八年级数学上册北师大版 4.4《一次函数的应用》小节复习题（含答案）

4.4《一次函数的应用》小节复习题
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】
1.如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ．
2.如图是一次函数的图象，则方程的解为 ．
3.如图，已知直线，则关于的方程的解为 ．
4.如图，一次函数的图象经过点，则关于的一元一次方程的解为 ．
【题型2 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】
1.若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
2.已知方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为( )
A． B． C． D．
3.若关于x的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
4.若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
【题型3 利用图象法解一元一次方程】
1.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ．
2.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3.一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ．
4.如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是 ．
【题型4 一次函数的应用之分配方案问题】
1.城有肥料200吨，城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往、两乡．从城运往、两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元，从城往、两乡运肥料的费用分别为每吨15元和24元，现在乡需要肥料240吨，乡需要肥料260吨，设城运往乡的肥料量为吨，总运费为元．
(1)写出总运费元与之间的关系式；
(2)怎样调运化肥，可使总运费最少？最少运费是多少
2.“生活即教育，行为即课程”，某校将劳动教育融入立德树人全过程，学校入冬劳动教育实践活动包括花园除草、翻土、修剪树木，以及清理校园周边环境卫生等，学校现要购买劳动工具，学校与农资店店主商量后，店主给出了两种购买方案（如表），且都送货上门．
方案 运费 劳动工具价格
方案一 50元 元/件
方案二 0元 15元/件
若学校购买x件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为元，按方案二购买的付款总金额为元．
(1)请分别写出，与之间的函数关系式；
(2)若学校计划用900元钱购买劳动工具，请你通过计算说明学校选择哪种方案购买的劳动工具较多？
3.某校校长暑假带领该校的“星级学生”去研学旅行，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且全票票价都是元，经过协商，甲旅行社说：“若校长买一张全票，则学生可享受六五折优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内都享受七折优惠．”若设星级学生人数为人，甲旅行社收费为元，乙旅行社收费为元．
(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
(2)若参加研学旅行的学生至人，请就学生人数讨论哪家旅行社更优惠．
4.灯彩（洛阳宫灯）是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下：设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元．
甲商店 乙商店
购买一张会员卡， 享受会员价， 每个灯彩可按标价的七折卖； 不购买会员卡， 每个灯彩可按标价的九折卖．
(1)甲商店一张会员卡的价格为______元；
(2)求的函数表达式；
(3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由．
【题型5 一次函数的应用之最大利润问题】
1.为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进6千克甲种水果和10千克乙种水果共需110元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多3元．
(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
(2)已知甲、乙两种水果的售价分别为7元/千克和11元/千克，若水果店购进这两种水果共200千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的3倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
2.“读万卷书，行万里路”，最美的风景在路上．为了让同学们在实践中增长见识、提高学习兴趣、陶冶情操，某中学组织八年级师生共600人开展研学活动，现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 45 60
租金（元/辆） 800 1200
倘若甲、乙两种客车都需要租用，每位师生都有座位且座位没有剩余，设租x辆甲型客车，租车总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)请你设计一种租车方案，要求费用最省．
3.为扎实推进“百县千镇万村高质量发展工程”，某镇已将区域内特色农产品：水晶梨和鹰嘴桃发展成品牌农业，形成“专业合作+基地+农户”产销一条龙服务的产业经营模式，促进农民增收．甲商场从该镇购买500斤水晶梨和300斤鹰嘴桃共用了4300元，已知水晶梨的单价比鹰嘴桃的单价少1元．
(1)水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是多少元？
(2)若该商场一次性购买这两种水果1200斤，并且在一天内分别以水晶梨每斤8元，鹰嘴桃每斤10元的价格全部售出，经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，若商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，总利润为w元，求w关于n的函数关系式，并求出购买的鹰嘴桃为多少斤时，商场的利润最大，最大利润为多少元．
4.动画片《喜羊羊与灰太狼》正在热播中．某企业获得了生产羊公仔和狼公仔的专利．为了满足市场需求，该企业现在开始生产羊和狼两种类别的公仔，每天共生产450只；两种公仔成本和售价如下表所示，设每天生产羊公仔x只，共获利y元．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)如果该企业每天投入成本不超过10000元，那么每天要获利最多，应生产羊公仔和狼公仔各多少只？
类别 成本（元/只） 售价（元/只）
羊公仔 20 23
狼公仔 30 35
【题型6 一次函数的应用之行程问题】
1.一列城际快车从甲地出发匀速开往乙地，一列货运慢车从乙地出发匀速开往甲地．如图是快、慢两车离乙地的路程与快车行驶时间之间的函数图象．根据图象回答下列问题：
(1)甲、乙两地之间的距离为________．
(2)当时，求慢车离乙地的路程y与x之间的函数关系式．
(3)直接写出在慢车行驶过程中，两车相距时x的值．
2.共享电动车是一种新理念下的交通工具，给我们的出行提供了方便．现有两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．
(1)品牌共享电动车骑行分钟后，每分钟收费________元；
(2)当时，写出的函数关系式为________；
(3)如果小明每天早上需要骑行品牌或品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？可以省多少？
3.随着“体育进公园”提档改造的不断推进，金华沿江绿道成为这座城市的一个超大型“体育场”．在笔直的绿道上，平平和安安分别从相距a千米的甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，已知平平的速度大于安安的速度，两人相遇后，一起聊天停留b分钟后，各自按原速度原方向继续前行，分别到达乙地、甲地后原地休息．两人之间的距离s（千米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图2所示．
(1)根据图象信息，______，______．
(2)求平平和安安的速度．
(3)求线段AB所在直线的函数表达式．
4.小明和小红两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，小时后小红出发．小明和小红距甲地的距离（千米）与小明出发的时间（小时）之间的函数图象如图所示．
(1)小红同学骑自行车的速度为 千米/小时；
(2)当时，求小明距甲地的距离与之间的函数关系式；
(3)当小红到达乙地时，求小明距乙地的距离．
【题型7 一次函数的应用之几何问题】
1.在中，，，，动点从点出发沿着折线运动（含端点），运动速度为每秒2个单位，设运动时间是秒，的长度是，请解答下列问题：
(1)请直接写出与的函数关系式及的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出函数图象，并结合函数的图象，写出该函数的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时，自变量的取值范围．
2.如图1所示，正方形中，，点从点出发，沿折线运动，当它到达点时停止运动，连接，记点运动的路程为，的面积为．
(1)当时，写出与之间的函数解析式______．当时，写出与之间的函数解析式______．
(2)根据自变量的取值范围，在如图2所示的平面直角坐标系中画出点整个运动过程中的函数图象；
(3)请根据函数的图象，写出该函数的一条性质；
(4)请根据函数的图象，直接写出当时的取值范围．
3.如图，在中，，，，动点以每秒的速度从点出发，沿折线方向运动．动点以每秒的速度从点同时出发，沿折线方向运动．当两者相遇时停止运动．设运动时间为，点，的距离为．

(1)请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围．
(2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质．
(3)当点，相距时，求出的值．
4.如图，在长方形中，，、点从出发，沿路线运动，到停止；点的速度为每秒，秒时点改变速度，变为每秒，图是点出发秒后，的面积与秒的关系图象；

(1)当点在上运动时，的面积会_______，点在上运动时，的面积会______，点在上运动时，的面积会________；填“增大”或“减小”或“不变”
(2)根据图提供的信息，求出、及图中的值；
(3)设点离开点的路程为，请写出动点改变速度后与出发后的运动时间秒的关系式．
(4)当点出发后几秒时，的面积是长方形面积的？
参考答案
【题型1 已知直线与坐标轴交点求方程的解】
1.
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解．
【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标，
观察图象知，；
故答案为：．
2.
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一元一次方程的解，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知，直线过点，
∴方程的解为；
故答案为：
3.
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，，
则关于的方程的解为，
故答案为：．
4.
【知识点】已知直线与坐标轴交点求方程的解
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．根据的解就是函数与直线的交点即可得到答案．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
故关于的一元一次方程的解为，
故答案为：．
【题型2 由一元一次方程的解求直线与x轴的交点】
1.C
【分析】根据方程可知当，，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当，，
∴直线的图象一定经过点，
故选：C．
2.D
【分析】关于的一元一次方程的根是，即时，函数值为，所以直线过点，于是得到一次函数的图象与轴交点的坐标．
【详解】解：方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为，
故选：D．
3.C
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据方程可知当时， ，从而可判断直线经过点即可．
【详解】解：由方程的解可知：当时，，即当时，，
直线一定经过点，
故选：C．
4.A
【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案．
【详解】解：一元一次方程的解是，
当时，，
故直线的图像与x轴的交点坐标是．
故选：A．
【题型3 利用图象法解一元一次方程】
1.
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键．
【详解】解：把代入得，解得，
∴一次函数与的图象的交点为，
∴关于的方程的解是．
故答案为：．
2.D
【知识点】利用图象法解一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图象的交点坐标．先求出点P的坐标为，由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解．
【详解】解：根据题意得：点P的纵坐标为7，
把代入，得：
，解得：，
∴点P的坐标为，
∵一次函数与的图象相交于点，
∴关于的方程的解是．
故选：D．
3.
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：依题意得：的图象经过点，
，
解得：，
，
一次函数（为常数且与的图象相交于点，
方程的解为，
故答案为：．
4.
【分析】本题主要考查一次函数图象与一元一次方程的综合，根据题图示，两条直线的交点即为方程的解，由此即可求解，掌握一次函数的交点与一元一次方程的解的知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，两直线的交点坐标为，
∴关于的方程的解为：，
故答案为：．
【题型4 一次函数的应用之分配方案问题】
1.（1）解：设总运费为元，城运往乡的肥料量为吨，则运往乡的肥料量为吨；城运往C、D乡的肥料量分别为吨和吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映与之间的函数关系为
化简，得
（2），
，
随的增大而增大，
当时，
从城运往乡吨，运往乡吨；从城运往乡吨，运往乡吨，此时总运费最少，总运费最小值是元．
2.（1）解：由题意得：，．
（2）解：当时，，解得：，
当时，，解得，
因为，
所以学校选择方案一购买的劳动工具较多．
3.（1）解：根据题意得：，
，
，；
（2）解：①当时，，
解得：，
当学生人数是人时，两家旅行社的收费是一样的；
②当时，，
解得：；
当（为整数）时，乙旅行社更优惠；
③当时，，
解得：，
当（为整数）时，甲旅行社更优惠．
4.（1）解：由题意得，，
当时，，
即甲商店一张会员卡的价格为100元．
故答案为：100．
（2）依照乙商店的售卖方式可得：，
的函数表达式为．
（3）选乙商店比较合算，理由如下：
代入，则；
代入，则；
，
选乙商店比较合算．
【题型5 一次函数的应用之最大利润问题】
1.（1）设甲种水果的进价为x元/，则乙种水果进价为元/
（元）
答：甲种水果的进价为5元/，乙种水果进价为8元/.
（2）设购进甲水果m，则乙水果，利润为y元.
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴y随m的增大而减小.
∴当时，y最大，最大值为450元.
2.（1）依题意得：（为整数）
（2）依题意得：
，
解之，得，
为整数，且为整数，
中，，y随x的增大而减小，
的值为12时，y有最小值，为，此时，
租用甲种客车12辆，乙种客车1辆，费用最省．
3.（1）解：设鹰嘴桃的单价为x元，则水晶梨的单价为元，
依题意，得，
解得，则（元），
答：水晶梨和鹰嘴桃的单价分别是5元，6元；
（2）解：∵商场购买鹰嘴桃的数量为n斤，
购买水晶梨的数量为斤，
依题意，得，
∵，
∴w随着n的增大而增大，
经市场调查发现商场每天最多能售出鹰嘴桃600斤，
，
∴当时．w有最大值，最大值为，
购买的鹰嘴桃为600斤时，商场的利润最大，登大利润为4200元．
4.（1）解：设每天生产羊公仔x只，则每天生产狼公仔只，
根据题意可得：，
即y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，
解得：，
∵，，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，
∴（只），
答：应生产羊公仔350 ，狼公仔100只．
【题型6 一次函数的应用之行程问题】
1.（1）解：由图象可知，甲、乙两地之间的距离为，
故答案为：600；
（2）当时，设慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为
把，代入解析式得：，
解得，
∴慢车离乙地的路程与之间的函数关系式为；
（3）设快车离乙地的路程与之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：，解得，
∴快车离乙地的路程与之间的函数关系式为，
当两车相距50时，，
解得或，
∴当或时，两车相距．
2.（1）解：根据题意，（元），（），
∴（元/），
故答案为；
（2）解：设时，，且函数图象过，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：；
（3）解：，
∴，
设品牌的费用为，且图象过，
∴，
解得，，
∴，
∴当时，品牌的费用为（元），
品牌的费用为（元），
∵，且（元），
∴小明选择品牌的共享电动车更省钱，可以省元．
3.（1）解：根据题意，得，．
故答案为：15，10；
（2）解：平平的速度为（千米分钟）；
设安安的速度为千米分钟，当二人相遇时，得，解得，
平平的速度为0.3千米分钟，安安的速度为0.2千米分钟；
（3）解：当时，平平到达乙地，此时安安离乙地的距离为（千米），
．
设分钟时安安到达甲地．
根据“路程速度时间”，得，解得，
．
设线段所在直线的函数表达式为、为常数，且．
将点和分别代入，
得，
解得，
线段所在直线的函数表达式为．
4.（1）由图象可知，小红同学在小时内骑了千米，
故其骑自行车的速度为（千米/小时），
故答案为．
（2）当时，设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且），
点和在直线上，代入到中，
可得，
解得，
∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为．
（3）设小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且），
小红同学骑自行车的速度为千米/小时，且点在直线上，
∴，
故小红距离甲地的距离与之间的函数关系式为：，
当小红到达乙地时，，代入解得：，
解得：，
将带入到中，
解得：，
故（千米），
∴当小红到达乙地时，小明距乙地的距离为千米．
【题型7 一次函数的应用之几何问题】
1.（1）解：由题意可得：当时，，
当时，，
∴；
（2）如图所示，
当时，y随x的增大而减小；
（3）解，令，则或，
∴当时，自变量的取值范围为：或．
2.（1）解：当时，点在上，
，
由题意得：，，，
∴；
当时，点在上，
，
则，
∴；
（2）解：当时，点在上，
，
此时，
∴，
画出函数图象如图所示：
；
（3）解：由图象可得：当时，随的增大而增大；
（4）解：由图象可得：当时的取值范围为：．
3.（1）解：在中，，，，
．
如图1，当点，分别在，上运动时，运动后，，．

当时，点恰好运动到点处，点恰好运动到点处．
，由勾股定理可得，
当时，关于的函数解析式为．
当，两点都在上运动时，，
令，解得，
当时，关于的函数解析式为，
关于的函数解析式为．
（2）由（1）中得到的函数解析式可知，
当时，；
当时，；
当时，．
如图2，分别描出对应点然后顺次连线．
该函数的一个性质：当时，随的增大而增大（答案不唯一）．
（3）当时，分别代入函数，中，
得或，
解得或．
4.（1）解：当点在上运动时，增大，的面积会增大；点在上运动时，的面积会不变；点在上运动时，的面积会减小；
故答案为：增大；不变；减小；
（2）∵长方形中，，，
∴，
当点P在上时，
得： ，
∴，
，
；
（3）∵，
∴动点P改变速度后y与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式为：；
（4）①当时
，
；
②当时
，
；
③当x运动到C点时
解得：
即：时
；
④当时
，
；
综上： ；
∵，
①时，，符合题意；
②时，，不符合题意，舍去；
③时，，不符合题意，舍去；
④，，符合题意；
所以点P出发后5秒或秒，的面积是长方形面积的．