数学备战考试优质试题100例 专题5.3不等式（第02期）（必修5）解析版 Word版含解析

1．设，则下列不等式一定成立的是（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )考点：不等式的性质．
2．若不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.或
【答案】D
【解析】根据
( http: / / www.21cnjy.com )画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，
自直线经过原点起，向上平移，当时，
( http: / / www.21cnjy.com )表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，
( http: / / www.21cnjy.com )表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，
( http: / / www.21cnjy.com )表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
图1
图2
图3
考点：平面区域与简单线性规划.
3．已知变量x,y满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )
则的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．(3,6]
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划，斜率.
4．当时，的最小值为（
）
A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】D
【解析】
试题分析：因为所以＝16.
考点：基本不等式的应用.
5．已知实数满足
( http: / / www.21cnjy.com )，则目标函数的最大值为（
　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：作出可行域如图：
( http: / / www.21cnjy.com )
再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.
考点：线性规划问题.
6．不等式的解集是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )考点：一元二次不等式的解法
7．（2006 广东）在约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：简单线性规划的应用．
8．[2014·沈阳四校联考]下列各点中，与点(1,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(　　)
A．(0,0)
B．(－1,1)
C．(－1,3)
D．(2，－3)
【答案】C
【解析】点(1,2)使x＋y－1>0，
点(－1,3)使x＋y－1>0，
∴此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．
9．（5分）（2011 天津）设变量x，y满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )则目标函数z=3x﹣y的最大值为（
）
A.﹣4
B.0
C.
D.4
【答案】D
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．
10．若，满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最大值是(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】（C）
【解析】
试题分析：，满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )如图所示.
目标函数化为.所以z的最大值即为目标函数的直线在y轴的截距最小.所以过点A最小为1.故选（C）.
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：1.线性规划的知识.2.数学结合的数学思想.
11．已知点与点在直线的两侧，且，
则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )考点：简单线性规划
12．已知点与点在直线的两侧，且，
则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.
13．实数x，y满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最小值是（
）
A．5
B．–6
C．10
D．–10
【答案】B
【解析】
试题分析：约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )对应的平面区域如下图示：
( http: / / www.21cnjy.com )
当直线z=2x+4y过（3，-3）时，Z取得最小值-6．
故选B．
考点：简单线性规划．
14．若实数满足
( http: / / www.21cnjy.com )，则的值域是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
15．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )所表示的区域上一动点，则的最小值为(　
　)
A.
2
B.
1
C.
D.
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )
16．若，则的最小值为(
)
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
【答案】D
【解析】，当且仅当，即，即时取等号，所以最小值为4，选D.
17．已知，则的最小值是(　　)
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )
18．不等式的解集是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】，数轴标根得：，选B.
19．已知集合，则下列结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )
20．若不等式对满足的所有都成立，则x的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】不等式化为：，令，则时，恒成立
所以只需即，
所以x的范围是，选D.
21．若不等式的解集是R，则m的范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )22．若为实数，则下列命题正确的是（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【解析】
试题分析.
A
若，则不成立；C
对两边都除以，可得，C不成立；D令则有所以D不成立，故选B.
考点：不等式的基本性质.
23．已知点M(x，y)是平面区域
( http: / / www.21cnjy.com )内的动点，则的最大值是(
)
(A)10
(B)
(C)
(D)13
【答案】D
【解析】
试题分析：解：
点M(x，y)所在的平面区域
( http: / / www.21cnjy.com )如下图中的阴影部分，设点
的坐标为
由图可知当最大时，点M应在线段上；而
( http: / / www.21cnjy.com )
的最大值是13.
故应选D.
考点：1、二元一次不等式（组）所表示的平面区域；2、两点间的距离公式.
24．不等式的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )考点：分式不等式
25．函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：由二次根式的定义可得,所以函数的定义域为,故选A.
考点：定义域
一次不等式
26．下列命题正确的是(
)
A．若,则
B．若则
C．若,则
D．若,则
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )考点：1.基本不等式的应用.2.三角函数的知识.3.对数的知识.4.不等式的性质.
27．设变量满足，则的最大值和最小值分别为（
）
A．1，-1
B．2，-2
C．1，-2
D．2，-1
【答案】B
【解析】
试题分析：变量满足的区域如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
当过点A（1,0）时，z最大，当过点B（-1,0）时，z最小，
即最大值为2，最小值为-2.
考点：线性规划.
28．已知函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是
(
)
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意得：解得或因此.
考点：分段函数单调性，数列单调性
29．已知,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为(
)
A.(-∞,3]
B.[2,3]
C.(2,3]
D.(2,3)
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
30．已知，且，则下列结论恒成立的是
(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：当都是负数时，不成立，当一正一负时，不成立，当时，不成立，因此只有是正确的.
考点：基本不等式.
31．已知集合，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )考点：1.一元二次不等式的解法；2.绝对值不等式的解法；3.集合的运算.
32．设、，若，则下列不等式中正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：当时，，当时，，∴，∴，
考点：不等式的性质.
33．原点和点在直线
的两侧，则实数的
取值范围是
A.
B.
C.
或
D.
或
【答案】B
【解析】
试题分析：分别把原点和点代入直线得到不等式组，
所以，选B
考点：点位于直线两侧的充要条件
34．设，则下列不等式中一定成立的是
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：A．
故A正确；B中，故B不正确，D中，故D不正确；C中当，故C不正确
考点：不等式的性质
35．不等式的解集是
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：
考点：分式不等式的解法
36．若原点和点分别在直线的两侧，则的取值范围是
A．
B．
C．或
D．或
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )考点：点位于直线两侧的充要条件
37．设，则下列不等式一定成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：A．
故A正确；B中，故B不正确，D中，故D不正确；C中当，故C不正确
考点：不等式的性质
38．已知不等式的解集为,则不等式的解集为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )考点：本题考查一元二次不等式的解法．
39．已知,则下列推证中正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：A
当时不成立；B
当时不成立；D
当均为负值时，不成立.
考点：本题主要考查不等式的性质.
40．设变量、满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )则目标函数的最小值是（
）
A．－7
B．－4
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
试题分析：
( http: / / www.21cnjy.com )
法一：由可得交点C，由可得交点B，由可得交点A，分别代入目标函数可得最小值－7．法二：画出如上图像，数形在结合易得B处取得最小值．
考点：本题主要考简单的线性规划问题．
41．设非零实数满足，则下列不等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D
( http: / / www.21cnjy.com )考点：不等式的性质.
42．实数、满足
( http: / / www.21cnjy.com )
则=的取值范围是(
)
A.
[－1,0]
B.
－∞,0]
C.
[－1,+∞
D.
[－1,1
【答案】D
【解析】
试题分析：作出满足不等式组约束条件的平面区域，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
∵表示区域内点与点连线的斜率，又∵当，时，，直线与平行时，，∴的取值范围为，故选D．
考点：1、简单的线性规划；2、直线斜率．
43．已知满足不等式
( http: / / www.21cnjy.com )设，则的最大值与最小值的差为（
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
1
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划．
44．若实数满足，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划求最值.
45．若函数满足：，则的最小值为(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】
试题分析：根据①,有②，由①②联立,消去得，当；当，所以.
考点：方程组思想求函数解析式;均值不等式;
46．若实数满足，则的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划求最值.
47．已知正数a,b满足4a＋b=30，使得取最小值的实数对(a,b)是
A．(5，10）
B．(6，6)
C．(10，5)
D．(7，2)
【答案】A
【解析】
试题分析：由基本不等式可得：（）（4a＋b）当且仅当时取等号，再由4a＋b=30，可解a=5，b=10.
考点：基本不等式的应用.
48．设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是(　　)
(A)b-a>0
(B)a3+b3<0
(C)a2-b2<0
(D)b+a>0
【答案】D
【解析】∵a-|b|>0,∴|b|0,
∴-a0.
49．设其中实数满足
( http: / / www.21cnjy.com )，若的最大值为，则的最小值为(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )考点：简单线性规划
50．不等式的解是___________.
【答案】（或）
【解析】
试题分析：可转化为整式不等式，，也可分类讨论即分子与分母异号．
考点：解分式不等式．
51．当时，函数的最小值是_______________.
【答案】3
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：均值不等式求最值.
52．已知实数满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com ),则的最小值为
．
【答案】3.
【解析】
试题分析：如图所示，令，当过A点时，Z取到最小值为.
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：线性规划问题（求线性目标函数的最小值）.
53．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为________．
【答案】.
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划.
54．已知点在不等式组所表示的平面区域内，则
的最大值为
．
【答案】6．
【解析】
试题分析：画出可行域：
( http: / / www.21cnjy.com )，再画出；平移到经过点Ｂ(2,2)时，目标函数z取得最大值为：；故应填6.
考点：线性规划.
55．设x，y满足约束条件：
( http: / / www.21cnjy.com )；则z=x﹣2y的最大值为
.
【答案】3
【解析】
试题分析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z=x﹣2y过点A（3，0）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：简单线性规划．
56．[2013·广东六校联考]已知正实数x，y满足xy＝1，则(＋y)(＋x)的最小值为________．
【答案】4
( http: / / www.21cnjy.com )57．已知实数,满足条件
( http: / / www.21cnjy.com )
则的最大值为
．
【答案】
【解析】
试题分析：可行域为三角形OAB及其内部,其中.当曲线过点B时，取最大值
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：线性规划求最值
58．若不等式对任意正实数恒成立,则正实数的最小值为
．
【答案】4
【解析】
试题分析：，，因此最小值为4．
考点：基本不等式．
59．设
a∈R，若x>0时均有，则a=
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )60．已知，，则的最小值为
.
【答案】3
( http: / / www.21cnjy.com )考点：基本不等式及其应用.
61．不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】
试题分析：原不等式可化为，故解集为.
考点：一元二次不等式的解法.
62．不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】
试题分析：原不等式可化为，故解集为.
考点：一元二次不等式的解法.
63．已知实数、满足不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最大值是____________．
【答案】20
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的可行域，如图四边形内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最大值20．
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：线性规划．
64．已知偶函数f（x）在[0，∞）上是增函数，则不等式的解集是
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )考点：1.偶函数的性质；2.解不等式.
65．观察下列不等式：1＞，1++＞1，1+++
+＞，1+++
+＞2，1+++
+＞，
，由此猜测第n个不等式为
（n∈N
）．
【答案】1+++
+＞
【解析】
试题分析：观察给出的不等式，;;;
,;
由此猜测第n个不等式为.
考点：归纳推理
66．在平面直角坐标系中，若点到直线的距离为，且点在不等式表示的平面区域内，则
.
【答案】6
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
67．若x，y满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最大值是.
【答案】0
【解析】约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )的可行域如图所示，即△ABC部分，
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
目标函数过A（0,O3）时值最大，最大值为1-1=0.
【考点】线性规划.
68．函数的最小值为.
【答案】2
【解析】
试题分析：由于，所以由重要不等式得.
考点：重要不等式及指数函数.
69．函数的最小值为_____．
【答案】3
【解析】
试题分析：
考点：基本不等式.
70．已知向量=（x，2），=（1，y），其中x＞0，y＞0．若 =4，则+的最小值为
．
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )考点：基本不等式求最值
71．已知正数满足，则的最小值为
．
【答案】9
【解析】
试题分析：由，得
，当且仅当，即，也即时等号成立，故最小值是9．
考点：基本不等式．
72．已知，函数的图象过（0，1）点，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
试题分析：因为函数过点,把点带入函数可得，所以.当且仅当时取等号.故填
考点：基本不等式
73．函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_______.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：对数函数的图象和性质，基本不等式的应用.
74．设实数满足不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )则的取值范围是
.
【答案】
【解析】如图，已知不等式组表示的平面区域是内部（含边界），表示的是此区域内点到原点距离的平方，从图中可知这个距离的最小值为1，最大值为2，因此的取值范围是．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】不等式组表示的区域．
75．函数，的值域为_________.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )考点：本题主要考查分离变量法求函数的值域，不等式的性质.
76．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：当时，恒成立；当时，，故
考点：一元二次不等式的解法
77．若变量、满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最大值为
.
【答案】1
【解析】
试题分析：可行域为如图所示三角形内部（包括边界）
( http: / / www.21cnjy.com )
则
考点：线性规划问题
78．设变量满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )则的取值范围是.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】
考点：线性规划问题
79．对于实数和，定义运算“”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
试题分析：由定义运算“
”可知
( http: / / www.21cnjy.com )
，画出该函数的图像
( http: / / www.21cnjy.com )
如图所示，从而可得，又因为要有三个不同的解，所以，所以，所以的取值范围是.
考点：1.函数的零点；2.新定义新运算；3.基本不等式.
80．若实数满足条件
( http: / / www.21cnjy.com )，则的最大值是________.
【答案】
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划.
81．已知，若存在，使得任意恒成立，且两边等号能取到，则的最小值为
.
【答案】
【解析】
试题分析：
，对于任意恒成立，即为函数的最小值，为函数的最大值；若两边等号能取到，则至少为的一个周期，所以最小值为.
考点：三角恒等变换、不等式恒成立问题.
82．已知变量满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )则的最大值是_________.
【答案】
【解析】可行域表示为三角形及其内部,
因此直线过点时取最大值：
考点：线性规划求范围
83．已知变量满足约束条件
( http: / / www.21cnjy.com )则的取值范围是_________.
【答案】，
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划求范围
84．已知正数满足，则的最小值为
．
【答案】9
【解析】
试题分析：因为，当且仅当即时取等号，所以的最小值为9.
考点：基本不等式求最值
85．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )所表示的平面区域内一动点，则线段|OP|的最小值等于
.
【答案】
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )
考点：线性规划
距离最小
86．不等式解集是_____________________.
【答案】
【解析】
试题分析：设，则
( http: / / www.21cnjy.com ).由，解得，所以解集为
考点：分段函数图像
不等式
87．若实数
( http: / / www.21cnjy.com ),
则目标函数的最大值是
．
【答案】2
( http: / / www.21cnjy.com )考点：线性规划问题。
88．若，则的最小值为
；
【答案】4
【解析】
试题分析：因为所以，当且仅当即时取。
考点：基本不等式。
89．函数y＝x＋(x≠0)的值域是________．
【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)
【解析】当x>0时，y＝x＋≥2＝4，当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－4.
90．设常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】9x＋≥2
＝6a，所以6a≥a＋1，即a≥
91．不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )所表示的平面区域的面积是________．
【答案】25
( http: / / www.21cnjy.com )92．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为______．
【答案】{x|x<－lg2}
【解析】由条件得－1<10x<，即x<－lg2
93．已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若，且，求证：．
【答案】（1）（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据绝对值不等式的公式求的解集，因为解集又为，根据对应相等可得的值.（2）由（1）知.根据柯西不等式或基本不等式证明即可.
试题解析：解：（1）因为，
所以等价于，
2分
由有解，得，且其解集为．
4分
又的解集为，故．
（5分）
（2）由（1）知
，又，
7分∴
9分
(或展开运用基本不等式)
∴
．10分
考点：1绝对值不等式;2柯西不等式;3基本不等式.
94．解关于x的不等式：≤
【答案】详见解析
( http: / / www.21cnjy.com )当m>0时，原不等式的解集为
当
1当
m=-1时，原不等式的解集为
当m<-1时，原不等式的解集为
考点：1．分式不等式的解法；2．分类讨论思想．
95．已知关于的不等式
的解集为｛x∣x<1或x>b｝
（1）求的值
（2）解关于的不等式
【答案】(1)
;(2)
（1，2）．
【解析】
( http: / / www.21cnjy.com )考点：一元二次不等式的解法．
96．设是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的,不等式恒成立,
求实数的取值范围
【答案】
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若由（2）得成立，则时恒成立，即
，
14分
实数的取值范围
15分
考点：
分段函数，不等式恒成立
97．已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
( http: / / www.21cnjy.com )考点：1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.
98．画出不等式组
( http: / / www.21cnjy.com )表示的平面区域．
【答案】如图
( http: / / www.21cnjy.com )
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99．函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围；
(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）[－6，2]（2）[－7，2]
【解析】(1)∵x∈R，f(x)≥a恒成立，
∴x2＋ax＋3－a≥0恒成立，则Δ＝a2－4(3－a)≤0，得－6≤a≤2.
∴当x∈R时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－6，2]．
(2)f(x)＝＋3－.
讨论对称轴与[－2，2]的位置关系，得到a的取值满足下列条件：
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )或
( http: / / www.21cnjy.com )
即或或
解得－7≤a≤2.∴当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围为[－7，2]．
100．解关于x的不等式(1－ax)2<1.
【答案】当a<0时，原不等式解集为；当a>0时，原不等式解集为
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A(1,1)
B(0,3)
C
x
y
O