18.5 分式方程 教案
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文档简介
18.5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
◇教学目标◇
1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.
2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.
3.能熟练解分式方程.
4.经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.
5.体会解分式方程的转化思想，以及转化时需满足的条件.
6.在探索活动和解方程中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.
◇教学重难点◇
教学重点
探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.
◇教学过程◇
一、情境导入
甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少件服装？
二、合作探究
探究点1 分式方程的概念
典例1 下列关于x的方程中，是分式方程的是 （ ）
A.3x＝ B.
C.＝2 D.3x－2y＝1
［解析］ 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可判断.A是整式方程中的一元一次方程，不符合题意；B是整式方程中的一元一次方程，不符合题意；C是分式方程，符合题意；D是整式方程中的二元一次方程，不符合题意.
［答案］ C
探究点2 分式方程的解法
典例2 解方程.
［解析］ 方程两边乘x（x－3），得2x＝3x－9.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x（x－3）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
典例3 解方程：＝3.
［解析］ 去分母，得（x－1）＋3x（x＋1）＝3（x＋1）·（x－1），
去括号，得x－1＋3x2＋3x＝3x2－3，
合并同类项，得4x＝－2，
解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解.
所以原分式方程的解是x＝－.
探究点3 分式方程的增根
典例4 关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为 （ ）
A.1 B.3 C.4 D.5
［解析］ 方程两边都乘（x－1），得7x＋5（x－1）＝2m－1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x－1）＝0，解得x＝1，当x＝1时，7＝2m－1，解得m＝4.
［答案］ C
技巧点拨分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
典例5 阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程＝1的解为正数，那么a的取值范围是什么？经过交流后，形成下面两种不同的解析：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a－2.因为解是正数，可得a－2>0，所以a>2.
小强说：本题还要满足a≠3，所以a取值范围是a>2且a≠3.
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程＝2有整数解，求整数m的值.
［解析］ （1）小强的说法对，理由如下：
解分式方程，得到方程的解为x＝a－2，
因为解是正数，可得a－2>0，即a>2，
同时a－2≠1，即a≠3，
则a的范围是a>2且a≠3.
（2）去分母，得mx－1－1＝2x－4，
整理，得（m－2）x＝－2，
当m≠2时，解得x＝－，
由方程有整数解，得到m－2＝±1，m－2＝±2，且≠2，
解得m＝3，4，0.
三、板书设计
分式方程及其解法
分式方程及其解法
◇教学反思◇
本节课的内容是分式方程的定义和分式方程的解法，难点是分式方程产生增根的原因，教学中鼓励学生进行反思和自主探索，并与同学共同合作交流，让学生主动地获得知识，而且在学习过程中产生积极的学习兴趣，理解解分式方程的转化思想，让学生在以后的学习中能运用“转化”的数学思想，解决问题.在教学过程中，教师应精心创设求知情境.充分发挥学生主体作用，调动学生学习的积极性和主动性，积极参与教学活动，成为知识的发现者，使学生自觉地而不是被动地进行学习.
第2课时 列分式方程解决实际问题
◇教学目标◇
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.
◇教学重难点◇
教学重点
结合实际分析问题列分式方程.
教学难点
分析过程，得到等量关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
为弘扬“敬老爱老”传统美德，某校八（1）班的学生要去距离学校10 km的敬老院看望老人，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果乘汽车的同学早到10 min.已知汽车的速度是骑车学生的4倍，求骑车学生的速度.你能解答吗？
二、合作探究
探究点1 工程问题
典例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
［解析］ 设乙队单独施工1个月能完成总工程的.
记总工程量为1，
根据工程的实际进度，得＝1.
方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
探究点2 行程问题
典例2 某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
［解析］ 设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为h；提速后列车的平均速度为（x＋v）km/h，提速后它行驶（s＋50）km所用时间为 h.
根据行驶时间的相等关系，得.
方程两边乘x（x＋v），得s（x＋v）＝x（s＋50）.
解得x＝.
检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x（x＋v）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
三、板书设计
列分式方程解决实际问题
列分式方程
解决实际问题
◇教学反思◇
本节课的内容是列分式方程解决实际问题，重点是建立分式方程的思维模型，会根据题中的条件找出等量关系，同时列出分式方程，并解答.注重从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对应用题进行了详细的讲解，使学生对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识，同时也对书写的过程有准确的概念.
第1课时 分式方程及其解法
◇教学目标◇
1.理解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用.
2.知道分式方程的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程.
3.能熟练解分式方程.
4.经历“实际问题—分式方程模型”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识.
5.体会解分式方程的转化思想，以及转化时需满足的条件.
6.在探索活动和解方程中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.
◇教学重难点◇
教学重点
探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.
教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.
◇教学过程◇
一、情境导入
甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少件服装？
二、合作探究
探究点1 分式方程的概念
典例1 下列关于x的方程中，是分式方程的是 （ ）
A.3x＝ B.
C.＝2 D.3x－2y＝1
［解析］ 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可判断.A是整式方程中的一元一次方程，不符合题意；B是整式方程中的一元一次方程，不符合题意；C是分式方程，符合题意；D是整式方程中的二元一次方程，不符合题意.
［答案］ C
探究点2 分式方程的解法
典例2 解方程.
［解析］ 方程两边乘x（x－3），得2x＝3x－9.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x（x－3）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝9.
典例3 解方程：＝3.
［解析］ 去分母，得（x－1）＋3x（x＋1）＝3（x＋1）·（x－1），
去括号，得x－1＋3x2＋3x＝3x2－3，
合并同类项，得4x＝－2，
解得x＝－，
经检验，x＝－是原分式方程的解.
所以原分式方程的解是x＝－.
探究点3 分式方程的增根
典例4 关于x的分式方程＋5＝有增根，则m的值为 （ ）
A.1 B.3 C.4 D.5
［解析］ 方程两边都乘（x－1），得7x＋5（x－1）＝2m－1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x－1）＝0，解得x＝1，当x＝1时，7＝2m－1，解得m＝4.
［答案］ C
技巧点拨分式方程的增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.
典例5 阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程＝1的解为正数，那么a的取值范围是什么？经过交流后，形成下面两种不同的解析：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x＝a－2.因为解是正数，可得a－2>0，所以a>2.
小强说：本题还要满足a≠3，所以a取值范围是a>2且a≠3.
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程＝2有整数解，求整数m的值.
［解析］ （1）小强的说法对，理由如下：
解分式方程，得到方程的解为x＝a－2，
因为解是正数，可得a－2>0，即a>2，
同时a－2≠1，即a≠3，
则a的范围是a>2且a≠3.
（2）去分母，得mx－1－1＝2x－4，
整理，得（m－2）x＝－2，
当m≠2时，解得x＝－，
由方程有整数解，得到m－2＝±1，m－2＝±2，且≠2，
解得m＝3，4，0.
三、板书设计
分式方程及其解法
分式方程及其解法
◇教学反思◇
本节课的内容是分式方程的定义和分式方程的解法，难点是分式方程产生增根的原因，教学中鼓励学生进行反思和自主探索，并与同学共同合作交流，让学生主动地获得知识，而且在学习过程中产生积极的学习兴趣，理解解分式方程的转化思想，让学生在以后的学习中能运用“转化”的数学思想，解决问题.在教学过程中，教师应精心创设求知情境.充分发挥学生主体作用，调动学生学习的积极性和主动性，积极参与教学活动，成为知识的发现者，使学生自觉地而不是被动地进行学习.
第2课时 列分式方程解决实际问题
◇教学目标◇
1.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
2.培养学生分析问题、解决问题的能力.
3.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.
◇教学重难点◇
教学重点
结合实际分析问题列分式方程.
教学难点
分析过程，得到等量关系.
◇教学过程◇
一、情境导入
为弘扬“敬老爱老”传统美德，某校八（1）班的学生要去距离学校10 km的敬老院看望老人，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果乘汽车的同学早到10 min.已知汽车的速度是骑车学生的4倍，求骑车学生的速度.你能解答吗？
二、合作探究
探究点1 工程问题
典例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
［解析］ 设乙队单独施工1个月能完成总工程的.
记总工程量为1，
根据工程的实际进度，得＝1.
方程两边乘6x，得2x＋x＋3＝6x.
解得x＝1.
检验：当x＝1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x＝1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
探究点2 行程问题
典例2 某次列车平均提速v km/h.在相同的时间内，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？
［解析］ 设提速前这次列车的平均速度为x km/h，则提速前它行驶s km所用时间为h；提速后列车的平均速度为（x＋v）km/h，提速后它行驶（s＋50）km所用时间为 h.
根据行驶时间的相等关系，得.
方程两边乘x（x＋v），得s（x＋v）＝x（s＋50）.
解得x＝.
检验：因为v，s都是正数，所以当x＝时，x（x＋v）≠0.
所以，原分式方程的解为x＝.
答：提速前列车的平均速度为 km/h.
三、板书设计
列分式方程解决实际问题
列分式方程
解决实际问题
◇教学反思◇
本节课的内容是列分式方程解决实际问题，重点是建立分式方程的思维模型，会根据题中的条件找出等量关系，同时列出分式方程，并解答.注重从审、找、设、列、解、验、答几个步骤对应用题进行了详细的讲解，使学生对解分式方程应用题的步骤和思路有一个清晰而深刻的认识，同时也对书写的过程有准确的概念.
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