14. 3 角的平分线(同步练习）（无答案）2025-2026学年度八年级上册数学人教版（2024）

14. 3 角的平分线
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(1) 角平分线的定义 ; (2) 三角形角平分线的定义 ; (3) 判定两个三角形全等方法.
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(1) ①角的平分线上的点到角的两边的距离 .
②数学语言 :如图 14 - 3 - 22 所示 , 因为 OP 是∠AOB 的平分线 , , ,所以 PD = PE.
③角的内部到角两边距离 的点在这个角的平分线上.
④数学语言 :如图 14 - 3 - 23 所示 ,因为 PD = PE , , ,所以 OP 是∠AOB 的平分线.
(2) 如图 14 - 3 -24 所示,DE⊥AB ,DF⊥BG ,垂足分别是 E ,F ,DE = DF ,∠EDB =60° ,则∠EBF = 度.
(3) 如图 14 - 3 - 25 所示 , △ABC 中 , ∠C = 90 ° ,AD 平分∠CAB ,且 BC = 8 ,BD = 5 ,则点 D 到 AB 的距离 是 .
图 14 - 3 - 22 图 14 - 3 - 23 图 14 - 3 - 24 图 14 - 3 - 25
(4) 如图 14 - 3 - 26 ,用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示 ,则能说明 ∠AOC = ∠BOC 的依据是( ) .
A. SSS B. ASA
C. AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
(5) 如图 14 - 3 - 27 ,已知 AD∥BC ,P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点 ,PE⊥AB 于点 E ,且 PE = 3 ,求 AD 与 BC 之间的距离.
(
图
14
-
3
-
26
)图 14 - 3 - 27
(1) 如图 14 - 3 - 29 所示 ,OP 平分∠AOB ,PC⊥OA ,PD⊥OB ,垂足分别是 C、D. 下列结 论中错误的是( )
A. PC = PD B. OC = OD
(
图
14
-
3
-
29
)C. ∠CPO = ∠DPO D. OC = PO
(2) 如图 14 - 3 - 30 所示 , △ABC 中 , ∠C = 90 ° ,AC = BC ,AD 是∠BAC 的平分线 ,DE ⊥ AB 于 E ,若 AB = 10 cm ,则△DBE 的周长等于( )
A. 10 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 9 cm
(3) 如图 14 - 3 - 31 所示 ,用尺规作它的角平分线.
步骤如下 :
第一步 :以 B 为圆心 ,以 a 为半径画弧 ,分别交射线 BA ,BC 于点 D ,E;
第二步 :分别以 D ,E 为圆心 ,以 b 为半径画弧 ,两弧在内部交于点 P;
第三步 ;画射线 BP ,射线 BP 即为所求.
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下列叙述不正确的是( ) .
A. a > 0 B. 作图的原理是构造“SSS”三角形全等
C. 由第二步可知 ,DP = EP D. 的长
图 14 - 3 - 30 图 14 - 3 - 31
(4) 如图 14 - 3 - 32 所示 ,在四边形 ABCD 中 , ∠A = ∠BDC = 90 ° , ∠C = ∠ADB ,点 P 是 BC 边上的一动 点 ,连接 DP ,若 AD = 4 ,则 DP 的长不可能是( ) .
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
(5) 如图 14 - 3 - 33 所示 ,在△ABC 中 ,AD 为∠BAC 的平分线 , ∠B = 90 ° ,DF⊥AC ,垂足为 F ,DE = DC , 求证 :BE = CF.
2
图 14 - 3 - 32
图 14 - 3 - 33
基础训练
(1) 如图 14 - 3 - 34 所示 ,AB = AC ,BE⊥AC 于点 E ,CF⊥AB 于点 F ,BE ,CF 相交于点 D ,有以下结论 :①
△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D 在∠BAC 的平分线上. 其中正确的是( ) .
A. ① B. ② C. ①② D. ①②③
(2) 如图 14 - 3 - 35 所示 ,是一块三角形的草坪 ,现要在草坪上建一凉亭供大家休息 ,要使凉亭到草坪 三条边的距离相等 ,凉亭的位置应选在( ) .
A. △ABC 的三条中线的交点上
B. △ABC 三条角平分线的交点上
C. △ABC 三边的中垂线的交点上
D. △ABC 三条高所在直线的交点上
(3) 如图 14 - 3 - 36 所示 ,M ,N 分别是 OA ,OB 边上的点 ,点 P 在射线 OC 上 ,则下列条件中不能说明 OC 平分∠AOB 的是( ) .
A. PM⊥OA ,PN⊥OB ,PM = PN
B. PM = PN ,OM = ON
C. PM⊥OA ,PN⊥OB ,OM = ON
D. PM = PN , ∠PMO = ∠PNO
(4) 如图 14 - 3 - 37 所示 ,已知 BE = CF ,BF⊥AC 于点 F ,CE⊥AB 于点 E ,BF 和 CE 相交于点 D ,下列说 法中错误的是( ) .
A. AD 是∠BAC 的平分线 B. DE = DF
C. BD = CD D. BD = DF
图 14 - 3 - 34 图 14 - 3 - 35 图 14 - 3 - 36 图 14 - 3 - 37
(5) 如图 14 - 3 - 38 所示 , 已知△ABC 的周长是 22 ,OB、OC 分别平分∠ABC 和 ∠ACB , OD⊥BC 于点 D ,且 OD = 3 , △ABC 的面积是 .
拓展提高
(
图
14
-
3
-
38
)(1) 如图 14 - 3 - 39 所示 ,AD 是△ABC 的角平分线 ,DE⊥AB ,垂足为 E ,S △ABC = 7 ,DE =
2 ,AB = 4 ,则 AC 的长是( ) .
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
(2) 如图 14 - 3 - 40 所示 ,在平面直角坐标系中 ,以点 O 为圆心 ,适当长为半径画弧 ,交 x 轴于点 M ,交 y 轴于点 N ,再分别以点 M、N 为圆心 ,大于 的长为半径画弧 ,两弧在第二象限交于点 P. 若点 P 的坐标为 ( a + 2b ,a + 1) ,则 a + b = .
(3) 如图 14 - 3 - 41 所示 ,在四边形 ABCD 中 , ∠A = 90 ° ,AD = 4 ,连接 BD ,BD ⊥ CD , ∠ADB = ∠C. 若 P 是 BC 边上一动点 ,则 DP 长的最小值为( ) .
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
(4) 如图 14 - 3 - 42 所示 ,点 O 是△ABC 内一点 ,BO 平分∠ABC ,OD⊥BC 于点 D ,连接 OA ,若 OD = 5 , AB = 20 ,则△AOB 的面积是( ) .
A. 20 B. 30 C. 50 D. 100
图 14 - 3 - 39 图 14 - 3 - 40 图 14 - 3 - 41 图 14 - 3 - 42
发散思维
(1) 如图 14 - 3 - 43 所示 ,点 D、B 分别在∠MAN 的两边上 ,C 是∠MAN 内一点 ,AB = AD ,BC = DC ,CE ⊥ AM 于点 E ,CF⊥AN 于点 F.
求证 :CE = CF.
(2) 如图 14 - 3 - 44 所示 ,PA = PB , ∠1 + ∠2 = 180 ° . 求证 :OP 平分∠AOB
(3) 如图 14 - 3 - 45 所示 ,在△ABC 中 ,点 D 在 BC 边上 ,连接 AD ,有∠BAD = 100 ° , ∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于点 E ,过点E 作 EF⊥AB 交 BA 的延长线于点 F ,且∠AEF = 50 ° ,连接 DE. 求证 :DE 平分∠ADC.
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图 14 - 3 - 43
图 14 - 3 - 44
图 14 - 3 - 45