1.3 函数的基本性质 质量检测（附答案解析）

1.3函数的基本性质
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.21世纪教育网版权所有
1．定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立， 则必有（ ）
A.在上是增函数 B.在上是减函数
C.函数是先增加后减少 D.函数是先减少后增加
2．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C．和 D．和
3． 函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当时，是减函数，如果不等式成立，则实数的取值范围（ ）21教育网
A. B. 1，2 C. D.
5．已知f（x）是R上的奇函数，对x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（﹣1）=﹣2，则f（2013）等于（　　）21·cn·jy·com
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2013
6．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．www.21-cn-jy.com
7．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（ ）
A．函数是周期函数，且周期T=3 B．函数在上有可能是单调函数
C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数
8．设偶函数f(x)对任意，都有，且当时，，则（ ）
A．10 B． C．-10 D．
9．已知是定义在R上的函数，且恒成立，当时，，则当时，函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．设偶函数f（x）的定义域为R，当x时f（x）是增函数，则f（-2）,f（）,f（-3）的大小关系是（ ） 2·1·c·n·j·y
A．f（）>f（-3）>f（-2） B．f（）>f（-2）>f（-3）
C．f（）11．已知偶函数在上单调递增函数,则使得成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．函数的图象形如汉字“囧”，故称其为“囧函数”．下列命题：
①“囧函数”的值域为；
②“囧函数”在上单调递增；
③“囧函数”的图象关于轴对称；
④“囧函数”有两个零点；
⑤“囧函数”的图象与直线至少有一个交点．
正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13．已知是定义在上的奇函数，它在上是一次函数，在上是二次函数，当时，，又，则=_________．
14．已知定义在上的奇函数，满足且在区间上是增函数，则的大小关系为 ．（用符号“<”连接）
15．已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是 .
16．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，给出以下四个命题：
（1）函数是周期函数；
（2）函数的图象关于点对称；
（3）函数为上的偶函数；
（4）函数为上的单调函数．
其中真命题的序号为______________．（写出所有真命题的序号）
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．定义在上的函数，总有，且，当时，．
（1）求的值；
（2）判断函数的奇偶性,并证明；
（3）判断函数在上的单调性,并证明．
18．已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
19．已知函数.
（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明函数在区间上为增函数；
（3）若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，求的取值范围.
20．已知是定义在上的奇函数，且，若时，有
（1）证明在上是增函数；
（2）解不等式
（3）若对恒成立，求实数的取值范围
21．已知函数的定义域为，且,，
当，且，时恒成立.
（1）判断在上的单调性；
（2）解不等式；
（3）若对于所有，恒成立，求的取值范围.
22．已知函数是上的奇函数，且
（1）求的值
（2）若，，求的值
（3）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围
1.3函数的基本性质参考答案及解析
1．A.【解析】若，则由题意知，一定有成立，由增函数的定义知，该函数在上是增函数；同理若，则一定有成立，即该函数在上是增函数.所以函数在上是增函数.故应选A.
2．A【解析】由，得或，所以函数的定义域为．
可看作由,复合而成的，而单调递减，要求的单调增区间，只需求的减区间即可，的单调增区间为，所以函数的单调增区间为，故答案为：，故选A.21cnjy.com
3．B【解析】函数是上的偶函数,所以, ,因为函数是上增函数,则,即．故B正确．
4．A【解析】根据题意知,函数在上单调递增,在上单调递减.首先满足,可得.根据函数是偶函数可知:,所以分两种情况:
当时,根据不等式成立,有,解得;当时,根据不等式成立,有,解得;综上可得.
5．A【解析】由f（x+4）=f（x）+f（2），取x=﹣2，得：f（﹣2+4）=f（﹣2）+f（2），即f（﹣2）=0，所以f（2）=0，则f（x+4）=f（x）+f（2）=f（x），所以f（x）是以4为周期的周期函数，【来源：21·世纪·教育·网】
所以f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣（﹣2）=2．故选A．
6．D【解析】由题意得，所以函数是以为周期的周期函数，所以
，故选D.
7．B【解析】对于A：∵∴函数是周期函数且其周期为3，A对；对于B：由D得：∵偶函数的图象关于轴对称，∴在R上不是单调函数，B不对．对于C：∵是奇函数∴其图象关于原点对称，又∵函数的图象是由向左平移个单位长度得到，∴函数的图象关于点对称，故C对；对于D：由C知，对于任意的，都有，用换，可得：，∴对于任意的都成立，令，则，∴函数是偶函数，D对．故选：B．
8．B【解析】因为，故有，函数是以6为周期的函数，，故选B．
考点：函数性质的活用．
9．D【解析】函数的周期，故设时，，所以，故选D．
10．A【解析】由函数为偶函数得，当x时f（x）是增函数，所以
11．C【解析】由题意可知函数在是减函数，图像关于y轴对称，不等式转化为，不等式的解集为
12．B【解析】由题意得是偶函数；当，则，其函数的图象如图：如图，值域肯定不为，故①错误的；如图显然在上不是单调函数，故②错误；是偶函数，图象关于轴对称，故③正确；如图，没有零点，故④错误；如图可知函数的图象，换为，在四个象限都有图象，此时与直线的图象至少有一个焦点，故⑤正确，故选B．www-2-1-cnjy-com
13．
【解析】因为函数在上是二次函数，当时，，所以该函数的顶点坐标为，所以该二次函数的解析式可设为又，代入并解之得，所以，所以，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为在上是一次函数，又因为，可得函数的解析式为，又因为函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，
综上
14．【解析】因为，是奇函数，所以，所以，又函数是奇函数，所以函数在上是增函数，，所以是一条对称轴，
，从而，
15．【解析】设，因为是定义域为的偶函数，
所以；又；
所以，所以，
所以，解得，所以原不等式的解集为.
16．（1）（2）（3）.【解析】，所以是周期为3的周期函数，（1）正确；函数是奇函数，其图象关于点对称，则的图象关于点对称，（2）正确；，，所以，（3）正确；是周期函数，在上不可能是单调函数，（4）错误．真命题序号为（1）（2）（3）．
17.【解析】（1）令，则有，又，则．
令，则有， 又，，
则．
（2）证明：定义域为．
令，则有，
所以为偶函数．
（3）证明：，且
令，则，
所以，又，，
由，则，而当时，，
所以，即，又，
所以，
所以函数在上是增函数．
18．【解析】（1）因为时，解析式为，所以可以求的解析式函数是奇函数所以.分三段写出其解析式即可；（2）要使在上单调递增.则应有解不等式即得实数的范围.21·世纪*教育网
试题解析：（1）设x<0,则-x>0, ．
又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)．
于是x<0时
所以
（2）要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知
所以故实数a的取值范围是(1,3]．
19．【解析】（1）函数是奇函数， 1分
∵函数的定义域为，在轴上关于原点对称， 2分
且， 3分
∴函数是奇函数. 4分
（2）证明：设任意实数，且， 5分
则， 6分
∵ ∴， 7分
∴<0 ， 8分
∴<0,即， 9分
∴函数在区间上为增函数. 10分
（3）∵，
∴函数在区间上也为增函数. 10分
∴，
若函数在区间上的最大值与最小值之和不小于，
则，
∴，
∴的取值范围是[4,+∞). 12分
20．【解析】（1）任取，
则 2分
，由已知 4分
，即在上是增函数 5分
（2）因为是定义在上的奇函数，且在上是增函数
不等式化为，所以
，解得 9分
（3）由（1）知在上是增函数，所以在上的最大值为，
要使对恒成立，
只要 10分
设恒成立，
所以
所以 12分
21． 【解析】（1）∵当，且，时恒成立，
∴， ∴ ， 2分
∴时，∴ ，
时，∴
∴在上是单调增函数 4分
（2）∵在上是单调增函数，且
∴ ， 6分
解得
故所求不等式的解集 8分
（3）∵在上是单调增函数，，
∴， 9分
若对于所有，恒成立，
则，恒成立， 10分
即，恒成立，
令，
要使在恒成立，
则必须，解得，或 11分
则的取值范围是 12分
22．【解析】（1）由得，由得；
（2）既是奇函数有为增函数，
因为且
所以且
即
所以
即
所以；
（3）因为在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
所以即在上恒成立，
令，则即即..