3.4.1 函数与方程 方程的根与函数的零点 教学设计
1 教材分析
1.1 地位与作用
本节内容为苏教版版必修1第二章《函数的概念与基本初等函数1》第五节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．
新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理的是二分法的必备知识．
教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．
从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．
1.2 教学重点
基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点概念，掌握函数零点存在性定理．
2 学情分析
2.1 学生具备必要的知识与心理基础．
通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图能力，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存在性提供了一定的知识基础．
方程是初中数学的重要内容，用所学的函数知识解决方程问题，扩充方程的种类，这是学生乐于接受的，故而学生具备心理与情感基础．
2.2 学生缺乏函数与方程联系的观点．
高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．
例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节课必须承载的任务．
2.3 直观体验与准确理解定理的矛盾．
从方程根的角度理解函数零点，学生并不会觉得困难．而用函数来确定方程根的个数和大致范围，则需要适应．换言之，零点存在性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体案例中操作感知，通过更多的举例来验证．
定理只为零点的存在提供充分非必要条件，所以定理的逆命题、否命题都不成立，在函数连续性、简单逻辑用语未学习的情况下，学生对定理的理解常常不够深入．这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立的情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围．
2.4 教学难点
基于上述分析，确定本节的教学难点是：对零点存在性定理的准确理解．
3 目标分析
依据新课标中的内容与要求，以及学生实际情况，指定教学目标如下：
3.1 知识与技能目标：
1、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；
2、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；
3、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．
3.2 过程与方法目标：
1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．
2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．
3.3 情感、态度和价值观目标：
1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．
2、体验规律发现的快乐．
4 过程分析
4.1 教学结构设计：
4.2 教学过程设计：
（一）创设情境，感知概念
1、实例引入
解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x．
意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．
2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．
填空：
方程
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
根
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
y=x2-2x+3
图象
图象与x轴的交点
两个交点：
(-1,0)，(3,0)
一个交点：(1,0)
没有交点
问题1：从该表你可以得出什么结论？
归纳：
判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等的实数根x1、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
函数的图象与x轴的交点
两个交点：
(x1,0)，(x2,0)
一个交点：
(x1,0)
无交点
问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？
学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．
意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．
3、一般函数的图象与方程根的关系．
问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！
师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：
方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．
意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．
（二）辨析讨论，深化概念．
4、函数零点．
概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为 –4，0，4
设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．
5、归纳函数的零点与方程的根的关系．
问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？
（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．
（2）区别：零点对于函数而言，根对于方程而言．
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．
练习：求下列函数的零点：
设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．
（三）实例探究，归纳定理．
6、零点存在性定理的探索．
问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？
探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．
（2）观察函数的图象：
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．
意图：通过归纳得出零点存在性定理．
7、零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f(x)=log2x，x∈[，2]； （2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．
意图：通过简单的练习适应定理的使用．
（四）正反例证，熟悉定理．
8．定理辨析与灵活运用
例1 判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点． （ × ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点． （ × ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．（ × ）
请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：
归纳：定理不能确零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点．
意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．
9、练习：
（1）已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
－7
11
－5
－12
－26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 3 个
（2）方程– x 3 – 3x + 5=0的零点所在的大致区间为 （ ）
A．(– 2，0) B．(0，1) C．(0，1) D．(1，2)
意图：一方面促进对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．
（五）综合应用，拓展思维．
10、例题讲解
例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
解法1（借助计算工具）：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象．
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4.0
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
9.9
12.1
14.2
由表或图象可知，f (2)<0，f (3)>0,则f (2) f (3)<0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．
问题6：如何说明零点的唯一性？
又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．
解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：
x
1
2
3
4
f(x)
－
－
＋
＋
结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
解法3（函数交点法）：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．
由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．
意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3作为选讲内容，视学生基础而定．
练习 求方程2-x =x的解的个数，并确定解所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
意图：一方面与引例相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节课作铺垫．
（六）总结整理，提高认识．
（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：
（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．
（七）布置作业，独立探究．
1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？
2．利用函数图象判断下列方程有几个根：
（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．
思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．
设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．
5.4 板书设计
5 教法分析
新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会．教师主要起引导作用，充分信任学生、依靠学生．只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主体．
新课标注重提高学生的数学思维能力，本节课让学生直观感知概念，观察发现规律，归纳概括定理，对思维能力有一定的要求，也提供了充足的媒介．
概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生．
教法与学法归纳为：
紧扣教材、重组教材；信任学生、依靠学生；
学生主体、教师主导；注重思维、注重过程．
课件18张PPT。方程的根与函数的零点6Oxy〖引例〗 解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x． 解（1）2-x=4 ? -x=log24 ? x= -2．（2）2-x=x ? -x=log2x ? -x-log2x=0?全章导入：上述一元二次方程的实数根?二次函数图象与x轴交点的横坐标填空：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根两个交点
(-1,0)，(3,0)一个交点
(1,0)没有交点问题1:从该表你可以得出什么结论？问题2:这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？结论：一元二次方程的实数根就是
相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．归纳：x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根两个交点
(-1,0)，(3,0)一个交点
(1,0)没有交点判别式ΔΔ> 0Δ= 0Δ< 0方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根两个不相等的
实数根x1 、x2有两个相等的
实数根x1 = x2没有实数根x1x2x1(x1,0)，(x2,0)(x1,0)问题3:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例! 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点．〖即兴练习〗函数f (x)=x(x2－16)的零点为( )
A. (0,0), (4,0) B. 0, 4
C. (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D. – 4 , 0, 4D注意：零点是自变量的值，而不是一个点．－1，41，－ 5函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标！
〖即兴练习〗求下列函数的零点：
(1)f(x)=-x2+3x+4 (2)f(x)=lg(x2+4x-4)函数零点的定义：2、区别：1、联系：①数值上相等：求函数零点就是求方程的根.
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
? 方程f(x)=0有实数根
? 函数y=f(x)的图象与x轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言．问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点．要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函数f(x)=2-x-x的零点!观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）． －1－45<3<探究: 问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 零点存在性的探究：观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；有<有<有<零点存在性的探究：问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 〖即兴练习〗下列函数在相应区间内是否存在零点？
（1）f(x)=log2x，x∈[0.5，2]；
（2）f(x)=2x·ln(x-2)-3，x∈[3，5] ． 函数零点存在性定理：cc 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根． 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点．
即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根．函数零点存在性定理：例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）例1 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）画图象举反例： 那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2、函数f (x)= – x 3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为（ ）
A. ( – 2 ，0) B. (1，2) C. (0，1) D. (0，0.5) CB1、已知函数f (x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：〖练一练〗零点存在性定理的应用：由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z) 解零点存在性定理的应用：问题6:如何说明零点的唯一性？ -4-1.31.13.45.67.810.012.114.2法1：f(x)=lnx+2x－ 6解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：解法3：将函数f(x)= lnx+2x－6的零点的个数转化为函数y= lnx与y=－2x +6的图象交点的个数．y=－2x +6y= lnx例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z) 零点存在性定理的应用：－ －＋＋解法2：估算f(x)在各整数处的取值的正负：练习 求方程2-x =x的解的个数，并确定解所在的区间[n，n+1](n∈Z)． 例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z) 零点存在性定理的应用：－ －＋＋一个关系：函数零点与方程根的关系:两种思想：函数方程思想；数形结合思想． 三种题型：求函数零点、确定零点个数、
求零点所在区间． 小结：布置作业：1．利用函数图象判断下列方程有几个根：
（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3；
（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x
3．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求 出这个解的近似值？ 请预习下一节．
