3.3 幂函数 教学设计
教学目标：
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.
教学重点：幂函数的定义和图象.
教学难点：幂函数的图象.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
幂函数的定义
Ⅱ.讲授新课
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？
（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．
［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
思路：函数y＝是幂函数．
（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
（2）∵xR，∴x2≥0．∴ y≥0．
（3）f（－x）＝＝＝f（x）， ∴函数y＝是偶函数；
（4）∵n＝＞0， ∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．
由于幂函数y＝是偶函数，
∴幂函数y＝在（－∞，0）上单调递减．
（5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．
解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25
∴（－1.2）＞（－1.25）
点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
当t＝－1时，ymin＝3．
∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
Ⅲ.课堂练习
课本P73 1，2
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
课本P73 习题1，2，3，4
课件14张PPT。幂 函 数１.正分数指数幂，负分数指数幂是如何定义的？ ２.什么是函数的定义域？自变量 x 的取值范围.３.求下列函数的定义域：
（１）y = x2 y = x3 y = x ?
（２）y = x-1 y = x-2 y = x -1/2答案:（１）RR[ 0,+∞)（２）(-∞,０)∪(０,+∞)(-∞,０)∪(０,+∞)(０,+∞)复习:幂 函 数一．幂函数的定义：形如 y = xa 的函数叫做幂函数，其中 a 是常数且 a ∈ R ．说明： 一般一次函数,二次函数不是幂函数．二．幂函数的定义域：使 x a 有意义的实数的集合．
√Xxx√xX y11y=x2y=x3a > 0（1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数． 三．幂函数的图象和性质：X y110y=x-1y=x-2a < 0 （1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数．
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近．再在另一个坐标系中作出（２）中的函数的图象．
（２）y = x-1 y = x-2 y = <<>>在(-∞,0),(0,+∞)上为单调减函数∴由条件有解得： 练习：<><<>>{x|x≠0} 偶函数{x|x≠0} 偶函数{x|x≥0}R 奇函数 == １．用不等号填空：
（1） （2）
（3） （4）
（5） ____ （6） ___２．求下列幂函数的定义域，并判断其奇偶性：课堂小结：3. 幂函数的图象和性质1．幂函数的定义：形如 y = xa 的函数叫做幂函数，
其中 a 是常数且 a ∈ R ．2．幂函数的定义域：使 x a 有意义的实数的集合．X y110y=x2y=x3y=x1/2X y110y=x-1y=x-2y=x-1/2a > 0a < 0 （1）图象都过（0，0）点和
（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值
随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数． （1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随
x 的增大而减小，即在
（0，+∞）上是减函数．
（3）在第一象限，图象向上与
y 轴无限接近，向右与 x
轴无限接近．RRR{x|x≠0}{y|y≥0}RR{y|y≠0}{x|x≥0}{y|y≥0}(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)(1,1)(0,0)(1,1)奇函数奇函数奇函数偶函数无Ⅰ,ⅢⅠ,ⅢⅠⅠ,ⅡⅠ,Ⅲ单调增单调增单调增单调增单调减
2.求下列函数的定义域：
（1） （2）谢谢大家！
