3.3 幂函数 教学设计
教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念，能够通过图象研究幂函数的性质；
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中，培养学生的观察能力，概括总结的能力；
3．通过对幂函数的研究，培养学生分析问题的能力．
教学重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点： 幂函数的单调性及其应用．
教学方法：
采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性，教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．
教学过程：
一、问题情境
指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型，我们看下面几个函数问题：
1．正方形的边长为，则它的面积是多少？
2．如果正方体的棱长为，那么它的体积是多少？
3．如果正方形场地的面积为，那么它的边长是多少？
思考问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如的函数称为幂函数，其中底数是变量，指数是常数．
思考问题：
问题1、幂函数与指数函数有什么区别？
练习1、根据定义，判断下列函数是不是幂函数
练习2、已知幂函数的图象过点，求幂函数的解析式.
变式 若是幂函数，求的值.
问题2、幂函数的图象是怎样的？在直角坐标系中，作出常见幂函数的图象
问题3、幂函数具有哪些性质？
总结：幂函数的性质：
（1）定点：所有幂函数在区间上都有定义，都通过点；当时，幂函数图象还通过定点.即时，图象过和两个定点；时，图象过只过定点．
(2)单调性：当时，在区间上是增函数；当时，在区间上是减函数．
(3)奇偶性：常见的幂函数中，是奇函数；是偶函数 ；
三、数学运用
例1 写出下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性
例2 比较下列各组数的大小．
（1） （2）
（3） （4）
练习 比较下列各组数的大小
（1） （2）
（3）
例3 已知幂函数的图象不过原点，求此幂函数的解析式．
变式1 将例3中的条件“不过原点”改为“在上单调递减”．
变式2 已知函数是偶函数，且在区间上是单调增函数，求函数的解析式.
四、课堂练习
（1）下列函数：①；②；③；④．其中是幂函数的有 （写出所有幂函数的序号）．
（2）下列说法：①若幂函数的图象过点，则此幂函数一定是偶函数；②幂函数在其定义域内是减函数；③幂函数的图象是一条直线；④幂函数在其定义域内是增函数．其中正确结论的序号是 ．
（3）已知幂函数的图象过点，则的解析式为 ．
（4）函数的定义域是 ．
（5）已知函数，当 时，为正比例函数；
当 时，为反比例函数；当 时，为二次函数；
当 时，为幂函数．
（6）幂函数的图象一定不过第 象限．
（7）当时，以下函数①②③④中，图象都在直线的下方，且是偶函数的是 ．
（8）若，，，则三个数按从小到大的顺序排列为 ．
五、要点归纳与方法小结
1．幂函数的概念、图象和性质； 2．幂值的大小比较方法．
六、作业
课本练习． 课本习题
课件17张PPT。高中数学 必修１3.3 幂函数情境问题： 指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型，我们看下面几个函数问题：1．正方形的边长为x，则它的面积y是多少？2．如果正方体的棱长为x，那么它的体积y是多少？3．如果正方形场地的面积为x，那么它的边长y是多少？思考问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？ 数学建构： 一般地，我们把形如y＝x?(??R)的函数称为幂函数，
其中底数x是自变量，指数?是常数． 幂函数的定义：问题1．幂函数与指数函数有什么区别？思考问题：练习1、判断下列函数是不是幂函数问题2．幂函数的图象是怎样的？常见的幂函数有：练习2、已知幂函数的图象过点 ，求幂函数的解析式.数学建构：函数 在同一坐标系的图象：y＝xy＝x2y＝x3y＝x-1y＝x0.5数学建构：问题3：幂函数具有哪些性质？根据函数 的图象填写下表：数学建构：总结：幂函数的性质：(1)定点： 当?＞0时，幂函数图象还通过定点(0，0)． 所有幂函数在区间(0，＋?)上都有定义，都通过点(1，1)；(2)单调性： (3)奇偶性： 当?＜0时，则在区间(0，＋?)上是减函数． 当?＞0时，在区间[0，＋?)上是增函数，常见的幂函数中，y＝x，y＝x-1和 y＝x3是奇函数； y＝x2是偶函数 ；y＝x0.5不具有奇偶性． 数学应用：例1 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： 数学应用：例2 比较下列各组数的大小：(1) 1.50.5， 1.70.5；
(2) (－1.25)3，(－1.26)3；
(3)3.14-1，?-1；
(4) ． 数学应用：练习．比较下列各组数的大小：数学应用：例3 已知幂函数 的图象不过原点，求此幂函数的解析式．变式1 将例3中的条件“不过原点”改为“在 单调递减”．变式2 已知函数 是偶函数，且在区间 上是单调增函数，求函数 的解析式.课堂练习： 1．下列函数：(1)y＝0.2x；(2)y＝x0.2；(3)y＝x-3；(4)y＝3·x-2．其中是幂函数的有 (写出所有幂函数的序号)． 2．下列说法：(1)若幂函数的图象过点(－1，1)，则此幂函数一定是偶函数；(2)幂函数y＝xn(n＜0)在其定义域内是减函数；(3)幂函数y＝x0的图象是一条直线；(4)幂函数y＝xn(n＞0)在其定义域内是增函数．其中正确结论的序号是 ． 课堂练习：3．已知幂函数y＝f (x)的图象过点(2， )，则这个函数的解析式为________． 4．函数 的定义域是 ．课堂练习：5．已知 函数，当a＝ 时， 为正比例函数；
当a＝ 时， 为反比例函数；当a＝ 时， 为二次函数；
当a＝ 时， 为幂函数．
6．幂函数y＝x?(??R)的图象一定不经过第 象限． 课堂练习：7．当 时，函数：(1) ，(2) ，(3) ，
(4) 中，图象都在直线 下方，且是偶函数的是 ． 8．若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺
序排列为 ． 小结：幂函数的定义； 幂函数的图象； 幂函数的性质；幂函数的应用． 作业：课本P89练习．
课本P89习题3.3
