3.4.1 函数与方程 零点 同步练习 （含答案解析）

3.4.1
函数与方程
零点
同步练习
1、函数的零点是________。
错解：，
错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使成立的实数，也是函数的图象与轴交点的横坐标．
正解：由得，＝１和２，所以填1和2．
点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标．
即使所求．
2．函数的零点所在的区间是__
（0,1）
__
3．方程根的个数为__
0
__
4．若方程在区间上有一根，则的值为_-3_
答案：容易验证区间
5．已知函数，则函数的零点是__
0,2
__．
6．若是方程的解，是
的解，则的值为（
C
）
A．
B．
C．
D．
解析：作出的图象，
交点横坐标为，
而
7、函数的零点个数为________。
错解：因为，，所以，函数有一个零点，
错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．
正解：函数的定义域为，当时，，当时，所以函数没有零点．也可由得方程无实数解．
点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数在区间上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即,则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间至少有一个实数解．然而对于函数的，若满足，则在区间内不一定有零点；反之，在区间内有零点也不一定有．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )　　　　
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8、判定函数在区间内是否有零点．
错解：因为，所以，函数在区间内没有零点．
错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数在区间上的函数图像是连续曲线，且，也可能在内有零点．如函数在区间上有，但在内有零点．
正解：方法一：当时，，函数在上的图象与轴没有交点，即函数在区间内没有零点．
法二：由得，故函数在区间内没有零点．
点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数在区间上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即．
9、已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．
错解：由函数的零点的性质得，即，解得．
所以实数的取值范围为．
错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在上有二重根；②终点的函数值可能为０．
正解：⑴当方程在上有两个相等实根时，且，此时无解．
⑵当方程有两个不相等的实根时，有且只有一根在上时，有，即，解得②当时，＝０，，解得，合题意．
③当时，，方程可化为，解得合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．