2.2.2 函数的奇偶性 学案 (2)

2.2.2 函数的奇偶性 学案
【学习目标】
1. 了解奇函数、偶函数的定义，并能用奇偶性定义判断一些简单函数的奇偶性.
2. 掌握奇函数、偶函数的图象对称关系，并能熟练地利用对称性解决函数的综合问题.
【自主梳理】
1．奇、偶函数的定义
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有_____________，那么函数就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有_____________，那么函数 就叫做奇函数．
思考：用定义法判定函数奇偶性的步骤：
(1) 求函数的___________，判定______是否关于原点对称，若对称，则进行(2)；否则判定函数是____________函数.
(2) 求，若=_______，则是____________；
若=_______，则是____________.
2.奇、偶函数的性质
(1) 奇函数的图象关于_________________对称；
偶函数的图象关于_________________对称．
思考：①归纳判断函数奇偶性的基本方法有哪些？②奇、偶函数的定义域有何特点？
③函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的_______________条件．
④是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？
(2) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性______________，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_____________.
(3) 若奇函数在处有定义，则=________________.
(4) 在公共定义域内(用“奇”“偶”填空).
① 两个奇函数的和是_______函数，两个奇函数的积是_______函数；
② 两个偶函数的和、积都是_______函数；
③ 一个奇函数，一个偶函数的积是_________函数.
3. 课前热身
(1) 下列函数为偶函数的是_________________(填序号).
①；②； ③；④.
(2) (教材习题改编)函数的图象关于______________对称.
(3) 设是定义在上的奇函数，且当时，，则＝_______.
(4) 若为偶函数，则实数＝________．
4.典例例题
1. 已知函数解析式，判定函数奇偶性.
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1) ； (2) ； (3).
思路点拨：判断函数奇偶性的方法——定义法、图象法.
解题反思：
(1)在判断奇偶性的运算中，亦可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
(2)分段函数奇偶性的判断，应分段讨论.要注意依据的范围取相应的解析式化简，也可以利用图象作判断．
2. 利用函数奇偶性、单调性解不等式.
例2(1)若偶函数在区间上单调递增，求满足的取值范围；
(2)已知奇函数的定义域为[－2，2]，且在区间[－2，0]内递减，求满足的实数的取值范围.
思路点拨：(1)方法1——由于偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以由在区上单调性得出在区间上的单调性，且，故可以画草图帮助解决问题.
方法2——因为偶函数满足，所以.
(2)由奇函数的性质可知若函数在区间[－2，0]内递减，则函数在[0，2]单调性确定，从而在[-2,2]内单调性确定.若函数为减函数，且，则.
解题反思：(1) 关于奇偶性、单调性的综合性问题，关键是利用奇偶性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题；定义域优先考虑.
(2) 掌握以下两结论，会给解题带来方便：
①为偶函数；②若奇函数在处有定义，则.
【自主训练】
1. 判断下列函数的奇偶性.
①； ②
③； ④
2. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，=_________________
3. 若函数为奇函数，在(0，+∞)内是增函数，又,则的解集为_____.
4. 已知定义域为(－1，1)的奇函数，在定义域内为减函数，且，求的取值范围.
【学有所得】
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