2.2.2 函数的奇偶性 同步练习 （含答案解析） (2)

2.2.2 函数的奇偶性 同步练习
一、填空题(每小题5分，共30分)
1、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论：（1）|f(x)|－g(x)是奇函数；②|f(x)|＋g(x)是偶函数；③f(x)－|g(x)|是奇函数；④f(x)＋|g(x)|是偶函数，其中恒成立的是________。
解析 奇偶函数运算性质满足，奇±奇＝奇，奇±偶＝非奇非偶，偶±偶＝偶。
答案 ④
2、已知函数=，则在R上是_______。
解析 根据奇偶性的判定方法，可证得，=。
答案 偶函数
3、若函数f(x)＝＋m为奇函数，则实数m＝________。
解析　由题意，得f(0)＝0，所以＋m＝0，即m＝－1.
答案　－1
4、函数y= -8, 0 是偶函数，则a=_______，b=_______。
a+b,<0
解析 利用函数的奇偶性，求得a+b=- -8，所以a=-1,b=-8
答案 a=-1,b=-8
5、给出四个函数：①f(x)＝x＋；②g(x)＝3x＋3－x；③u(x)＝x3；④v(x)＝sin x，其中满足条件：对任意实数x和任意正数m，有f(－x)＋f(x)＝0及f(x＋m)>f(x)的函数为________。
解析　可知满足条件的函数是奇函数，且在R上单调递增，所以仅u(x)＝x3符合题意．
答案　u(x)＝x3
6、已知函数f(x)＝x2－cos x，x∈，则满足f(x0)>f的x0的取值范围为________。
解析　f′(x)＝2x＋sin x，在区间内f′(x)>0，
∴f(x)在区间内单调递增，此时由f(x0)>f得x0∈，易证f(x)是偶函数，∴x0∈也符合题意。
答案　
二、解答题(每小题15分，共30分)
7、设f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)。
(1)讨论函数g(x)＝xf(x)的奇偶性；
(2)若g(x)是偶函数，解不等式f(x2－2)≤f(x)。
解　(1)a＝1时，f(x)＝ex＋e－x是偶函数，
所以g(x)＝xf(x)是奇函数；
a＝－1时，f(x)＝ex－e－x是奇函数，
所以g(x)＝xf(x)是偶函数。
a≠±1，由f(x)既不是奇函数又不是偶函数，
得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函数。
(2)当g(x)是偶函数时，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的单调递增函数，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x，
即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2。
8、已知函数f(x)是奇函数，且在[－1,1]上是单调增函数，又f(－1)＝－1，则满足f(x)≤t2＋2at＋1对所有的x∈[－1,1]及a∈[－1,1]都成立的t的取值范围是________．
解析　由题意，f(x)max＝f(1)＝－f(－1)＝1，所以t2＋2at＋1≥1，即t2＋2at≥0对a∈[－1,1]恒成立，t＝0时，显然成立；t≥0时，由t≥－2a恒成立，得t≥2；t＜0时，由t≤－2a恒成立，得t≤－2.综上，得t≤－2或t＝0或t≥2.
答案　(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)