2.2.1 函数的单调性 同步练习 （含答案解析）

2.2.1
函数的单调性
同步练习
一
选择题：
1．函数的单调递减区间是
（
）
A．；
B。；
C．；
D。
2．在区间上为增函数的是
（
）
A．；
B。；
C．；
D。
3．函数在区间上是增函数，那么a的取值范围是（
）
A．；
B。；
C．；
D。
4．已知函数，则函数在内是
（
）
A．单调递减；
B。单调递增；
C．可能单调递减也可能单调递增；
D。以上都不成立。
5．当时，，则的单调递减区间是
（
）
A．
B。
C．
D。
6．函数
（
）
A．在内单调递增；
B。在内单调递减；
C．在内单调递减，在内单调递增；
D．在内单调递增，在内单调递减。
7．下列条件中，使函数为增函数的条件是（
）
A．；
B。；
C．；
D。
8．若函数的单调递增区间是，则a的范围是（
）
A．a>0;
B.
C．a>1;
D。
9．已知函数在与上递增，在上递减，则常数（
）
A．；
B。；
C．
D。
10已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
填空题：
11．函数的单调递增区间是
。
12．函数的定义域为
；值域为
；单调递增区间为
，
单调递减区间为
。
13．若恰三个单调区间，则的取值范围是
。
14．下列命题中正确的是：
若在内是增函数，则对任何，都应有。
若在内存在，则必为单调函数。
若在内对任何都有，则在内是增函数。
若可导函数在内有，则在内有。
可导的单调函数的导函数仍为单调函数。
三、解答题
：
15．讨论函数在区间上的单调性
16．求下列函数的单调区间.
（1）；
（2）
17．设，证明方程没有正数根。
18．已知，函数在上是一个单调函数：
（1）试问函数在的条件下，在上能否是单调递减函数？请说明理由；
（2）若在区间上是单调递增函数，试求实数的取值范围；
（3）设求证：。
参考答案
选择题
1．A．解析：先求函数定义域，由得又函数时递减，所以函数在时单调递减。
2．B．解析：在上函数为减函数，又函数在时为减函数，函数在时也为减函数，再考察函数，将其变形为，显然当时，此函数是单调递增的。
3．B．解析：因为，所以的图象可以由的图象向左平移2个单位，然后再向上或向下平移个单位而得到，从而函数在区间上是增函数时应该有，故选B。
4．A．解析：，当时，有，所以在区间上是减函数，选A。
5．C．解析：，当且仅当时，取得最小值，所以的单调递减区间是，选C。
6．D．解析：函数的定义域为，所以A、B不可能选。当时，递增，从而递减，故选D。
7．A．解析：，使函数为增函数的条件是，故选A。
8．B．解析：由的解集是
，知，故选B。
9．
D。解析：，令，得。∴。
10.C
．解析：由题意可知
二、填空题
11．。解析：由，设，则。当是减函数，而也是减函数，所以当函数为增函数。
12。
R
，0，即值域为；时，为减函数，而也为减函数，所以为增函数，同理可得时，为减函数。
13．。解析：。若对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾；若，此时恰有三个单调区间，，且单调递减区间为，单调递增区间为。　
14．③。解析：若区间为，当,故①错；
若，区间为，存在，但不单调，故②错；
若，区间为，虽然，但，故④错；
若可导且单调，但却不单调，故⑤错，只有③正确。
15．解析：，∴当
当。所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减。
16．解析：（1）设，则
，∴要考虑的符号，只要考虑的符号。∵当时，，∴的单调递增区间为；同理，当时，，∴的单调递减区间为。
（2）设，则。当时，是减函数，而也是减函数，从而是增函数；当时，是减函数，而
是增函数，从而是减函数。
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
17．解析：设
内单调递增。又∴当。
因此，内恒为正数值，即方程没有正数根。
18．解析：（1）。若在上是单调递减函数，则须即，这样的实数不存在，故在上不可能是单调递减函数。
（2）若在上是单调递增函数，则。由于，故，从而。
（3）由（1）（2）知在上只能是单调递增函数。
若
若
故只有成立。
所以。