3.4.1 函数与方程 函数的零点 教学设计

3.4.1
函数与方程
函数的零点
教学设计
教学目标
1．知识与技能
（1）理解函数零点的意义，了解函数零点与方程根的关系.
（2）由方程的根与函数零点的探究，体验零点存在性定理的形成过程，理解零点存在性定理，并能应用它探究零点的个数及存在的区间.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与
( http: / / www.21cnjy.com )x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系。让学生经历由特殊到一般的过程，由了解零点存在性定理到理解零点存在性定理，从而在此过程中培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念和零点存在性定理的形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
教学重点与难点
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法，掌握零点存在性定理并能应用.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
学情分析
高一学生在初中就已学过一元二次方程的求解问
( http: / / www.21cnjy.com )题，知道二元一次方程的求根公式。在知识上已了解函数的性质与函数图象有密不可分的关系，为从直观上理解函数图象与根的关系打下一定的基础。在能力上，学生已经较好的掌握了函数的作图法，有一定的图象观察能力和分析能力，也知道数形结合的思想。在情感上，本节内容是基于一元二次方程展开的，学生较为熟悉，积极性较高，思维也更加的活跃。但是学生在抽象概括能力方面较为薄弱，从具体的一元二次方程中抽象概括出某一区间的零点的判断结论有一定难度。零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念，而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系，这需要老师加以指导。
教学方法
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究、合作交流完成学习任务，学生自主探究与教师启发引导相结合。
教学过程
一.问题情境
对下面给出的三个函数
分别求：
思考：问题（1）和（2）的结果有什么关系？
师：我们可以看出，只要当上面的函数中y的值取0时，就得到对应的方程，并且方程的实数根就是使函数的值为0的实数，这说明函数与方程有密切的关系。这些联系对于我们以后继续研究函数有很大的作用，我们这节课就一起来研究这个问题。
二.新知探究
师：对于上述三个函数，我们很容易画出它们的图像，请同学们观察上述求出的在图像中又表示什么呢？
生：上述求出的就是函数图像与轴交点的横坐标。
师生共同归纳：对于一般的函数与相应的方程，我们有：使函数y
=
f
(x)的值为0的实数方程f
(x)
=
0的实数根函数y
=
f
(x)的图象与x轴的交点的横坐标。
我们把这里的实数称为函数的零点。
(归纳总结、感知概念、分析特征、形成概念)
零点的定义：
一般地，我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点。
练习：考察函数①y
=
lgx
②y
=
log2(x
+
1)
③y
=
2x
④y
=
2x
–
2的零点。
生：①y
=
lgx的零点是x
=
1
②y
=
log2(x
+
1)的零点是x=0
③y
=
2x没有零点
④y
=
2x
–
2的零点是x
=
1
师生共同观察、分析得出对函数零点的几点认识：
（1）函数的零点并不是“点”，而是实数。例如函数y=x2–2x–3的零点是-1和3，而不是（-1,0），（3,0）；
（2）函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标；
（3）函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点；
（4）函数零点的求法：可以解方程f(x)=
( http: / / www.21cnjy.com )0而得到（代数法）；也可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，利用函数的性质找出零点（几何法）。
（通过学生练习、师生共同归纳总结让学生加深对零点概念的理解）
三.数学应用
求证：二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点。
证法1：由△＝65＞0可知方程2x2+3x-7=0有两个不等实根，故二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点。
证法2：设f(x)
=2x2+3x-7，这是一个开口向上的抛物线，且当时，，即二次函数的顶点在x轴下方，由图可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即二次函数y=2x2+3x-7有两个不同的零点。
思考：本题还有其他解法吗？（进一步考虑，我们能不能不求顶点，而在x轴下方寻找抛物线上除顶点外的其他点呢？当然这个点的确定应该越简单越好）
例2、判断函数在区间（2,3）上是否存在零点。
解法1：根据求根公式可得方程的两个根分别为
因为，所以
因此，函数在区间（2,3）上存在零点。
解法2：如图，因为，，且二次函数f
(x)的图像在区间[2,3]上是不间断的，这表明此函数图像在区间（2,3）上一定穿过x轴，即函数在区间（2,3）上存在零点。
变式：判断函数在区间（-1,1）上是否存在零点。
师：函数图像在这两个区间上连续吗？函数在两个端点处的函数值有什么特征？
探究：（1）下面三个函数在区间上有零点吗？
（2）这三个函数图像在区间上连续吗？
（3）这三个函数在端点处的函数值的符号有什么共同特征？
（由特殊到一般，归纳一般结论，引入零点存在性定理）
结论：（零点存在性判定定理）
一般地，若函数y
=
f
(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f
(a)·f
(b)＜0那么，则函数y
=
f
(x)在区间（a，b）上有零点。
师生合作分析，并剖析定理中的关键词：
连续不断；②f
(a)·f
(b)＜0
师：由于图象连续不断，若f
(a)＞0，f
(b)＜0，则y
=
f
(x)的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点。
(回到例2，用零点存在性判定定理板书解题过程)
试一试：
求证：函数在区间上存在零点。
（尝试学生动手模仿练习，老师引导、启发，学生自主完成）
师点评：本题应用前面所讲的求零点的两种方法：解方程和画函数图像均行不通，这时候零点存在性判定定理的优越性就体现出来了。
思考：
（1）若是二次函数y
=
f
(x)的零点，且，那么一定成立吗？
（2）若函数的图像在区间上是不间断的，并且满足，则函数在区间上一定没有零点吗？
（3）若函数在区间上满足，则函数在区间上有零点吗？
（4）若函数在区间上是单调函数并且图像是不间断的，满足，则函数在区间上的零点唯一吗？
（老师引导、启发，学生讨论分析，从而进一步理解定理，深化定理）
定理的深入理解：
（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，又它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点；
（2）函数图像在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号；
（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数。
四．课堂小结
（1）知识方面：零点的概念、求法、判定
（2）数学思想方面：函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想
（学生归纳，老师补充、点评、完善，让学会整理知识，培养自我归纳知识的能力）
五.
课堂巩固
1、求下列函数的零点：
(1)y=2x+3;
(2)
(3)
y＝
；
(4)
y＝.
证明：
（1）
（2）函数在区间（0,1）上有零点。
3、
（学生独立完成，老师点评，固化知识，提升能力）
六、作业
练习册