3.3 幂函数 教学设计
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学习要求
1．了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；；
2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；
3．进一步体会数形结合的思想．
自学评价
1．幂函数的概念：一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数；
注意：幂函数与指数函数的区别．
2.幂函数的性质：
（1）幂函数的图象都过点；
（2）当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上 单调递减；
（3）当时，幂函数是 偶函数 ；
当时，幂函数是 奇函数 ．
【精典范例】
例1：写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
分析：求幂函数的定义域，宜先将分数指数幂写成根式，再确定定义域；
【解】（1）此函数的定义域为R，
∴此函数为奇函数．
（2）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
此函数为非奇非偶函数．
（3）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（4）
∴此函数的定义域为
∴此函数为偶函数
（5）
∴此函数的定义域为
此函数的定义域不关于原点对称
∴此函数为非奇非偶函数
（6）
∴此函数的定义域为
∴此函数既是奇函数又是偶函数
点评: 熟练进行分数指数幂与根式的互化，是研究幂函数性质的基础．
例2：比较大小：
（1） （2）
（3）
（4）
分析：抓住各数的形式特点，联想相应函数的性质，是比较大小的基本思路．
【解】（1）∵在上是增函数，，∴
（2）∵在上是增函数，
，∴
（3）∵在上是减函数，
，∴；
∵是增函数，，
∴；
综上，
（4）∵，，，
∴
点评: 若两个数是同一个函数的两个函数值，则可用函数的单调性比较大小；若两个数不是同一个函数的函数值，则可利用0，1等数架设桥梁来比较大小．
追踪训练一
1．在函数（1）（2）（3），（4）中，是幂函数序号为 （1） ．
2.已知幂函数的图象过，试求出这个函数的解析式；
答案：
3．求函数的定义域．
答案：
【选修延伸】
一、幂函数图象的运用
例3：已知，求的取值范围．
【解】在同一坐标系中作出幂函数和的图象，可得的取值范围为．
点评:数形结合的运用是解决问题的关键．
二、幂函数单调性的证明
例4: 证明幂函数在上是增函数．
分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
【解】证：设，
则
即
此函数在上是增函数
追踪训练二
1．下列函数中，在区间上是单调增函数的是 （ B ）
A． B．
C． D．
2．函数的值域是 （ D ）
A． B． C． D．
3．若，则的取值范围是 （ C ）
A． B． C． D．
4．证明：函数在上是减函数．
证：略．
课件16张PPT。高中数学 必修１3.3 幂函数情境问题： 指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型，我们要将它们与前面所学内容常做比较．我们看下面几个函数问题：1．某人购买了每千克1元的蔬菜x千克，应付y元，这里x与y的关系是什么？5．某人在xs内骑车匀速行进了1km，那么他的速度y(km/s)是多少?2．正方形的边长为x，则它的面积y是多少？3．如果正方体的棱长为x，那么它的体积y是多少？4．如果正方形场地的面积为x，那么它的边长y是多少？思考问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？ 数学建构：2．幂函数的定义域是什么？ 一般地，我们把形如y＝x?(??R)的函数称为幂函数，
其中底数x是自变量，指数?是常数． 幂函数的定义：1．幂函数与指数函数有什么区别？思考问题：常见的幂函数有y＝x，y＝x2，y＝x-1， y＝x3以及y＝x0.5． 数学建构：函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5在同一坐标系的图象：y＝xy＝x2y＝x3y＝x-1y＝x0.5数学建构：幂函数的图象与性质： 分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5的图象，并根据图象填写下表： 数学建构：幂函数的性质：(1)定点： 当?＞0时，幂函数图象还通过定点(0，0)． 所有幂函数在区间(0，＋?)上都有定义，并且都通过点(1，1)；(2)单调性： (3)奇偶性： 当?＜0时，则在区间(0，＋?)上是减函数． 当?＞0时，在区间[0，＋?)上是增函数，常见的幂函数中，y＝x，y＝x-1和 y＝x3是奇函数； y＝x2是偶函数 ；y＝x0.5不具有奇偶性． 数学应用：例1 写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： (1) (2)y＝x-2
(3)y＝x2 ＋ x-2 (4)数学应用：例2 比较下列各组数的大小：(1) 1.50.5， 1.70.5；
(2) (－1.25)3，(－1.26)3；
(3)3.14-1，?-1；
(4)314，221． 数学应用：练习．比较下列各组数的大小：(1) 5.25-1，5.26-1，5.26-2；
(2)0.50.5，0.30.5，0.50.3．数学应用：例3 如图是幂函数y＝xm，y＝xn与y＝x-1在第一象限的图象，则实数m，n与－1，0，1的大小关系是 ．y＝xmy＝xny＝x-1y＝x数学应用： 1．下列函数：(1)y＝0.2x；(2)y＝x0.2；(3)y＝x-3；(4)y＝3·x-2．其中是幂函数的有 (写出所有幂函数的序号)． 2．下列说法：(1)若幂函数的图象过点(－1，1)，则此幂函数一定是偶函数；(2)幂函数y＝xn(n＜0)在其定义域内是减函数；(3)幂函数y＝x0的图象是一条直线；(4)幂函数y＝xn(n＞0)在其定义域内是增函数．其中正确结论的序号是 ． 数学应用：3．已知幂函数y＝f (x)的图象过点(2， )，则这个函数的解析式为________． 4．函数 的定义域是 ．数学应用：5．当x?(1，＋?)时，下列函数：(1)y＝x0.5，(2)y＝x-2，(3)y＝x2，(4)y＝x-1中，图象都在直线y＝x下方，且是偶函数的是 ． 6．幂函数y＝x?(??R)的图象一定不经过第 象限． 小结：
对任意的??R，y＝x?的图像必将出现在第I象限中；
若y＝x?为偶函数，则y＝x?的图像必出现在第II象限中；
若y＝x?为奇函数，则y＝x?的图像必出现在第III象限中；
对任意的??R，y＝x?的图像都不会出现在第VI象限中． 数学应用：7．已知 函数，当a＝ 时，f(x)为正比例函数；
当a＝ 时，f(x)为反比例函数；当a＝ 时，f(x)为二次函数；
当a＝ 时，f(x)为幂函数． 8．若a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c三个数按从小到大的顺
序排列为 ． 小结：
幂的大小比较通常采用以下两种方法；
(1)指数相同时，利用幂函数的性质进行比较；
(2)底数相同时，可直接利用指数函数的性质进行比较． 小结：幂函数的定义； 幂函数的图象； 幂函数的性质；幂函数的应用． 作业：课本P90-2，4，6．
课后探究：若 ，试求a的取值范围．
