北师大版八年级数学上册 5.1 认识二元一次方程组 小节复习题 （含解析）

5.1《认识二元一次方程组》小节复习题
【题型1 判断是否是二元一次方程】
1.下列各式中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3.下列方程中：①；②；③；④；⑤．是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
4.下列方程中：①；②；③；④；⑤，是二元一次方程的是（ ）
A．①⑤ B．①② C．①④ D．①②④
【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】
1.若方程是二元一次方程，则 ， ．
2.如果方程是关于x、y的二元一次方程，则 ．
3.已知方程是关于x、y的二元一次方程．则 ．
4.已知关于x，y的方程是二元一次方程，则 ， ．
【题型3 判断是否是二元一次方程的解】
1.下列各组x、y的值中不是二元一次方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各对数是二元一次方程的解的是（　　）
A． B． C． D．
3.方程的解不可能是（ ）
A． B． C． D．
4.下列二元一次方程组的解是的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 写出二元一次方程的正整数解】
1.二元一次方程的正整数解为 ．
2.二元一次方程共有 组正整数解．
3.写出二元一次方程的一个正整数解 ．
4.二元一次方程的所有正整数解为 ．
【题型5 已知二元一次方程的解求参数的值】
1.已知 是关于x，y的二元一次方程的解，则a的值为 ．
2.已知是方程的一个解，那么k的值是 ．
3.若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
4.如果关于x，y的二元一次方程的一组解为，那么m的值为 ．
【题型6 已知二元一次方程的解求代数式的值】
1.已知是关于，的方程的一组解，则 ．
2.已知是方程的解，则代数式的值为 ．
3.若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
4.已知a、b是二元一次方程组的解，则代数式 ．
【题型7 判断是否是二元一次方程组】
1.下列各项中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3.在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4.下列方程组是二元一次方程组的有（　　）
①；②；③；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】
1.下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
2.解为 的方程组可以是（ ）
A． B． C． D．
3.下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知，，是二元一次方程的三个解，，，是二元一次方程的三个解，则二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】
1.把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为， 其“完美值”为．
(1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”；
(2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值．
2.对于二元一次方程（其中a，b是常数，x，y是未知数）当时，x的值称为二元一次方程的“完美值”，例如：当时，二元一次方程化为，其“完美值”为．
(1)求二元一次方程的“完美值”；
(2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值；
(3)是否存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
3.我们规定，关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“友好”方程．例如：方程，其中，，，满足，则方程是“友好”方程，把两个“友好”方程合在一起叫“友好”方程组．根据上述规定，回答下列问题：
(1)判断方程__________“友好”方程（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，求k的值；
(3)若是关于x，y的“友好”方程组的解，求的值．
4.已知关于，的方程组．
(1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________．
(2)若方程组的解满足，求的值；
(3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________．
5．在平面直角坐标系xOy中，点，若，则称点与点互为“神秘点”．例如，点，点，因为，所以点与点互为“神秘点”．
(1)若点的坐标是，且点与点互为“神秘点”，求的值．
(2)若点与“神秘点”互为“神秘点”，若m，n均为正整数，求点的坐标．
6.已知二元一次方程（m，n均为常数，且）．
(1)当时，用x的代数式表示y；
(2)若是该二元一次方程的一个解；
①探索m与n关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与m，n的取值无关，请求出这个解．
参考答案
【题型1 判断是否是二元一次方程】
1.B
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义进行判断即可 ．
【详解】A、，该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误；
B、，该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C、，该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误；
D、，不是方程，故本选项错误．
故选：B．
2.D
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：A．最高次是二次，不是二元一次方程，不符合题意，
B．不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意，
C．含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意，
D．是二元一次方程，符合题意，
故选：D．
3.A
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程．据此逐一判断即可．
【详解】解：方程：②，不是整式方程，不是二元一次方程，
③，未知数的次数不都为，不是二元一次方程，
④，含未知数的项的次数不为，不是二元一次方程，
①；⑤，符合二元一次方程的定义．
故选：A．
4.A
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程，含有两个未知数，且两个未知数的次数都为的整式方程叫二元一次方程，据此逐一判断即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：下列方程：①；②；③；④；⑤，
是二元一次方程的是①；⑤．
故选：A．
【题型2 利用二元一次方程的定义求参数】
1.
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．根据二元一次方程的概列出方程求解即可解答．
【详解】解：根据题意得：，
，
故答案为：，．
2.
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含未知数的项的次数都为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.2
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．
根据二元一次方程的定义，求出m和n的值，代入进行计算即可．
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：2．
4. 9 0
【知识点】二元一次方程的定义
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的关键．根据未知数的次数是1列式求解即可．
【详解】解：∵方程是二元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：9，0．
【题型3 判断是否是二元一次方程的解】
1.D
【知识点】二元一次方程的解
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把各项中与的值代入方程检验即可．
【详解】解：A、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
B、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
C、把代入方程得：左边，右边，左边右边，是方程的解；
D、把代入方程得：左边，右边，左边右边，不是方程的解，
故选：D．
2.A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．将各选项中的数值代入二元一次方程，能使等式成立的即为答案．
【详解】解：A．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
是二元一次方程的解，选项A符合题意；
B．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项B不符合题意；
C．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项C不符合题意；
D．当时，方程左边，方程右边，，
方程左边方程右边，
不是二元一次方程的解，选项D不符合题意．
故选：A．
3.A
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本考查二元一次方程的解（使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．）解题的关键是熟知二元一次方程解的定义．
根据二元一次方程的解逐项判断即可．
【详解】解：A、当，时，，所以不是方程的解；
B、当，时，，所以是方程的解；
C、当，时，，所以是方程的解；
D、当，时，，所以是方程的解；
故选：A．
4.C
【知识点】二元一次方程的解
【知识点】根据二元一次方程组的解的定义，将解逐一代入方程组，能够使两个方程都成立的，即为该方程组的解，即可求得．
根据二元一次方程组的解代入计算即可判断．
【详解】解：将 代入各项中的二元一次方程，
A．，故不符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故符合题意；
D．，故不符合题意；
故选：C．
【题型4 写出二元一次方程的正整数解】
1.，
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程的解，先变形为，然后求出二元一次方程的正整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是正整数，
∴，，
故答案为：，．
2.2
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据x、y都是正整数，确定x的值，进而确定y的值即可，．
【详解】解：∵，
∴，
∵x、y都是正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，（不符合题意，舍去），
∴二元一次方程共有2组正整数解，
故答案为：2．
3.（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，，
∴是方程的一组正整数解；
故答案为：（答案不唯一）．
4.或
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
先用x表示y，再根据x与y为正整数可得x为偶数，从而得到x的取值，即可求得．
【详解】解：根据题意得，，
∵ x和y为正整数，
∴ x为2的倍数，
∴或4，
∴或．
故答案为：或．
【题型5 已知二元一次方程的解求参数的值】
1.
【知识点】二元一次方程的解
【分析】此题主要考查了二元一次方程的解，直接把x，y的值代入进而计算得出答案，正确代入计算是解题关键．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程的解，
∴，
解得：，
故答案为：．
2.1
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入方程进行求解即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴；
故答案为：1．
3.4
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解：是使二元一次方程两边值相等的一对未知数的值；把解代入二元一次方程中，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：因为是二元一次方程的一组解，
所以，
解得：；
故答案为：4．
4.
【知识点】二元一次方程的解
【分析】本题主要考查了二元一次方程解的定义，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出m的值即可．
【详解】解：∵是方程的一组解，
∴，
解得，
故答案为：．
【题型6 已知二元一次方程的解求代数式的值】
1.
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解
【分析】本题考查了二元一次方程的解以及代数式的求值．根据二元一次方程的解的定义得到，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵是关于的方程的一个解，
∴，
∴．
故答案为：．
2.3
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、二元一次方程的解
【分析】本题要求二元一次方程的解及代数式求值，将代入方程，得到，由整体代入，即可解答．
【详解】解：将代入方程，得到，
，
故答案为：3．
3.2024
【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了二元一次方程组的解的运用，根据题意，把解代入计算即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∴，
故答案为：2024 ．
4.
【知识点】二元一次方程的解、运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了二元一次方程组的解和运用平方差公式进行计算．利用平方差公式进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【题型7 判断是否是二元一次方程组】
1.B
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，理解定义中的“共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程”是解答的关键．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意；
B、该方程组是二元一次方程组，符合题意；
C、是二次方程，故不是二元一次方程组，不符合题意；
D、该方程组中含有三个未知数，故不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：B．
2.D
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可．
【详解】解；A、方程组中的一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、含未知数的项的次数有不是1的方程，不是二元一次方程组，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
3.A
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可．
【详解】、是二元一次方程组，共2个，
故选：A．
4.B
【知识点】判断是否是二元一次方程组
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，牢记“①方程组中的两个方程都是整式方程；②方程组中共含有两个未知数；③每个方程都是一次方程”是解题的关键．
利用二元一次方程组的定义，逐一分析四个选项中的方程组，即可得出结论．
【详解】解：①，符合二元一次方程组的定义；
②，符合二元一次方程组的定义；
③，含有三个未知数；
④，符合二元一次方程组的定义；
⑤，方程组中的第一个方程中含未知数的项的次数是二次．
所以是二元一次方程组的有3个．
故选：B．
【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】
1.D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入每个方程组中的每一个方程，看看左右两边是否相等即可．
【详解】解：A.把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
B. 把代入方程组中的方程，左边，右边，左右两边不相等，故本选项不符合题意；
C. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均不相等，故本选项不符合题意；
D. 把代入方程组中的两个方程，左右两边均相等，故本选项符合题意；
故选：D
2.C
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将代入各选项进行排除即可，正确理解二元一次方程组的解得定义是解题的关键．
【详解】解：、将代入可知，，不符合题意；
、将代入可知，，不符合题意；
、将代入可知，，符合题意；
、将代入可知，，不符合题意；
故选：．
3.B
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组的解及其解法，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．解题的关键是熟练的掌握解二元一次方程组的方法． 方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：，
①+②得：，即，
把代入①得：，
则方程组的解为，
故答案选B．
4.D
【知识点】判断是否是二元一次方程组的解、二元一次方程的解
【分析】本题考查了方程的解，理解方程的解的含义是解题的关键．由于的解需要同时满足方程和，因此从方程、的解中找到同时满足这两个方程的解即可．
【详解】解： ，，满足方程，，，满足方程，其中同时满足和，
二元一次方程组的解是．
故选：D．
【题型9 与二元一次方程的定义或解有关的新定义型问题】
1.（1）根据“雅系二元一次方程”的定义，当时的x值称为“完美值”，
∴化为：．
解得：．
即“雅系二元一次方程”的“完美值”是．
（2）根据题意，将代入“雅系二元一次方程”中得，
．
∴．
2.（1）∵有“完美值”，
∴，
解得，
∴二元一次方程的“完美值”为；
（2）∵是二元一次方程的“完美值”，
∴，
解得；
（3）存在n，使得二元一次方程与（n是常数）的“完美值”相同，理由如下：
由，得，
由，得，
∴，
解得，
∴，
∴“完美值”为．
3.（1）解：∵中，
∴方程是友好方程；
故答案为：是；
（2）因为关于x，y的二元一次方程是“友好”方程，所以，
解得，所以k的值是3；
（3）因为方程组是“友好”方程组，
所以，，
所以，，
所以原方程组为，
因为是方程组的解，
所以，①+②得，；
∴的值为3．
4.（1）解：一个正整数解为，
故答案为：
（2）由题知，
解得，
将代入，
解得
（3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，
∴与的取值无关，则，
则
∴
故答案为．
5.（1）根据定义可得，
得；
（2）根据题意得，
化简，得．
均为正整数，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为．
6.（1）解：（1）把代入方程，
∴，
∴；
（2）解：①．理由如下：
把代入方程，得，
解得：；
②由①得，则，
把代入方程，
∴，
∴，
∵该方程有一个解与m，n的取值无关，
∴，
∴，
∴这个解为．