(1)小明:-x+1
=- ①
=-. ②
故最先出错的式子为小明的解题过程中的①.
故答案为①.
(2)选第一种解法,过程如下:
-x+1=-
=-
=-=
=.
第2课时 分式的混合运算
分式的混合运算
1.化简b-÷的结果是 ( B )
A.a+b B.-a-b C.a-b D.-
2.化简-·的结果是 ( B )
A. B.- C.x-y D.y-x
3.若 a2+2a-1=0 ,则代数式a-·的值是 1 .
B
B
1
4.计算:
(1)1-÷.
解:(1)原式=·
=·
=.
(2)·-.
(2)原式=·-.
=-
=1.
(3)-÷.
(3)原式=-·
=-
=.
5.(2025·菏泽期末)计算·的结果为 ( B )
A. B.- C. D.-
6.已知m+n=-3,则分式÷-2n的值是 .
7.先化简,再求值:+÷,其中a=0.
解:原式 =+·
=+
=.
当 a=0时,原式 ==0.
B
8.新考法【观察思考】观察下列等式:
第1个等式:×=;
第2个等式:×=;
第3个等式:×=;
第4个等式:×=;
……
【规律发现】
(1)第5个等式是 ×= .
(2)猜想第n个等式是 ×= (用含n的代数式表示).
×=
×= (共24张PPT)
第十八章 分 式
18.1 分式及其基本性质
18.1.1 从分数到分式
分式的定义
1.下列各式中是分式的是 ( C )
A. B. C. D.
2.代数式:,,,,-,其中分式的个数为 ( C )
A.5 B.4 C.3 D.2
C
C
3.(1)有一捆长度相等,质地均匀的钢筋,总质量为m kg,每根钢筋的质量为n kg,单根钢筋的长度为9 m,则这捆钢筋的总长度是 m.
(2)若李老师骑自行车用了m h到达离家n km的商场,则李老师的平均速度是 km/h;若李老师乘坐公共汽车可少用0.2 h,则公共汽车的平均速度是 km/h.
分式有意义的条件
4.(2025·广州期末)要使分式有意义,x应满足的条件是 ( D )
A.x>3 B.x=3
C.x<3 D.x≠3
5.下列各式中,无论x取何值,分式都有意义的是 ( A )
A. B.
C. D.
6.若分式无意义,则y2= .
D
A
7.下列分式中的字母满足什么条件时,分式有意义.
(1). (2).
解:(1)x≠1. (2)x≠.
(3). (4).
(3)x≠-. (4)x为任意实数.
分式的值
8.当a=1时,分式的值是 2 .
2
9.(2025·新乡期末)已知分式,当x=1时,分式没有意义;当x=6时,分式的值为0,则a2-b2的值为 -7 .
10.若分式的值为0,则x的值为 1 .
11.下列判断中错误的是 ( B )
A.当a≠0时,分式有意义
B.当a=-3时,分式有意义
C.当a=-时,分式的值为0
D.当a=1时,分式的值为1
-7
1
B
12.若x2-6xy+9y2=0,则的值为 ( C )
A. B.- C. D.-
13.若代数式(x-2)0÷有意义,则x的取值范围是 x≠0,x≠1,x≠2 .
C
x≠0,x≠1,x≠2
14.当x取何值时,下列分式有意义.
(1).
解:(1)x≠2且x≠3.
(2).
(2)x≠±2.
(3).
(3)x为任意实数.
(4).
(4)x≠±4.
15.核心素养·运算能力分式的定义告诉我们:“一般情况下,用A,B表示两个整式,A÷B可以表示成的形式.若B中含有字母,则称为分式.”我们还知道:“两数相除,同号得正.”请运用这些知识解决下列问题.
(1)若分式的值是整数,求整数x的值.
(2)若分式的值为正数,求x的取值范围.
解:(1)x=0或x=-2.
(2)x>0或x<-1.
16.新考法阅读材料:解分式不等式<0.
解:根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,因此,原不等式可转化为①或②
解①,无解;解②,得-2
所以原不等式的解集是-2请仿照上述方法解分式不等式≤0.
解:根据实数的除法法则:同号两数相除得正数,异号两数相除得负数,∴原不等式可转化为①或②
解不等组①,得-∴原不等式的解集是-18.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
分式中的符号变化
1.(2025·济宁期末)下列各式成立的是 ( D )
A.= B.=
C.= D.=
2.化简:(1)-= .
(2)= .
D
分式的基本性质
3.如果把分式中的x和y都扩大到原来的4倍,那么分式的值
( B )
A.扩大到原来的2倍
B.扩大到原来的4倍
C.不变
D.缩小到原来的
B
4.根据分式的基本性质,下列各式从左到右的变形中正确的是
( D )
A.= B.=
C.=- D.=-1
5.等式=成立的条件是 x≠2且x≠0 .
D
x≠2且x≠0
6.人教版教材P141例3改编利用分式的基本性质填空.
(1)=(a≠0).
(2)-=-.
(3)=.
7.下列分式中与相等的是 ( D )
A. B. C.- D.
D
8.下列各式中从左到右的变形正确的是 ( D )
A.= B.=
C.-= D.=
9.(2025·泰安期末)已知实数a,b满足-=3,则的值为 -2 .
D
-2
10.新考法定义:如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”.如:==+=1+,==a-1+,则和都是“和谐分式”.
(1)下列各式中,属于“和谐分式”的是 ①③④ (填序号).
①;②;③;④.
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式:= x-2+ .
①③④
x-2+
第2课时 约分和通分
约分
1.下列分式中,为最简分式的是 ( A )
A. B. C. D.
A
2.下列分式约分正确的是 ( D )
A.=a2
B.=
C.=a-b
D.=-2
D
3.约分:
(1)- . (2).
解:(1)-. (2)-.
(3). (4).
(3). (4).
通分
4.把,通分,则= ,= .
5.分式,的最简公分母是 a(a+1)(a-1) ,
通分为 , .
a(a+1)(a-1)
,
6.通分:
(1),-.
解:(1),-.
(2),.
(2),.
7.给出下列分式:,,,,.其中不是最简分式的个数是 ( B )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.若分式的值为正整数,则x= 0 .
9.(2025·北京期末)已知2a-b=3,求代数式的值.
解:∵2a-b=3,
∴=
==.
B
0
10.已知分式和,a是这两个分式中分母的公因式,b是这两个分式的最简公分母,且=3,求x的值.
解:由题意,得a=x-1,b=3(x-1)(x+1).
∵=3,∴=3,解得x=0.(共32张PPT)
18.2 分式的乘法与除法
第1课时 分式的乘除
分式的乘法法则
1.计算·的结果是 ( A )
A.- B.- C.- D.-
2.计算:
(1)·= .
(2)·= y .
A
y
3.计算:
(1)·.
解:(1)原式=.
(2)·(x+1).
(2)原式=.
(3)·.
(3)原式=2x2-4x.
分式的除法法则
4.若M=,N=,则M÷N的值可能为 ( D )
A.0 B. C.1 D.2
5.若代数式m(m+2)=2,则÷的值为 2 .
D
2
6.计算:
(1)÷.
解:(1)原式=.
(2)÷.
(2)原式=.
(3)÷.
(3)原式=.
分式的乘除混合运算
7.计算÷(-3z2)·4xy2的结果是 ( C )
A.- B. C.- D.
8.先化简,再求值:÷4y·,其中x=2,y=3.
解:原式===.
9.计算·的结果是 ( B )
A. B.x C. D.
C
B
10.计算÷·的结果是 ( A )
A. B.
C. D.
A
11.数学文化北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况:人负米六斗,卒自携五日干粮,人食日二升.其大意为在行军过程中,一个民夫可以背负六斗(60 L)米,一个士兵可以自己背5天的干粮(5天的干粮为一斗米,即10 L米),民夫和士兵每人行军一天都会消耗2 L米.在没有其他粮食补充的情况下,若两个士兵雇佣n个民夫随其一同行军,则背负的米最多支持行军 天.(用含n的代数式表示)
12.核心素养·推理能力给定一列分式:,-,,-,…(其中x≠0,y≠0),那么第n个分式是 ,这列分式中第n个分式除以第(n-1)个分式的商是 - .
-
13.计算:
(1)÷
解:(1)原式=÷
=·
=2(x-y)
=2x-2y.
(2)(xy-x2)÷·.
(2)原式=-y.
14.新考法老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则是:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简,过程如图所示:
第14题图
(1)接力过程中,自己负责的一步出现错误的是 ( D )
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
(2)请你书写正确的化简过程,并在“1,0,2,-2”中选择一个合适的数求值.
D
解:(1)∵·=·,·=,
∴出现错误的是乙和丁,
故答案为D.
(2)∵÷=·
=·=·
==,
根据分式有意义的条件可得x≠1且x≠0,即只能从2和-2中选择一个, ①代入x=-2,得出结果为-2.
②代入x=2,得出结果为0.
15.(1)若a>b>0,则 > 1;若a=b,则 = 1;若0”“<”或“=”).
(2)现有甲、乙两筐水果,甲筐水果重(x-2)2 kg,乙筐水果重(x2-4)kg(其中x>2),售完后,两筐水果都卖了50元,哪筐水果的单价低
解:(2)∵÷==1+>1,
∴乙筐水果的单价低.
>
=
<
第2课时 分式的乘方
分式的乘方法则
1.计算的结果正确的是 ( C )
A. B. C. D.
C
2.计算:
(1)m= .
(2)2= .
(3)-3= - .
分式的乘除、乘方混合运算
3.计算·的结果是 ( C )
A. B.- C. D.-
4.计算:·÷= - .
-
C
-
5.计算:
(1)a3·. (2)÷.
解:(1)原式=a. (2)原式=x4y.
(3)÷. (4)·.
(3)原式=. (4)原式=-.
6.计算·÷的结果是 ( A )
A.- B. C.- D.
A
7.计算:
(1)3·2÷4.
解:(1)原式=·÷=·=-.
(2)3·(x2-y2)÷2.
(2)原式=·(x+y)(x-y)·=·=.
8.(2025·石家庄期末)《见微知著》中说到:从一个简单的经典问题出发,从特殊到一般,由简单到复杂;从部分到整体,由低维到高维.知识与方法上的类比是探索发展的重要途径,是发现新问题、新结论的重要方法.
请观察以下等式:
第1个等式:××(1+12)=2;
第2个等式:××(2+22)=2;
第3个等式:××(3+32)=2;
第4个等式:××(4+42)=2;
第5个等式:××(5+52)=2;
……
按照以上规律,回答下列问题:
(1)写出第7个等式: .
(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示),并加以证明.
(3)应用运算规律,计算:××(2 025+2 0252)= 1 .
解:(1)××(7+72)=2
(2)第n个等式可表示为××(n+n2)=2.证明如下:
左边=××n×(n+1)=2=右边,
1
所以此等式成立.
(3)由(2)知,
当n=2 025时,
××(2 025+2 0252)=2,
所以×(2 025+2 0252)=4 050,
则原式=×4 050=1.
故答案为1.
阶段小测(八)
(测试范围:18.1~18.2 时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,满分30分)
1.(2025·新乡期末)下列代数式中,是分式的为 ( D )
A. B.5a C. D.
2.(2025·泰安期末)下列分式中,属于最简分式的是 ( C )
A. B. C. D.
D
C
3.下列各式中与相等的是 ( A )
A. B. C. D.
4.(2025·武汉期末)若分式的值为0,则 ( D )
A.x≠7 B.x=7
C.x=5 D.x=
5.下列计算结果中正确的是 ( B )
A.·=- B.÷(a2-ab)=
C.÷= D.2÷9xy=
A
D
B
6.核心素养·应用意识有一块边长为x m的正方形空地,计划按如图所示的方式去种植草皮(图中阴影部分种植草皮).方式一,在正方形空地上留两条宽为2a m的互相垂直的路;方式二,在正方形空地四周各留一块边长为a m的小正方形空地种植树木.现准备用5 000元购进草皮,下列说法正确的是 ( A )
第6题图
A.用方式一比用方式二种植草皮的单价高,且较高的单价是较低的单价的倍
A
B.用方式一比用方式二种植草皮的单价高,且较高的单价是较低的单价的倍
C.用方式二比用方式一种植草皮的单价高,且较高的单价是较低的单价的倍
D.用方式二比用方式一种植草皮的单价高,且较高的单价是较低的单价的倍
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
7.(2024·长沙)要使分式有意义,则x需满足的条件是 x≠19 .
8.分式与的最简公分母是 6y2 .
9.计算:-2÷·= .
10.人教版教材P151T8改编一块a hm2的试验田需要喷洒农药,若10个人喷洒,要用m天完成;若2架无人机工作,要比10个人喷洒提前5天完成,则一架无人机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
x≠19
6y2
三、解答题(本大题共5小题,满分50分)
11.(本题8分)(2025·廊坊期末)甲、乙两位同学各给出一个算式:
甲:=;乙:=.
(1) 甲 同学给出的算式是正确的.
(2)对于不正确的算式,请你给出正确的计算过程,并直接写出结果为0的条件.
甲
解:(1)甲(3分)
(2)乙:==,
由当结果为0时,分子为0,且分式有意义,
∴x=0且y-x≠0,
即x=0且y≠0时,分式值为0.(8分)
12.(本题8分)计算:
(1)÷×2.
(2)·÷.
解:(1)原式=××2=.(4分)
(2)原式=··
=··
=.(8分)
13.(本题10分)先化简,再求值:·÷,其中x=-2,y=4.
解:原式=··y3(x-y)3
=xy-y2,(6分)
当x=-2,y=4时,
原式=-2×4-42=-8-16=-24.(10分)
14.(本题12分)如图,作业本上有这样一道填空题,其中有一部分被墨水污染了,若该题化简的结果为.
(1)求被墨水污染的部分.
(2)原分式的值能等于吗 为什么
第14题图
解:(1)x-4.(6分)
(2)不能,x=4时除数为0无意义.(12分)
15.(本题12分)阅读下列材料:
∵=-2,∴a=-2b,(第一步)
∴==
=.(第二步)
(1)回答下列问题:第一步运用了 等式 的基本性质.
第二步运用了 代入 的方法,由得是对分式进行了 约分 .
(2)已知==≠0,求的值.
等式
代入
约分
解:(1)等式;代入;约分.(6分)
(2)设===k(k≠0).
∴x=3k≠0,y=4k≠0,z=6k≠0,
∴===.(12分)(共53张PPT)
18.5 分式方程
第1课时 分式方程
分式方程的定义
1.下列关于x的方程中,是分式方程的是 ( D )
A.=1 B.=
C.=3 D.=2
2.下列方程:①x2=1;②-x2=1;③=x;④+3=;⑤=0.其中分式方程有 3 个.
D
3
解分式方程
3.(2024·无锡)分式方程=的解是 ( A )
A.x=1 B.x=-2 C.x= D.x=2
4.把分式方程-=的两边同时乘3(x+2)(x-2),约去分母可得 ( D )
A.6x+3x+6=1 B.6x+3x+6=x2-4
C.6x-3x+6=x2-4 D.6x-3x-6=x2-4
A
D
5.小明解方程-=1的过程如下,他的解答过程从第 步开始出现错误 ( A )
解:去分母,得1-(x-2)=1,①
去括号,得1-x+2=1,②
合并同类项,得-x+3=1,③
移项,得-x=-2,④
系数化为1,得x=2.⑤
A.① B.② C.③ D.④
A
6.若式子-1的值为0,则x= 5 .
7.已知x=-5是分式方程=的解,则m= -2 .
5
-2
8.解方程:
(1)(2025·淄博期中)=+.
解:(1)=+,
=+,
1=3x-1-4,
3x=6,
解得x=2.
检验:当x=2时,2(3x-1)=2×(3×2-1)=10≠0,
∴该分式方程的解为x=2.
(2)(2025·淄博期中)-1=.
(2)-1=,
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,
x2+2x-x2-x+2=3,
解得x=1.
检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=(1-1)×(1+2)=0,
∴该分式方程无解.
(3)=-3.
(3)=-3,
2x-5=3x-3-3(x-2),
解得x=4.
检验:当x=4时,x-2=4-2=2≠0,
∴该分式方程的解为x=4.
9.新考法对于实数a,b,定义一种新运算“ ”为:a b=,这里等式右边是实数运算.
例如:1 3==-,则方程x (-2)=-1的解是 ( B )
A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=7
10.若分式方程=无解,则m的值为 -1 .
11.若关于x的分式方程=-3的解满足2 B
-1
-712.从-2,-1,0,2,5这五个数中,随机抽取一个数记为m,若实数m使关于x的不等式组无解,且使关于x的分式方程+=-1有非负整数解,求所有满足条件的m的值.
解:将不等式组整理,得
由不等式组无解,得m+2≥-2m-1,
解得m≥-1,即m=-1,0,2,5.
将分式方程去分母,得x-m+2=-x+2,
解得x=m,
把m=-1代入,得x=-,不符合题意;
把m=0代入,得x=0,符合题意;
把m=2代入,得x=1,符合题意;
把m=5代入,得x=2.5,不符合题意.
综上所述,所有满足条件的m的值为0和2.
13.核心素养·运算能力阅读下列材料:
方程-=-的解为x=1;
方程-=-的解为x=2;
方程-=-的解为x=3;
……
(1)根据上述规律,可知解为x=5的方程为 .
(2)通过解(1)问中分式方程说明你写的方程是正确的.
解:(1)-=-
(2)方程可变形为=,
即-=-,
所以(x-3)(x-4)=(x-6)(x-7),
解得x=5.
检验:当x=5时,(x-3)(x-4)(x-6)(x-7)≠0,
所以原分式方程的解为x=5.
第2课时 分式方程的应用
依题意列分式方程
1.新情境某校同学去春游,包了一辆面包车,现价是180元,出发时又增加2名同学,结果每位同学比原来少分摊了3元车费.设实际参加春游的同学共有x人,则所列方程为 ( C )
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
C
2.新考法“某学校改造过程中整修门口3 000 m的道路,但是在实际施工时,……,求实际每天整修道路多少米 ”在这个题目中,若设实际每天整修道路x m,可得方程-=15,则题目中用“……”表示的条件应是 ( B )
A.每天比原计划多修10 m,结果延期15天完成
B.每天比原计划多修10 m,结果提前15天完成
C.每天比原计划少修10 m,结果延期15天完成
D.每天比原计划少修10 m,结果提前15天完成
B
3.甲、乙两地相距1 000 km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用3 h,已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍.设特快列车的平均速度为x km/h,根据题意可列方程为 -3= .
-3=
分式方程的应用
4.一个分数的分母比它的分子大5,若这个分数的分子加上14,分母减去1,得到的分数正好是原分数的倒数,则原分数是 ( C )
A. B. C. D.
5.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺流航行120 km所用的时间,与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相同,则江水的流速为 10 km/h.
C
10
6.新情境班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动,基地离学校有90 km,出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶,一小时后以原来速度的1.5倍匀速行驶,并比原计划提前20 min到达基地,请问大巴车原计划的行驶速度是多少
解:设原计划的行驶速度为x km/h,则提速后的速度为1.5x km/h.
依题意,得-=,
解得x=45,
经检验,x=45是原方程的解,且符合题意.
答:大巴车原计划的行驶速度是45 km/h.
7.某市调整居民用水价格,每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元,今年1月的水费是30元.已知小丽家今年1月的用水量比去年12月的用水量多5 m3,求该市今年居民用水的价格.设去年居民用水价格为x元/立方米,根据题意列方程正确的是 ( A )
A.-=5 B.-=5
C.-=5 D.-=5
A
8.新情境步行是人们最喜爱的健身方法之一,通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗.对比手机数据发现:小琼步行13 500步与小刚步行9 000步消耗的能量相同.若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步,则小刚每消耗1千卡能量需要行走 30 步.
30
9.新考法(2025·石家庄期末)为了让学生切身体会城市之美来之不易,特设了种草实践活动.活动中1,2两班需各种植36 m2的草地,已知2班每小时比1班多种植6 m2的草地,1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的1.5倍,求1,2两班每小时各种植多少平方米的草地.
(1)根据题意,小聪和小慧分别列出如下方程,请将画横线的部分补充完整.
小聪:设1班每小时种植x m2的草地,
所列方程为=1.5× ;
小慧:设 ,
所列方程为-= .
(2)任选其中一种方法求出1,2两班每小时各种植多少平方米的草地.
解:(1)小聪:设1班每小时种植x m2的草地,则2班每小时种植(x+6)m2的草地,所列方程为=1.5×;
小慧:设2班所用时间为y h,则1班所用时间为1.5y h,所列方程为-=6.
(2)小聪:设1班每小时种植x m2的草地,则2班每小时种植(x+6)m2的草地.
根据题意,得=1.5×,解得x=12,
经检验x=12是原方程的解,∴x+6=18.
答:1班每小时种植12 m2的草地,2班每小时种植18 m2的草地;
小慧:设2班所用时间为y h,则1班所用时间为1.5y h.
根据题意,得-=6,解得y=2,
经检验y=2是原方程的解,
∴=18,18-6=12(m2).
答:1班每小时种植12 m2的草地,2班每小时种植18 m2的草地.
10.新情境金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车,如图所示.
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
燃油车
油箱容积:40升
油价:9元/升
续航里程:a千米
每千米行驶费用:元
电池电量:60千瓦时
电价:0.6元/千瓦时
续航里程:a千米
每千米行驶费用: 元
解:(1)新能源车的每千米行驶费用为
=元,
答:新能源车的每千米行驶费用为元.
(2)①由题意,得-=0.54,
解得a=600,
检验:当a=600时,a≠0,所以原方程的解为a=600,
则==0.6,==0.06,
答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元.
②设每年行驶里程为x km时,买新能源车的年费用更低.
由题意,得0.6x+4 800>0.06x+7 500,
解得x>5 000,
答:每年行驶里程超过5 000千米时,买新能源车的年费用更低.
阶段小测(九)
(测试范围:18.3~18.5 时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)
1.下列方程中,不是分式方程的是 ( A )
A.= B.x+=2
C.-5x= D.=7
A
2.斑叶兰是国家二级保护植物,它的一粒种子重约0.000 000 53 g,将0.000 000 53用科学记数法表示为 ( B )
A.5.3×107 B.5.3×10-7
C.0.53×10-6 D.5.3×10-6
3.计算(ab-2)3的结果是 ( D )
A.ab5 B.ab6 C.a3b5 D.
4.分式-化简后的结果为 ( A )
A. B. C.- D.-
B
D
A
5.数学文化《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文:一份文件,若用慢马送到800 km远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少2天,已知快马的速度是慢马的倍,求规定时间.设规定时间为x天,则下列分式方程正确的是 ( A )
A.=× B.=×
C.=× D.=×
A
6.已知a,b为实数,且ab=1,a≠1,设M=+,N=+,则M,N的大小关系是 ( B )
A.M>N B.M=N
C.M B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
7.(2024·西宁)计算-的结果是 .
8.要使与的值相等,则x= 6 .
9.已知甲、乙两地相距skm,汽车从甲地到乙地以v km/h的速度行驶,可按时到达.若每小时多行驶akm,则汽车可提前 h到达.
6
10.若关于x的不等式组无解,且关于y的分式方程-=1有非负数解,则符合条件的所有整数m的和为 16 .
16
三、解答题(本大题共5小题,满分56分)
11.(本题10分)解分式方程:
(1)=.
解:(1)无解.(5分)
(2)(2024·西宁)=-1.
(2)2x=3-2x+2,
解得x=,
经检验,x=是分式方程的解.(10分)
12.(本题10分)计算:
(1)(3.14-π)0+--2.
解:(1)原式=10.(5分)
(2)(-2)2-(π-3)0+-1.
(2)原式=4-1+3
=6.(10分)
13.(本题10分)化简:÷+.
解:÷+
=÷+
=×+(5分)
=+
=
=1.(10分)
14.(本题12分)先化简,再求值:-÷,其中a2-a-1=0.
解:原式=·=·=.(8分)
∵a2-a-1=0,∴a2=a+1,
∴原式==1.(12分)
15.(本题14分)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐.甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30 km的B地,已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.
(1)若乙先骑行2 km,甲才开始从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度.
(2)若乙先骑行20 min,甲才开始从A地出发,则甲、乙恰好同时到达B地,求甲骑行的速度.
解:(1)设乙的速度为x km/h,则甲的速度为1.2x km/h.
由题意,得0.5×1.2x=0.5x+2,解得x=20,
则1.2x=24.
答:甲骑行的速度为24 km/h.(7分)
(2)设乙的速度为x km/h,则甲的速度为1.2x km/h.
由题意,得-=,解得x=15,
检验:当x=15时,1.2x≠0,所以原方程的解为x=15,
则1.2x=18,
答:甲骑行的速度为18 km/h.(14分)
★单元核心考点归纳
分式基本性质
1.(2025·福州期末)下列式子从左到右的变形,正确的是 ( C )
A.= B.=
C.= D.=
8类运算
C
运算1 零指数幂和负整数指数幂
2.计算:
(1)÷(-2)2×(-2)-2.
解:(1)÷(-2)2×(-2)-2
=-8÷4×
=-8××=-.
(2)(-1)2 025+(π+3.14)0+.
(2)(-1)2 025+(π+3.14)0+
=-1+1+9
=9.
运算2 约分
3.约分:
(1). (2).
解:. 解:.
运算3 通分
4.通分:
(1),. (2),.
解:,. 解:,.
运算4 分式的乘除
5.计算:
(1)·. (2)÷.
解:2x2+6x. 解:.
运算5 分式的加减
6.计算:
(1)+. (2)-.
解:. 解:-.
运算6 分式的混合运算
7.计算:
(1)1-÷.
解:原式=-÷
=·
=.
(2)+·.
解:原式=·
=·
=2.
运算7 分式化简求值
8.化简÷,并从-2≤x≤2的范围内选取一个合适的x的整数值代入求值.
解:÷=÷=.
∵x≠±2,x≠1,且-2≤x≤2,
∴当x=0时,原式==-;
当x=-1时,原式==-2.(选择一个x的值代入作答即可)
运算8 解分式方程
9.解方程:
(1)=. (2)-=.
解:(1)x=-4. (2)x=-2.
分式方程的实际应用
10.新情境第9届哈尔滨亚洲冬运会于2025年2月8日至2月14日举行,冬运会期间其吉祥物“滨滨和妮妮”系列产品热卖.某商店计划购进A,B两款型号的吉祥物.已知用3 600元购进A型号吉祥物的数量比用4 000元购进B型号吉祥物的数量多20套,且B型号吉祥物的单价是A型号吉祥物的单价的倍.
(1)分别求A,B型号吉祥物每套的价格.
解:(1)设A型号吉祥物的单价为x元,则B型号吉祥物的单价为x元.
根据题意,得-20=,解得x=60.
经检验,x=60是原分式方程的解且符合题意.
∴x=×60=100.
答:A型号吉祥物每套的价格为60元,则B型号吉祥物每套的价格为100元.
(2)经市场调研,A型号吉祥物每套零售价为80元,B型号吉祥物每套零售价为150元.该商家决定购进A,B两种型号吉祥物共200套,若要使这批吉祥物按零售价全部售完后的利润不低于8 500元,求A型号吉祥物最多购进多少套.
(2)设A型号吉祥物购进y套,则B型号吉祥物购进(200-y)套.
根据题意,得(80-60)y+(150-100)(200-y)≥8 500,解得y≤50,
∴y的最大值为50.
答:A型号吉祥物最多购进50套.
11.某单位为美化环境,计划对面积为1200 m2的区域进行绿化,现安排甲、乙两个工程队来完成.已知甲队每天能完成的绿化面积是乙队每天能完成的绿化面积的1.5倍,并且在独立完成面积为360 m2区域的绿化时,甲队比乙队少用3天.
(1)甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少平方米
(2)若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元,付给乙队的费用为500元,要使这次的绿化总费用不超过14500元,至少安排甲队工作多少天
解:(1)设乙工程队每天能完成的绿化面积是x m2,则甲工程队每天能完成的绿化面积是1.5x m2.
由题意,得-=3,解得x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意,∴1.5x=60.
答:甲工程队每天能完成的绿化面积是60 m2,乙工程队每天能完成的绿化面积是40 m2.
(2)设安排甲队工作m天,则需安排乙队工作天.
依题意,得700m+500×≤14500,
解得m≥10.
答:至少应安排甲队工作10天.(共14张PPT)
18.4 整数指数幂
第1课时 整数指数幂
负整数指数幂
1.计算(-2)-4的结果是 ( B )
A.- B. C.8 D.16
2.若(x-2 025)0=1成立,则x的取值范围是 ( D )
A.x=-2 025 B.x=2 025
C.x≠-2 025 D.x≠2 025
3.下列计算中正确的是 ( C )
A.=0
B
D
C
B.2a-2=
C.a-1÷a-3=a2
D.=-
整数指数幂的运算
4.计算:
(1)(-3)2--1= 7 .
(2)0×4-2×24= 1 .
7
1
5.计算的结果是 ( B )
A.a5 B.a-6 C.a8 D.a6
6.计算并将结果化为只含正整数指数幂的形式:
(1). (2).
解:(1)原式=. (2)原式=.
(3). (4)(a-1b2c-3)3.
(3)原式=. (4)原式=a-3b6c-9
=.
B
7.计算a-2b2·(a2b-2)-2的正确结果是 ( B )
A. B.
C.a6b6 D.
8.我们知道:21=2;22=4;……;210=1 024,那么2-30最接近的数为
( B )
A.10-10 B.10-9
C.10-8 D.10-7
B
B
9.计算:
(1)3a-2b·2ab-2.
解:(1)3a-2b·2ab-2=6a-1b-1=.
(2)x4y·(x-2y)-3÷.
(2)x4y·(x-2y)-3÷
=x4y·(x6y-3)·y2
=x10.
(3)4xy2z÷(-2x-2yz-1).
(3)4xy2z÷(-2x-2yz-1)
=-2x3yz2.
(4)(2xy-1)2·xy÷(-2x-2y).
(4)(2xy-1)2·xy÷(-2x-2y)
=4x2y-2·xy÷(-2x-2y)
=4x3y-1÷(-2x-2y)
=-2x5y-2
=-.
第2课时 用科学记数法表示小于1的正数
用科学记数法表示小于1的正数
1.(2024·广东)2024年6月6日,嫦娥六号在距离地球约384 000千米外上演“太空牵手”,完成月球轨道的交会对接.数据384 000用科学记数法表示为 ( B )
A.3.84×104 B.3.84×105
C.3.84×106 D.38.4×105
B
2.新情境芝麻被称为“八谷之冠”,是世界上最古老的油料作物之一.据测算,一粒芝麻的质量约为0.000 002 01 kg,将0.000 002 01用科学记数法表示为 ( C )
A.0.201×10-5 B.2.01×10-5
C.2.01×10-6 D.201×10-8
3.近年来我国芯片技术迅猛发展,麒麟系列芯片突破封锁,采用先进的7纳米工艺.7纳米=0.000 007毫米,将数据0.000 007用科学记数法表示为 7×10-6 .
C
7×10-6
4.下列是用科学记数法表示的数,用小数把它们表示出来:
(1)3.35×10-5= 0.000 033 5 .
(2)8.2×10-4= 0.000 82 .
5.若用科学记数法表示为a×10-7,则m的值是 6 .
0.000 033 5
0.000 82
6
6.把下列各数用小数表示.
(1)2×10-4.
解:(1)原式=0.000 2.
(2)0.25×10-3.
(2)原式=0.000 25.
(3)25.1×10-5.
(3)原式=0.000 251.
7.跨学科·生物学某种植物花粉的质量约为0.000037 mg.已知1 g=1000 mg,则0.000037 mg可以用科学记数法表示为 ( D )
A.3.7×10-5 g B.3.7×10-6 g
C.3.7×10-7 g D.3.7×10-8 g
8.一个正方体的棱长为3×10-2 m,则这个正方体的体积为( C )
A.27×10-6 m3 B.9×10-6 m3
C.2.7×10-5 m3 D.2.7×10-6 m3
D
C
9.用四舍五入法按要求对下面的数取近似值,并将结果用科学记数法表示.
(1)-0.02009(精确到万分位)≈ -2.01×10-2 .
(2)0.01547(精确到千分位)≈ 1.5×10-2 .
10.计算:
(1)(3×10-4)×(5×10-3).
解:(1)原式=1.5×10-6.
(2)÷.
(2)原式=6.75×10-5.
-2.01×10-2
1.5×10-2
11.新情境雷达可用于飞机导航,也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发射电磁波,电磁波遇到飞机后反射,又被雷达接收,这个过程共用了0.000 052 4 s,已知电磁波的传播速度为3×105 km/s,求该时刻飞机与雷达间的距离.
解:0.000 052 4=5.24×10-5,
5.24×10-5÷2×3×105=7.86(km).
答:该时刻飞机与雷达间的距离为7.86 km.