(共18张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第2课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
1. 抛物线y＝－a（x－h）2如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
A. a＞0，h＞0 B. a＞0，h＜0
C. a＜0，h＞0 D. a＜0，h＜0
C
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2. （淮安淮阴区月考）对于二次函数y＝－ （x－1）2，下列说法不正确的是
（ D ）
A. 图象开口向下
B. 图象的对称轴是直线x＝1
C. 函数最大值为0
D. y随x的增大而增大
3. 已知二次函数y＝（x－2）2 ，当x 时，y随x的增大而减小.
D
＜2
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4. 已知抛物线y＝－ （x＋1）2.
（1）写出抛物线的对称轴.
解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝－1.
（2）完成下表：
x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
y … －9 －1 …
解： （2）填表如下：
x … －7 －5 －3 －1 1 3 5 …
y … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 …
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（3）在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该抛物线.
（3）如图所示.
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抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2的关系
5. （南阳桐柏一模）将抛物线y＝2x2向右平移1个单位长度得到的抛物线的解析
式为 .
y＝2（x－1）2
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（1）求抛物线的函数解析式.
解：（1）∵抛物线y＝a（x＋4）2经过点M（－3，2），
∴a（－3＋4）2＝2，解得a＝2，
∴抛物线的函数解析式为y＝2（x＋4）2.
（2）说明此抛物线可以由哪条抛物线经过怎样的平移得到.
解：（2）可以由抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度得到.
6. 已知抛物线y＝a（x＋4）2经过点M（－3，2），请解答下列问题：
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（3）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴.
解：（3）∵a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
顶点坐标为（－4，0），对称轴为直线x＝－4.
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平移y＝a（x－h）2的图象时，出现平移方向错误
7. 把抛物线y＝－3（x＋2）2平移后可以得到抛物线y＝－3x2，平移的方法可
以是（ A ）
A. 沿x轴向右平移2个单位长度
B. 沿x轴向左平移2个单位长度
C. 沿y轴向上平移2个单位长度
D. 沿y轴向下平移2个单位长度
A
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8. 已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（2，y3）都在函数y＝a（x－1）2
（a＞0）的图象上，则（ D ）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y3＜y1＜y2 D. y2＜y3＜y1
9. 已知抛物线y＝a（x＋1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB
＝OA，若点C（－4，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（ A ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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10. 已知抛物线y＝a（x－h）2的形状与抛物线y＝－2x2的形状相同，且顶点
为（－2，0），则a＋h的值为（ D ）
A. 0 B. 0或4 C. －4 D. 0或－4
11. （赣州南康区模拟）已知a＞0，设函数y1＝a（x－1）2，y2＝a（x－2）
2，y3＝a（x－3）2.直线x＝m与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（m，
c1），B（m，c2），C（m，c3），下列说法正确的是（ D ）
A. 若m＜1，则c2＜c3＜c1
B. 若1＜m＜2，则c1＜c2＜c3
C. 若2＜m＜3，则c3＜c2＜c1
D. 若m＞3，则c3＜c2＜c1
D
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12. 结论开放 函数y＝ x2，y＝ x2－1和y＝ （x＋1）2的图象具有的共同
特点是开口向上.除此之外，还有其他的共同特点，请写出1个正确的结论：
.
13. 已知在二次函数y＝2（x－h）2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增
大，则h的取值范围是 .
14. 若二次函数y＝（x＋1）2在m≤x≤m＋1（m为常数）的范围内有最小值
1，则m的值为 .
都
有最低点（答案不唯一）
h≤3
－3或0
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15. （盐城大丰区月考）把抛物线y＝a（x－4）2向左平移6个单位长度后得到
抛物线y＝－3（x－h）2.若抛物线y＝a（x－4）2的顶点为A，且与y轴交于
点B，抛物线y＝－3（x－h）2的顶点是M.
求：（1）a，h的值.
解：（1）∵抛物线y＝a（x－4）2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3
（x－h）2，
∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2.
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（2）S△MAB的值.
解：（2）∵抛物线y＝a（x－4）2的顶点为A，且与y轴交于点B，由（1）得
y＝－3（x－4）2，∴点A（4，0），B（0，－48）.
∵抛物线y＝－3（x－h）2的顶点是M，
由（1）得y＝－3（x＋2）2，∴M（－2，0），
∴S△MAB＝ ×｜4－（－2）｜×｜－48｜＝144.
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16. 推理能力 如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物
线y＝a（x－h）2的顶点为点A，且经过点B.
（1）求该抛物线的函数解析式.
解：（1）已知直线y＝－x－2，令x＝0，则y＝－2，∴点B的
坐标为（0，－2）.令y＝0，则x＝－2，∴点A的坐标为（－
2，0）.已知抛物线的函数解析式为y＝a（x－h）2，
顶点为点A（－2，0），且经过点B（0，－2），
∴y＝a（x＋2）2，－2＝4a，解得a＝－ .
∴抛物线的函数解析式为y＝－ （x＋2）2.
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∵点B的坐标为（0，－2），对称轴是直线x＝－2，∴点B'的坐标为（－4，－
2）.则直线OB'的函数解析式为y＝ x.
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（2）若点C 在该抛物线上，求m的值.
解：（2）∵点C 在抛物线y＝－ （x＋2）2上，
∴－ （m＋2）2＝－ ，解得m1＝1，m2＝－5.
∵点B的坐标为（0，－2），对称轴是直线x＝－2，∴点B'的坐标为
（－4，－2）.则直线OB'的函数解析联立方程 解得
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（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使PO＋PB的值最小，求出点P的坐标.
解：（3）如图所示，作点B关于对称轴直线x＝－2的对称点
B'，连接OB'，OB'与对称轴的交点即为点P.
∵点B的坐标为（0，－2），对称轴是直线x＝－2，∴点B'的坐标为（－4，－
2）.则直线OB'的函数解析故点P的坐标为（－2，－1）.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c与y＝a（x－h）2＋k之间的关系
1. 将二次函数y＝x2－6x＋5用配方法化成y＝（x－h）2＋k的形式，下列选项
正确的是（ C ）
A. y＝（x－6）2＋5 B. y＝（x－3）2＋5
C. y＝（x－3）2－4 D. y＝（x＋3）2－9
C
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2. 将抛物线y＝（x－1）2＋5通过平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋
3，则平移的方向和距离是（ D ）
A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
D
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二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
3. （九江都昌期中）对于二次函数y＝ax2－2ax＋3（a≠0），下列说法错误的
是（ C ）
A. 图象的对称轴为直线x＝1
B. 图象一定经过点（2，3）
C. 当x＜1时，y随x增大而增大
D. 当a＞0，m≠1时，am2－2am＋3＞－a＋3
C
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4. 已知二次函数y＝x2－4x＋3.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这个函数的图象.
解：（1）列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y＝x2－ 4x＋3 … 3 0 －1 0 3 …
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（2）写出抛物线的顶点坐标和对称轴.
解：（2）由（1）得抛物线的顶点坐标为（2，－1），对称轴为直线x＝2.
描点画图，得二次函数y＝x2－4x＋3的图象如图所示.
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二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的关系
5. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，b）所在的象限
是（ D ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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6. 一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是
（ D ）
D
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确定函数的最值时，忽略了自变量的取值范围
7. 已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列
说法正确的是（ D ）
A. 有最大值－1，有最小值－2
B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
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8. （张家口一模）如图所示为函数y＝x2－1，y＝x2＋6x＋8，y＝x2－6x＋
8，y＝x2－12x＋35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y＝x2－
6x＋8的图象的序号是（ C ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
C
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9. 在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y
＝ax＋b的图象可能是（ C ）
10. 在二次函数y＝ax2＋2ax＋4（a＜0）的图象上有两点（－2，y1），（1，
y2），则y1－y2 0.（填“＞”“＜”或“＝”）
C
＞
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①abc＜0；
②a＋b＋c＞0；
③a－b＋c＞0；
④2a－b＝0；
⑤8a＋c＜0.
其中正确结论的序号为 .
①②⑤
11. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：
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12. 运算能力 在平面直角坐标系中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y
＝ax2＋bx＋c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2.
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c.
解：（1）由题意y1＝y2＝c，∴x1＝0.
∵对称轴为直线x＝1，∴M，N关于直线x＝1对称，
∴x2＝2，∴当x1＝0，x2＝2时，y1＝y2＝c.
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（2）设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取
值范围.
解：（2）①当x1≥t时，y1＜y2恒成立.②当x1＜x2≤t时，y1＜y2恒不成立.
③当x1＜t，x2＞t时，要使y1＜y2，必有 ＞t，∴2t≤3，∴t≤ .
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13. （上海中考）在平面直角坐标系中，已知直线y＝ x＋6与x轴交于点A，与
y轴交于点B，点C在线段AB上，以点C为顶点的抛物线M：y＝ax2＋bx＋c
经过点B，点C不与点B重合.
（1）求点A，B的坐标.
解：（1）在y＝ x＋6中，令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6）.令y＝0，得x＝－8，∴A（－8，0）.
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（2）求b，c的值.
解：（2）设C ，设抛物线的函数解析式为y＝a（x－m）2＋
m＋6.∵抛物线M经过点B，∴将点B的坐标（0，6）代入，得am2＋ m＋6＝
6，∴m ＝0.
∵m≠0，∴am＝－ ，即m＝－ .
将m＝－ 代入y＝a（x－m）2＋ m＋6，
整理，得y＝ax2＋ x＋6，∴b＝ ，c＝6.
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解：（3）∵CD∥x轴，点P在x轴上，
∴设P（p，0），C .
∵点C，B分别平移至点P，D，∴点B，点C向下平移的距离相同，
∴ m＋6＝6－ ，解得m＝－4.
由（2）知m＝－ ，∴a＝ ，
∴抛物线N的函数解析式为y＝ （x－p）2.
将点B的坐标（0，6）代入，得p＝±4 ，
∴抛物线N的函数解析式为y＝ （x－4 ）2或y＝ （x＋4 ）2.
（3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，连接CD，且CD∥x
轴.如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
1. 教材P35例3变式 下列关于二次函数y＝（x－2）2－3的说法正确的是
（ D ）
A. 图象是一条开口向下的抛物线
B. 图象与x轴没有交点
C. 当x＜2时，y随x增大而增大
D. 图象的顶点坐标是（2，－3）
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2. （常德津市一模）二次函数y＝a（x＋m）2＋k的图象如图所示，下列四个
选项中，正确的是（ A ）
A. m＜0，k＜0 B. m＜0，k＞0
C. m＞0，k＜0 D. m＞0，k＞0
A
3. 已知函数y＝2（x＋1）2＋1，当x 时，y随x的增大而减小.
＜－1
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4. 已知抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2）.
（1）求a的值.
解：（1）∵抛物线y＝a（x－3）2＋2经过点（1，－2），
∴－2＝a（1－3）2＋2，解得a＝－1.
（2）若点A（m，y1），B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较
y1与y2的大小.
解：（2）∵抛物线y＝－（x－3）2＋2的对称轴为直线x＝3，∴点A（m，
y1），B（n，y2）（m＜n＜3）在对称轴左侧.
又∵抛物线开口向下，∴当x＜3时，y随x的增大而增大.∵m＜n＜3，∴y1＜y2.
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二次函数图象的平移
5. 将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛
物线是（ C ）
A. y＝（x－3）2＋4 B. y＝（x＋3）2＋4
C. y＝（x－3）2－4 D. y＝（x＋3）2－4
C
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6. 已知二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象向左平移3个单位长度，再向上平移
4个单位长度，得到抛物线y＝－ （x＋1）2＋3，试确定a，h，k的值.
解：二次函数y＝－ （x＋1）2＋3的图象的顶点为（－1，3），把点（－1，
3）先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点的坐标为（2，－
1），所以原二次函数的解析式为y＝－ （x－2）2－1，
所以a＝－ ，h＝2，k＝－1.
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混淆抛物线的平移与坐标轴的平移
7. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2＋3不动，而把x轴、y轴分别向
上、向右平移2个单位长度，那么在新平面直角坐标系下抛物线的函数解析式
是 .
y＝4（x＋2）2＋1
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8. 二次函数y＝－（x＋1）2＋2图象的顶点所在的象限是（ B ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
9. 二次函数y＝a（x－2）2＋c与一次函数y＝cx＋a在同一平面直角坐标系中
的大致图象是（ B ）
B
B
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10. 几何直观 如图所示，将函数y＝ （x－2）2＋4的图象沿y轴向上平移得
到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为
点A'，B'.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数解析
式是（ B ）
A. y＝ （x－2）2－2 B. y＝ （x－2）2＋7
C. y＝ （x－2）2－5 D. y＝－ x2－1
B
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11. 将抛物线y＝（x＋3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位
长度后，得到的新抛物线经过原点.
12. 当－1≤x≤2时，关于x的二次函数y＝（x－m）2－m2＋1有最小值－2，
则实数m的值为 .
2或4
或－2
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13. （襄阳中考）如图所示，一位篮球运动员投篮时，球从A点出手后沿抛物线
行进，篮球出手后距离地面的高度y（单位：m）与篮球距离出手点的水平距离
x（单位：m）之间的函数关系式是y＝－ （x－ ）2＋ .下列说法正确的
是 .（填序号）
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为3.5 m；
②篮球出手点距离地面的高度为2.25 m.
①
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14. 在平面直角坐标系中，设二次函数y＝－ （x－2m）2＋3－m（m是实
数）.
（1）当m＝2时，若点A（8，n）在该函数图象上，求n的值.
解：（1）当m＝2时，y＝－ （x－4）2＋1.
∵A（8，n）在该函数图象上，∴n＝－ ×（8－4）2＋1＝－7.
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（2）小明说该二次函数图象的顶点在直线y＝－ x＋3上，你认为他的说法正确
吗？为什么？
解：（2）小明的说法正确.理由：由题意，得二次函数图象的顶点是
（2m，3－m），当x＝2m时，y＝－ ×2m＋3＝3－m，
∴二次函数图象的顶点（2m，3－m）在直线y＝－ x＋3上.故小明的说法
正确.
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（3）已知点P（a＋1，c），Q（4m－5＋a，c）都在该二次函数图象上，求
证：c≤ .
解：（3）证明：∵P（a＋1，c），Q（4m－5＋a，c）都在该二次函数的
图象上，∴对称轴是直线x＝ ＝a＋2m－2，
∴a＋2m－2＝2m，∴a＝2，∴P（3，c），
∴c＝－ （3－2m）2＋3－m＝－2m2＋5m－ ＝
－2 ＋ .∵－2＜0，∴c有最大值，为 ，∴c≤ .
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15. 探究拓展 如图所示，已知抛物线y＝－（x－m）2＋1与x轴的交点为点
A，B（点B在点A的右边），与y轴的交点为点C.
（1）写出m＝1时与抛物线有关的三个正确结论.
解：（1）当m＝1时，抛物线的函数解析式为y＝－（x－1）2＋1.
正确的结论：①抛物线的函数解析式为y＝－（x－1）2＋1；
②抛物线开口向下；③抛物线顶点坐标为（1，1）；④抛物线
经过原点；⑤抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；
⑥抛物线的对称轴为直线x＝1.（答案不唯一）
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（2）当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角
形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.
当y＝0时，－（x－m）2＋1＝0，即有（x－m）2＝1.
∴x1＝m－1，x2＝m＋1.∵点B在点A的右侧，
∴A（m－1，0），B（m＋1，0）.∵点B在原点右侧，
∴OB＝m＋1，且m＋1＞0，解得m＞－1.
∵当x＝0时，y＝1－m2，点C在原点下方，
∴OC＝m2－1. 当m2－1＝m＋1时，m2－m－2＝0，∴m＝2或m＝－1（舍去）.
∴存在△BOC为等腰三角形，此时m＝2.
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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 销售利润问题
利用二次函数解决销售利润问题
1. 教材P51习题22.3T2变式 出售某种文具盒，若每个可获利x元，一天可售
出（6－x）个.当一天出售该种文具盒的总利润y最大时，x的值为（ C ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
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2. 某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售
20件.经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4
件，那么将销售单价定为 元时，才能使每天所获销售利润最大.
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3. 某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件.经过
市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件.设该商品
每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元.
（1）求y与x之间的函数解析式.（不必写出自变量x的取值范围）
解：（1）由题意，得A商品每件降价x元时单价为（100－x）元，销售量为
（128＋8x）件，则y＝（128＋8x）（100－x－80）＝－8x2＋32x＋2 560，
即y与x之间的函数解析式是y＝－8x2＋32x＋2 560.
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（2）当A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？
解：（2）∵y＝－8x2＋32x＋2 560＝－8（x－2）2＋2 592，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝2 592，
∴销售单价为100－2＝98（元）.
答：当A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大.
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利用二次函数解决销售利润问题时，忽略自变量的取值范围而出错
4. （济宁汶上二模）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y
（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝－2x2＋80x＋
758，由于某种原因，价格需满足15≤x≤19，那么一周可获得最大利润是
（ B ）
A. 1554元 B. 1556元 C. 1558元 D. 1560元
B
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5. （宿迁中考）某商场销售A，B两种商品，每件进价均为20元.调查发现，如果
售出A种商品20件、B种商品10件，销售总额为840元；如果售出A种商品10件、
B种商品15件，销售总额为660元.
（1）求A，B两种商品每件的售价.
解：（1）设A种商品每件的售价为a元，B种商品每件的售价为b元，
由题意可得 解得
答：A种商品每件的售价为30元，B种商品每件的售价为24元.
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（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销
售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品的售价不低于B种商品的售价.
设A种商品降价m元，如果A，B两种商品销售量相同，当m取何值时，商场销售
A，B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
解：（2）设总利润为w元，
由题意可得w＝（30－m－20）（40＋10m）＋（24－20）（40＋10m）＝－
10（m－5）2＋810.
∵A种商品售价不低于B种商品售价，
∴30－m≥24，解得m≤6，
∴当m＝5时，w取得最大值，此时w＝810，
即当m取5时，商场销售A，B两种商品可获得总利润最大，最大利润是810元.
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6. （滨州中考）春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为
2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）
之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x/（元/张） 40 50
售出电影票数量y/张 164 124
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（1）请求出y与x之间的函数关系式.
解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx＋b，
由表格可得 解得
即y与x之间的函数关系式是y＝－4x＋324（30≤x≤80，且x是整数）.
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（2）设该影院每天的利润（利润＝票房收入－运营成本）为w（单位：元），
求w与x之间的函数关系式.
解：（2）由题意可得w＝x（－4x＋324）－2000＝－4x2＋324x－2000，
即w与x之间的函数关系式是w＝－4x2＋324x－2000（30≤x≤80）.
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（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
解：（3）由（2）知：w＝－4x2＋324x－2000＝－4 ＋4561.
∵ 30≤x≤80，且x是整数，
∴ 当x＝40或41时，w取得最大值，此时w＝4560.
答：该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是
4560元.
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7. 模型观念 某景区旅游商店以每千克20元的价格采购一款旅游食品加工后出
售，销售价格每千克不低于22元，不高于45元.经市场调查发现每天的销售量y
（单位：千克）与每千克的销售价格x（单位：元）之间的函数关系如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式.
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解：（1）当22≤x≤30时，设y关于x的函数解析式为y＝
kx＋b，将（22，48），（30，40）代入解析式，得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋70.
当30＜x≤45时，设y关于x的函数解析式为y＝mx＋n，
将（30，40），（45，10）代入解析式，得 解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋100，
综上，y关于x的函数解析式为y＝
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（2）当每千克的销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销
售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格－采购价格）
×销售量】
解：（2）设销售利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x－20）（－x＋70）＝－x2＋90x－1 400＝－（x－45）2＋625.
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值，为400；
当30＜x≤45时，w＝（x－20）（－2x＋100）＝－2x2＋
140x－2 000＝－2（x－35）2＋450，
当x＝35时，w取得最大值，为450.
∵450＞400，∴当每千克的销售价格定为35元时，销售利
润最大，最大销售利润为450元.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1. （珠海一模）二次函数y＝ax2＋b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的
图象一定不经过（ C ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
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2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数y＝ x2＋1与二次函数y＝－ x2－1的
图象.
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相
同点与不同点.
解：如图所示.
（1）y＝ x2＋1与y＝－ x2－1图象的相同点：形状都是
抛物线，对称轴都是y轴.不同点：抛物线y＝ x2＋1开口
向上，顶点是（0，1）；抛物线y＝－ x2－1开口向下，
顶点是（0，－1）.
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（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点.
解：（2）性质的相同点：开口大小相同.
不同点：抛物线y＝ x2＋1，当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随
x的增大而增大.抛物线y＝－ x2－1，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞
0时，y随x的增大而减小.（答案不唯一）
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抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的关系
3. 将二次函数y＝x2的图象向下平移3个单位长度所得图象的函数解析式为
（ C ）
A. y＝（x－3）2 B. y＝（x＋3）2
C. y＝x2－3 D. y＝x2＋3
4. 把抛物线y＝ax2＋c向下平移3个单位长度后得到抛物线y＝－2x2－1，则平
移前的抛物线的函数解析式为 .
C
y＝－2x2＋2
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确定二次函数的最值时，忽略了自变量的取值范围而出错
5. 函数y＝－x2＋1，当－1≤x≤2时，函数y的最小值是 ，最大值
是 .
－3
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6. 在同一平面直角坐标系中画出y＝3x2＋2，y＝－3x2－1，y＝ x2的图象，则
它们（ A ）
A. 都是关于y轴对称 B. 顶点都在原点
C. 都是抛物线且开口向上 D. 以上都不对
A
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7. 几何直观 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－kx＋2与二次函数y＝
x2＋k的图象可能是（ A ）
8. 推理能力 若点 ， ，（1，y3）都在二次函数y＝x2－3
的图象上，则（ C ）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y3＞y2
A
C
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9. 几何直观 如图所示，两条抛物线y1＝－ x2＋1，y2＝－ x2－1与分别经过
点（－2，0），（2，0）且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为
（ A ）
A. 8 B. 6 C. 10 D. 4
10. 抛物线y＝ax2＋（a＋2）的顶点在x轴的下方，且当x＞0时，y随x的增大
而减小，则a的取值范围是 .
A
a＜－2
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11. 如图所示，二次函数y＝ax2＋c图象的顶点为B. 若以OB为对角线的正方形
ABCO的另两个顶点A，C也在该抛物线上，则a·c的值是 .
－2
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12. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于点A，过点A
与x轴平行的直线交抛物线y＝ x2于点B，C，求BC的长度.
解：当x＝0时，y＝ax2＋3＝3，
则点A的坐标为（0，3）.
∵BC∥x轴，∴点B，C的纵坐标都为3.
当y＝3时， x2＝3，解得x1＝3，x2＝－3，
∴点B的坐标为（－3，3），点C的坐标为（3，3），
∴BC＝3－（－3）＝6.
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13. 探究拓展 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋k交y轴于点A，交x轴
于点B，C，△ABC为等边三角形，BC＝10.
（1）如图①所示，求抛物线的函数解析式.
解：（1）∵△ABC为等边三角形，BC＝10，AO⊥CB，
∴OB＝OC＝ BC＝ ×10＝5，AC＝BC＝10，
∴AO＝ ＝ ＝5 ，∴A（0，5 ），B（－5，0），
C（5，0）.将点A，B的坐标代入y＝ax2＋k，得
解得 ∴抛物线的函数解析式为y＝－ x2＋5 .
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（2）如图②所示，P为AC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AO交AC于点
D，设点P的横坐标为t，PD的长度为d，求d与t的函数解析式.
解：（2）∵C（5，0），A（0，5 ），
∴直线AC的函数解析式是y＝－ x＋5 ，
∴D（t，－ t＋5 ）.
∵P ，
∴PD＝（－ t2＋5 ）－（－ t＋5 ），∴d＝－ t2＋ t.
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第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质
二次函数y＝ax2的图象和性质
1. 教材P32练习变式 对于函数y＝－5x2，下列结论正确的是（ C ）
A. y随x的增大而增大
B. 图象开口向上
C. 图象关于y轴对称
D. 无论x取何值，y的值总是负的
C
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2. （黄冈浠水月考）在同一平面直角坐标系中作函数y＝3x2，y＝－3x2，y＝
－ x2的图象，这些图象的共同特点是（ B ）
A. 都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B. 都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
C. 都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D. 都是关于y轴对称，抛物线开口向下
B
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3. 已知二次函数y＝x2，当x＜0时，y随x的增大而 .（填“增大”或
“减小”）
4. 如果二次函数y＝（m－1）x2＋x（m是常数）的图象开口向上，那么m的
取值范围是 .
减小
m＞1
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5. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝ x2，y＝－ x2的图象，并分别指出
它们的对称轴、顶点坐标、开口方向和y随x的增大而变化的情况.
解：列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝ x2 … 3 0 3 …
y＝－ x2 … －3 － － 0 － － －3 …
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描点画图，得函数y＝ x2，y＝－ x2的图象如图所示.
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两条抛物线的对称轴都是y轴，顶点都是（0，0）.抛物线y＝ x2的开口向上，
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小.
抛物线y＝－ x2的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y
随x的增大而减小.
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比较抛物线y＝ax2的开口大小时，弄混规律而出错
6. 一题多解 如图所示，四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y
＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，求a，b，c，d的大小关系.
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解：解法1：由二次函数y＝ax2的性质知，（1）抛物线y＝ax2的开口大小由｜
a｜决定.｜a｜越大，抛物线的开口越窄；
｜a｜越小，抛物线的开口越宽.
（2）抛物线y＝ax2的开口方向由a决定.当a＞0时，开口向上，抛物线（除顶
点外）都在x轴上方；当a＜0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴下
方.根据以上结论知：a＞b＞0，0＞c＞d.所以a＞b＞c＞d.
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解法2：如图所示，因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，
a），（1，b），（1，c），（1，d），所以，a＞b＞c＞d.
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7. 若二次函数y＝ax2的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ A ）
A. （2，4） B. （－2，－4）
C. （－4，2） D. （4，－2）
8. 几何直观 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一平面直角坐标系中
的大致图象为（ C ）
A
C
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9. 已知a＜－1，点（a－1，y1），（a，y2），（a＋1，y3）都在函数y＝x2
的图象上，则（ C ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
10. 已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4内，函数的最大值与最小值的差
为 .
11. 如图所示，正方形的边长为12，以正方形的中心为原点建立平面
直角坐标系，作出函数y＝ x2与y＝－ x2的图象，则阴影部分的面
积是 .
C
16
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12. 推理能力 已知函数y＝（m＋2） 是关于x的二次函数.
（1）求满足条件的m的值.
解：（1）根据题意得m＋2≠0且m2＋m－4＝2，
解得m1＝2，m2＝－3，
所以满足条件的m的值为2或－3.
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（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值
时y随x的增大而增大？
解：（2）当m＋2＞0时，抛物线有最低点，
所以m＝2，
抛物线的函数解析式为y＝4x2，
所以抛物线的最低点坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大.
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（3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的
增大而减小？
解：（3）当m＝－3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线的函数解析式为y＝－x2，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x＞0时，y随x的增大而减小.
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13. 应用意识 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2.
（1）求S与C之间的二次函数关系式.
解：（1）∵正方形的周长为C cm，
∴正方形的边长为 cm，∴正方形的面积S＝ .
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（2）画出它的图象.
解：（2）作图如图所示.
（3）根据图象，求出当S＝1 cm2时，正方形的周长.
解：（3）由图象可得C＝4 cm.
（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2.
解：（4）由图象可得C≥8 cm.
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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第1课时 几何图形问题
利用二次函数解决图形面积问题
1. 矩形的周长为12 cm，设其一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数解析
式及其自变量x的取值范围均正确的是（ B ）
A. y＝－x2＋6x（3＜x＜6）
B. y＝－x2＋6x（0＜x＜6）
C. y＝－x2＋12x（6＜x＜12）
D. y＝－x2＋12x（0＜x＜12）
B
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2. 已知一个直角三角形的两直角边之和是20 cm，则这个直角三角形面积的最大
值是 .
50 cm2
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3. 教材P57复习题22T7变式 如图所示，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围
成一个矩形场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），
小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S平方米.
（1）写出S关于x的函数解析式.
解：（1）由题意，得
S＝x[40－x－（x－2）＋2]＝－2x2＋44x.
∵
∴2＜x＜21，∴S关于x的函数解析式为S＝－2x2＋44x（2＜x＜21）.
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（2）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值.
解：（2）∵S＝－2x2＋44x＝－2（x－11）2＋242，
∴当x＝11时，S有最大值，最大值为242.
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利用二次函数解决图形面积有关的问题时，忽略自变量的取值范围而
出错
4. （绍兴柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角
墙角（两边足够长），用28米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围
AB，BC两边），设AB＝m米.若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是
15米和6米，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积
S的最大值为（ C ）
A. 193平方米 B. 194平方米
C. 195平方米 D. 196平方米
C
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5. 一种包装盒的设计方法如图所示，ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切
去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，
C，D四点重合于图中的点O，形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE＝
CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取（ C ）
A. 30 cm B. 25 cm C. 20 cm D. 15 cm
C
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6. 应用意识 （石家庄一模）用16米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜
园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成半圆形、矩形、等腰三角形（底
边靠墙）这三种方案（如图所示），最佳方案是（ A ）
A. 方案一 B. 方案二
C. 方案三 D. 三种方案都一样
A
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7. 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 mm，BC＝16 mm，动点P从
点A开始沿边AB向B以1 mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始
沿边BC向C以2 mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P，Q分别从A，B同
时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.
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8. 社区利用一块矩形空地ABCD建了一个小型停车场，其布局如图所示.已知
AD＝56米，AB＝32米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度
为x米的道路.已知铺花砖的面积为880平方米.道路的宽是多少米？
解：已知道路的宽为x米，根据题意，得
（56－2x）（32－2x）＝880，
解得x1＝38（舍去），x2＝6.
答：道路的宽是6米.
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9. 工匠师傅准备从六边形的铁皮ABCDEF中裁出一块矩形铁皮制作工件，
如图所示.经测量，AB∥DE，AB与DE之间的距离为2米，AB＝3米，AF＝
BC＝1米，∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠F＝135°.MH，HG，GN是工匠师傅
画出的裁剪虚线.当MH的长度为多少时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大
面积是多少？
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解：连接CF，交HM，GN分别于点Q，P，如图所示.
∵AF＝BC＝1米，
∠A＝∠B＝90°，∴CF∥AB，
∴∠AFC＝∠BCF＝90°，∴四边形ABCF是矩形.
∵四边形MNGH是矩形，
∴∠HMN＝∠MNG＝90°，MH＝NG，
∴∠HQF＝∠GPC＝90°，MQ＝AF＝NP＝BC＝1米.
∵∠BCG＝∠AFH＝135°，
∴∠HFQ＝∠GCP＝45°，
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∴FQ＝HQ，CP＝GP，
∴FQ＝HQ＝MH－MQ＝MH－1，
∴CP＝MH－1，∴AM＝NB＝MH－1，
∴MN＝AB－AM－NB＝3－（MH－1）－（MH－1）＝5－2MH，∴S矩形
MNGH＝MN·MH
＝（5－2MH）·MH＝5MH－2MH2
＝－2 ＝－2 ＋ ，
∴当MH＝ 米时，矩形铁皮MNGH的面积最大，最大面积是 平方米.
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10. 模型观念 某小区准备把一块长80 m、宽60 m（AB＝60 m，BC＝80 m）
的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化
区为全等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样（EF＝
GH＝MN＝PQ），设AP＝x m（15≤x≤35）.
（1）图中AE的长为 .（用含x的代数式表示）
（x－10）m
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（2）绿化区的面积和活动区的面积能否相等，为什么？
解：（2）绿化区的面积和活动区的面积不能相等.理由：S绿化区
＝4× x（x－10）＝2x2－20x.依题意，得2x2－20x＝2 400，
即x2－10x－1 200＝0，
解得x＝－30或40，都不符合题意，
∴绿化区的面积和活动区的面积不能相等.
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（3）当出口宽为多少米时，活动区的面积最大？最大面积是多少？
解：（3）S活动区＝80×60－（2x2－20x）
＝－2x2＋20x＋4 800＝－2（x－5）2＋4 850.
∵－2＜0，且15≤x≤35，∴当x＝15时活动区的面积最大，最
大面积是4 650 m2.
此时，出口宽为80－2×15＝50（m），
∴当出口宽为50 m时，活动区的面积最大，最大面积是4 650 m2.
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第二十二章 二次函数
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 抛物线形实际问题
利用二次函数解决抛物线形问题
1. 教材P51探究3变式 （天津南开区一模）如图所示是抛物线形拱桥，当拱桥
顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m.有下列结论：①当水面宽度为5m时，
水面下降了1.125m；
②当水面下降1m时，水面宽度为2 m；
③当水面下降2m时，水面宽度增加了（4 －4）m.其中，
正确的结论有（ D ）
D
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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2. 如图所示，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，
喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平
面.安装师傅调试发现，喷头高2.5 m时，水柱落点距O点2.5 m；喷头高4 m时，
水柱落点距O点3 m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4 m.
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3. （温州中考）一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球
门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面
3 m.已知球门OB高为2.44 m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求抛物线的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门.（忽略其他
因素）
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解：（1）∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.
设抛物线的函数解析式为y＝a（x－2）2＋3.
把点A的坐标（8，0）代入，得36a＋3＝0，
解得a＝－ ，
∴抛物线的函数解析式为y＝－ （x－2）2＋3.
当x＝0时，y＝－ ×4＋3＝ ＞2.44，
∴球不能射进球门.
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（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时
他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？
解：（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线的函数解析式为y＝－ （x－2－m）2＋3，
把（0，2.25）代入，得2.25＝－ （0－2－m）2＋3，
解得m＝－5（舍去）或m＝1，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让
足球经过点O正上方2.25 m处.
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确定函数图象时，忽略二次函数自变量的取值范围造成错误
4. 应用意识 一辆汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单
位：秒）的函数解析式是s＝15t－6t2，那么距离s与行驶时间t的函数图象大致
是（ D ）
D
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5. 竖直上抛物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关
系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0（单位：m）是物体抛出
时离地面的高度，v0（单位：m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地
面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为
（ C ）
A. 23.5 m B. 22.5 m C. 21.5 m D. 20.5 m
C
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6. 跨学科·物理 （西安模拟）某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研
究，如图①所示，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的
电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛
物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为（ D ）
A. 160W B. 180W C. 200W D. 220W
D
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7. （甘肃中考）如图①所示为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线
的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y（单位：m）与距离停车棚支柱AO的水平
距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B
（6，2.68）在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD
＝4m，高DE＝1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内.（填“能”
或“不能”）
能
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8. 应用意识 如今我国的大棚种植技术已十分成熟.小明家的菜地上有一个长
为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在离地面高1米
的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所
示的平面直角坐标系.已知大棚上某处离地面的高度y（单位：米）与其离墙体A
的水平距离x（单位：米）之间的关系满足y＝－ x2＋bx＋c，现测得A，B两
墙体之间的水平距离为6米.
（1）直接写出b，c的值.
解：（1）b＝ ，c＝1.
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（2）求大棚的最高处到地面的距离.
解：（2）由y＝－ x2＋ x＋1＝ ＋ ，
可知当x＝ 时，y有最大值 ，
故大棚最高处到地面的距离为 米.
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解：（3）令y＝ ，则有－ x2＋ x＋1＝ ，
解得x1＝ ，x2＝ .又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6－ ＝ （米）.又∵大棚的
长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16× ＝88（平方米），故共
需要准备88×4＝352（根）竹竿.
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为 米的竹竿支架若干，
已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备
多少根竹竿？
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8(共14张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
学科核心
素养 具体内容
抽象能力 通过对实际问题的分析，抽象出二次函数关系，体会二次函数的意
义；通过画出并且分析二次函数的图象，得到二次函数的性质，理
解二次函数系数与图象的关系；通过运用二次函数解决实际问题，
抽象、归纳得到解决实际问题的一般步骤
推理能力 熟练掌握二次函数图象与系数的对应关系，能根据函数图象的位置
确定与系数有关的不等式是否成立，提高推理能力
学科核心
素养 具体内容
运算能力 知道不共线三点可以确定一个二次函数，会灵活运用待定系数法求
二次函数解析式；能运用配方法将二次函数解析式化为y＝a（x－
h）2＋k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象
的开口方向，得出二次函数的最值；会根据二次函数的解析式求二
次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值；知道二次函
数和一元二次方程的关系，会根据二次函数的解析式求图象与坐标
轴交点的坐标
学科核心
素养 具体内容
几何直观 会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数
的草图；能根据图象得到开口、对称轴、顶点、最值、增减性等二
次函数的性质；会用二次函数的图象求一元二次方程的近似值；能
从数形结合的角度深入理解二次函数图象与系数的对应关系
模型观念 会通过分析实际问题的情景确定二次函数的解析式，能有意识地运
用二次函数模型解决实际问题
学科核心
素养 具体内容
应用意识 能运用二次函数解决相应的实际问题，包括面积最值问题、销售利
润问题、抛物线形问题等
创新意识 通过探究二次函数动点型、存在性等综合问题，体会提出猜想、加
以验证的过程，进一步形成独立思考、敢于质疑的科学态度与理性
精神
二次函数的定义
1. （西安碑林区月考）下列函数是二次函数的是（ B ）
A. y＝3x B. y＝x2
C. y＝ D. y＝x2－x（x－1）
2. 二次函数y＝（x－1）（x－2）的一次项系数为 .
B
－3
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根据实际问题列二次函数解析式
3. 在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x（0＜x＜2）的小正方形，如果设
剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ B ）
A. y＝x2 B. y＝4－x2
C. y＝x2－4 D. y＝4－2x
4. 教材P41习题22.1T2变式 国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每
次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数
解析式为 .
B
y＝18（1－x）2
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忽略二次项系数不为0这个条件而出错
5. （咸阳秦都区一模）下列函数中，是y关于x的二次函数的是（ B ）
A. y＝ax2＋bx＋c
B. y＝x（x－1）
C. y＝
D. y＝（x－1）2－x2
B
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6. 某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如
果第二季度共生产零件y万个，那么y关于x的函数解析式是（ B ）
A. y＝60（1＋x）2
B. y＝60＋60（1＋x）＋60（1＋x）2
C. y＝60（1＋x）＋60（1＋x）2
D. y＝60＋60（1＋x）
B
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7. 设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是
（ C ）
A. 正比例函数 B. 一次函数
C. 二次函数 D. 以上均不正确
C
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8. 抽象能力 某地为提高蔬菜作物的产量，搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料
暖房，如图所示，则需要的塑料布y与半径R之间的函数解析式是
.（不考虑塑料布埋在土里的部分）
y＝πR2＋
30πR
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9. 已知y＝（m－4） ＋2x2－3x－1.
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数？
解：（1）由y＝（m－4） ＋2x2－3x－1是关于x的一次函数，得
解得m＝2.
所以当m＝2时，它是y关于x的一次函数.
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（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数？
解：（2）由y＝（m－4） ＋2x2－3x－1是关于x的二次函数，得①m
－4＝0，解得m＝4；②m2－m＝1，解得m＝ ；
③ 解得m＝－1；
④m2－m＝0，解得m＝0或m＝1.
综上所述，当m＝4或 或－1或0或1时，它是y关于x的二次函数.
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9(共10张PPT)
第二十二章 二次函数
数学活动
阅读与思考
下面是某同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务：
二次函数的应用
×年×月×日
今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中
（两个乘数的十位上的数都是2，个位上的数的和等于10），21×29，22×28，
23×27，…，27×23，28×22，29×21.
请你先猜想，积最大的是 × ，并说明理由.
猜想：积最大的是25×25.
25
25
理由如下：
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的
数为（10－x）.
根据题意，得y＝（20＋x）[20＋（10－x）]＝（20＋x）（30－x）＝－（x
＋20）（x－30）……
任务：
（1）上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是 .
A. 数形结合 B. 统计思想
C. 分类讨论 D. 函数思想
D
（2）请补全日记中的解题过程.
解：任务：（2）y＝（20＋x）[20＋（10－x）]＝（20＋x）（30－x）＝－
（x＋20）（x－30）＝－（x－5）2＋625.
∵－1＜0，∴当x＝5时，y取最大值625，
此时20＋x＝25，20＋（10－x）＝25，
∴积最大的是25×25.
解：（3）积最大的是850×850.理由如下：
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为x，
则另一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为（100－x），
∴y＝（800＋x）（800＋100－x）＝－x2＋100x＋720 000＝－（x－50）2＋
722 500.
∵－1＜0，
∴当x＝50时，y取最大值722 500，
此时800＋x＝850，800＋100－x＝850，
∴积最大的是850×850.
（3）下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数
与个位上的数组成的数的和等于100），801×899，802×898，803×897，…，
897×803，898×802，899×801.用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由.
【提出问题】
如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（－1，－2），在x轴上任取一
点M，完成以下操作步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交
点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑
的曲线连接起来.观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
【观察实验】
某数学兴趣小组在探究时发现在x轴上取几个特殊位置的点M，可以求出相对应
的点P的坐标.
例如：取点M（4，0），求点P的坐标.
解：取点M（4，0），过点P作直线x＝－1的垂线，垂足为点B.
设P（4，y），∴PM＝－y.
在Rt△PAB中，根据勾股定理，得
PA2＝PB2＋AB2＝25＋（－2－y）2.
∵点P在AM的垂直平分线上，
∴PA＝PM，∴PM2＝PA2，
由此可列关于y的方程：
（－y）2＝25＋（－2－y）2，
解得y＝－ .
∴P（4，－ ）.
【解决问题】
（1）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并
完成下列表格.
点M的坐标 … （－4，0） （－3，0） （－1，0） （1，0） （3，0） （4，0）
点P的坐标 … （－4， ） （－3，－2） （－1，－1） （1， ） （3，－5） （4，－ ）
－
－ 2
（3）兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若M点只能在－7
＜x＜6的范围内移动，则y的取值范围是 .
解：（2）由题干（1）表格中点P的坐标易得曲线L的解析式为
y＝－ x2－ x－ .
－ ＜y≤－1
（2）请你帮该数学兴趣小组求出点P（x，y）所在曲线L的解析式.(共34张PPT)
第二十二章 二次函数
本章综合提升
1. 数形结合思想
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结
合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结
合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.
在本章中，借助于图象研究二次函数的性质，将抛物线的几何特征与解析式
系数的数量特征紧密结合，便体现了数形结合思想的应用.
【例1】 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（－2，0），（3，0）.
下列结论：
① ＞0；②c＝2b；③若抛物线上有点 ，（－3，y2）， ，
则y2＜y1＜y3；④方程cx2＋bx＋a＝0的解为x1＝ ，x2＝－ .其中正确的有
（ D ）
D
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【变式训练1】
推理能力 抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝－1，图象过（1，
0）点，部分图象如图所示.
下列判断：
①abc＞0；
②b2－4ac＞0；
③9a－3b＋c＝0；
④若点（－0.5，y1），（－2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；
⑤5a－2b＋c＜0.
其中正确的判断有（ B ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
B
2. 分类讨论思想
在本章中，根据二次函数的性质求其字母参数的值，以及解决二次函数有关
的动点问题，往往需要分类讨论.
【例2】 已知二次函数y＝－（x－h）2（h为常数），当自变量x的值满
足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为（ B ）
A. 3或6 B. 1或6
C. 1或3 D. 4或6
B
【变式训练2】
（西安一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2＋2ax＋3（a≠0）
的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象.当0≤x≤3时，平移
后所得的新二次函数的最大值为9，则a的值为（ C ）
A. 6 B. －2 C. 2或－6 D. －2或6
C
3. 模型思想
所谓模型思想，是指通过对现实问题或情境进行抽象，建立数学模型，并用
数学模型解决类似问题的方法与策略.
在本章中，从现实生活或具体情境中抽象出函数关系，运用二次函数的图象
和性质，以及方程的知识解决实际问题，便体现了模型思想的应用.
【例3】 （孝感模拟）利民超市购进一种新上市的商品，进价为50元/件，
超市先进行了30天的试销售.销售结束后，对试销情况进行了统计分析，得知日
销售量y（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：y＝－2x＋120
（1≤x≤30，且x为整数）；销售价格z（元/件）与销售时间x（天）之间有如
下关系：z＝x＋70（1≤x≤30，且x为整数）.设销售该商品的日利润为w
（元）.
（1）求出w（元）与x（天）之间的函数解析式.
解：（1）由题意，得w＝y（z－50）＝（－2x＋120）（x＋70－50），∴w
＝－2x2＋80x＋2400（1≤x≤30，且x为整数）.
（2）在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大，哪一天的日销售利润最
小？并分别求出这个最大利润和最小利润.
解：（2）∵w＝－2x2＋80x＋2400＝－2（x－20）2＋3200，
∴当x＝20时，w取最大值为3200；当x＝1时，w取最小值为2478.
答：第20天的日销售利润最大，最大利润为3200元；第1天的日销售利润最小，
最小利润为2478元.
（3）在这30天中，日利润不低于2750元的共有几天？
解：（3）由题意，令w＝2750，
∴－2（x－20）2＋3200＝ 2750.
∴x＝5或x＝35.
又日利润不低于2750元，且1≤x≤30，
∴从第5天到第30天日利润不低于2750元，共26天.
【变式训练3】
某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙
足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块区域（如图所示），花
园里种满牡丹和芍药，学校已定购篱笆120米.
（1）设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积.
解：（1）设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面积为S平方
米，则平行于墙的边长为（120－3x）米.
根据题意，得S＝x（120－3x）＝－3x2＋120x＝－3（x－20）2＋1 200.
∵－3＜0，∴当x＝20时，S取最大值1 200，
∴120－3x＝120－3×20＝60，
∴垂直于墙的边长为20米，平行于墙的边长为60米时，花园面积最
大为1 200平方米.
（2）在花园面积最大的条件下，A，B两块区域内分别种植牡丹和芍药，
每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买
费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹.
解：（2）设购买牡丹m株，则购买芍药1 200×2－m＝（2 400－m）株.
∵学校计划购买费用不超过5万元，
∴25m＋15（2 400－m）≤50 000，
解得m≤1 400，∴最多可以购买1 400株牡丹.
1. （广元旺苍一模）已知y＝（m＋1） ＋2x－3是二次函数，则m的值
为（ B ）
A. 0 B. 1 C. －1 D. 1或－1
B
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A. ① B. ② C. ③ D. ①③
2. （北京西城区二模）在下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是
（ C ）
①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系；
②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（100－2x）
件.利润y（元）与每件进价x（元）的关系.
C
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3. （北京朝阳区一模）函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＞0）与y＝
x的图象如图所示，给出下面4个结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜1；③3a
＋b＝0；④当1＜x＜3时，ax2＋（b－1）x＋c＜0.上述结论中，所有正确结
论的序号是 .
①③④
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4. （辽宁盘锦兴隆台区模拟改编）如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴
交于A（－1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）求抛物线的函数解析式.
解：（1）将（－1，0），（5，0）代入y＝ax2＋bx＋5，
得 解得
则抛物线的函数解析式为y＝－x2＋4x＋5.
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（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作
DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积
之比为2∶3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由.
解：（2）能.设直线BC的函数解析式为y＝kx＋m，由（1）可
知C（0，5），把（0，5），（5，0）代入y＝kx＋m，
得 解得
所以直线BC的函数解析式为y＝－x＋5.
设D（x，－x2＋4x＋5），
则E（x，－x＋5），F（x，0）（0＜x＜5），
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∴DE＝－x2＋4x＋5－（－x＋5）＝－x2＋5x，EF＝－x＋5，
当DE∶EF＝2∶3时，S△BDE∶S△BEF＝2∶3，
即（－x2＋5x）∶（－x＋5）＝2∶3，
整理，得3x2－17x＋10＝0，解得x1＝ ，x2＝5（舍去），
此时D点的坐标为 ；
当DE∶EF＝3∶2时，S△BDE∶S△BEF＝3∶2，
即（－x2＋5x）∶（－x＋5）＝3∶2，
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综上所述，当点D的坐标为 或 时，直线BC把△BDF分成面积
之比为2∶3的两部分.
整理得2x2－13x＋15＝0，解得x1＝ ，x2＝5（舍去），
此时D点的坐标为 .
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5. （达州中考）抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐
标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ A ）
A. b＋c＞1 B. b＝2
C. b2＋4c＜0 D. c＜0
6. （泸州中考）已知二次函数y＝ax2＋（2a－3）x＋a－1（x是自变量）的图
象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ A ）
A. 1≤a＜ B. 0＜a＜
C. 0＜a＜ D. 1≤a＜
A
A
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7. （广安中考）如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，
a≠0）的图象与x轴交于点A ，对称轴是直线x＝－ ，有以下结论：
①abc＜0；②若点（－1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2
＋bm≤ a－ b（m为任意实数）；④3a＋4c＝0.其中正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第7题图
B
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8. （自贡中考）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地，地上
两段围墙AB⊥CD于点O（如图所示），其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测
得AE＝6.6m，OE＝1.4m，OB＝6m，OC＝5m，OD＝3m，班长买来可切断
的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积
是 m2.
第8题图
46.4
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9. （烟台中考）每年5月的第三个星期日为全国助残日，某公司新研发了一
批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天
可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情
况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天
的销售利润为y元.
（1）求y与x的函数解析式.每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最
大利润为多少元？
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解：（1）由题意，得y＝（200－x）
＝－0.4x2＋20x＋12000
＝－0.4（x2－50x＋625）＋12250
＝－0.4（x－25）2＋12250.
∵200－x≥180，∴x≤20.
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为
－0.4（20－25）2＋12250＝12240（元）.
答：y与x的函数解析式为y＝－0.4x2＋20x＋12000.每辆轮椅降价20元时，每
天的销售利润最大，最大利润为12240元.
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（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少
辆轮椅？
解：（2）－0.4（x－25）2＋12250＝12160
0.4（x－25）2＝12250－12160
0.4（x－25）2＝90
（x－25）2＝225
解得x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10.
∴售出轮椅的辆数为60＋4× ＝64（辆）.
答：这天售出了64辆轮椅.
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10. （达州中考）如图①所示，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－3，
0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
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（1）求抛物线的解析式.
解：（1）由题意，得y＝a（x＋3）（x－1）＝a（x2＋2x－3）＝ax2＋bx－
3，解得a＝1，b＝2，
则抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
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解：（2）由抛物线的解析式知，点C（0，－3），
D（－1，－4），抛物线的对称轴为直线x＝－1.
如图所示，过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，
在点C上方取点L使CL＝2CG，
过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点.由
点A，C坐标，得直线AC的函数解析式为y＝－x－3.
∵DG∥AC，则直线DG的函数解析式为y＝－（x＋1）－4，
则点G（0，－5），则CG＝5－3＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），则直线LP的函数解析式为y＝－x＋1.
联立上式和抛物线的解析式，得x2＋2x－3＝－x＋1，
解得x＝1或x＝－4，即点P的坐标为（1，0）或（－4，5）.
（2）如图②所示，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P
是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标.
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（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，
C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；
若不存在，请说明理由.
解：（3）存在.设点N（－1，m），由点A，C，N的坐标，得AC2＝18，
AN2＝4＋m2，CN2＝1＋（m＋3）2.当AC＝AN时，则18＝4＋m2，
解得m＝± ，则点N（－1， ）或（－1，－ ）；
当AC＝CN或AN＝CN时，则18＝1＋（m＋3）2或4＋m2＝1＋（m＋3）2，
解得m＝－3＋ 或m＝－1（不合题意的值已舍去），
则点N（－1，－1）或（－1，－3＋ ）.
综上，点N的坐标为（－1， ）或（－1，－ ）或
（－1，－1）或（－1，－3＋ ）.
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10(共19张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
用“一般式”求二次函数的解析式
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如
下表所示：
x … － －1 － 0 1 …
y … － －2 － －2 － 0 …
则该二次函数的解析式为 .
y＝x2＋x－2
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2. （吕梁交口模拟）如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx－2（a＞0）与x轴交于
点A（－1，0），B（2，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P
的横坐标为m.
（1）求抛物线的函数解析式.
解：（1）把A（－1，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx－2，
得 解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－x－2.
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（2）若∠BAP＝45°，求m的值.
解：（2）如图所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则点D的坐标
为（m，0），连接AP，由题意，得点P（m，m2－m－2）.
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∵∠BAP＝45°，∴∠APD＝180°－90°－45°＝45°＝∠BAP，
∴AD＝PD，则m＋1＝｜m2－m－2｜，
解得m＝1或m＝3或m＝－1（不合题意，舍去）.
∴m的值为1或3.
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用“顶点式”求二次函数解析式
3. （荆州沙市区期中）一个二次函数的图象的顶点坐标是（3，－1），与y轴的
交点是（0，－4），这个二次函数的解析式是（ B ）
A. y＝ x2－2x＋4 B. y＝－ x2＋2x－4
C. y＝－ （x＋3）2－1 D. y＝－x2＋6x－12
B
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4. （广州越秀区月考）已知二次函数图象经过点A（1，3），其对称轴为直线x
＝2，函数的最大值为5.
（1）求此函数的解析式.
解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x－2）2＋5且过点A（1，3），∴3＝
a＋5，∴a＝－2，
∴该二次函数的解析式为y＝－2（x－2）2＋5.
（2）当y随x的增大而减小时，求x的取值范围.
解：（2）∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下.
∵对称轴为直线x＝2，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小.
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用“交点式”求二次函数解析式
5. 二次函数的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的函数解析式可能是
（ D ）
A. y＝x2－x－2 B. y＝－ x2＋ x－1
C. y＝－ x2－ x＋1 D. y＝－x2＋x＋2
D
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6. 已知抛物线与x轴交于点A（－3，0），对称轴是直线x＝1，且过点（2，
5），求抛物线的函数解析式.
解：∵抛物线与x轴交于点A（－3，0），对称轴是直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为（5，0）.
设抛物线的函数解析式为y＝a（x－5）·（x＋3）.
将（2，5）代入，得5＝a·（2－5）×（2＋3），解得a＝－ .
∴抛物线的函数解析式为y＝－ （x－5）·（x＋3），
即y＝－ x2＋ x＋5.
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对顶点在哪条坐标轴上不明确，没有分类讨论而出错
7. 若抛物线y＝x2－kx＋k－1的顶点在坐标轴上，则k＝ .
2或0
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8. （商丘梁园区期末）若所求的二次函数图象与抛物线y＝2x2－4x－1有相同的
顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增
大而减小，则所求二次函数的解析式为（ D ）
A. y＝－x2＋2x＋4
B. y＝－ax2－2ax－3（a＞0）
C. y＝－2x2－4x－5
D. y＝ax2－2ax＋a－3（a＜0）
D
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9. 几何直观 如图所示，在平面直角坐标系中放置Rt△ABC，∠ABC＝90°，
点A（3，4）.现将△ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得到△A1B1C1，
△A2B2C2，△A3B3C3，…，连续翻转14次，则经过△A14B14C14三顶点的抛物线的
函数解析式为（ D ）
…
D
A. y＝－ （x－51）（x－55）
B. y＝－ （x－51）（x－55）
C. y＝－ （x－55）（x－60）
D. y＝－ （x－55）（x－60）
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10. 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点A（－3，0），点B在抛物线上，
CB∥x轴，且AB平分∠CAO，则此抛物线的函数解析式是 .
y＝－ x2＋ x＋ 4
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11. 已知在二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表
所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 5 2 m n 5 …
（1）n＝ .
（2）求该二次函数的解析式.
解：（2）根据表格可以得到，点（0，5）与（4，5）是对称点，∴函数图象的
对称轴是直线x＝ ＝2，∴－ ＝2，∴b＝－4.
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（3）若A（x1，y1），B（x1＋1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与
y2的大小.
∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点（0，5），∴c＝5，∴二次函数的解析
式为y＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1.
解：（3）∵A（x1，y1），B（x1＋1，y2）两点都在该函数的图象上，∴y1＝
－4x1＋5，y2＝（x1＋1）2－4（x1＋1）＋5，
∴y2－y1＝2x1－3.①当x1＜ 时，y1＞y2；②当x1＝ 时，y1＝y2；③当x1＞
时，y1＜y2.
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12. 探究拓展 如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A（－3，0），B
（1，0）两点，交y轴于点C.
（1）求抛物线的函数解析式.
解：（1）将（－3，0），（1，0）代入y＝ax2＋bx＋3，得
解得
∴抛物线的函数解析式为y＝－x2－2x＋3.
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（2）连接AC，BC，抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝ S△ABC？若存
在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（2）存在.
∵A（－3，0），B（1，0），∴AB＝4.
∵抛物线y＝－x2－2x＋3与y轴交于点C，
令x＝0，得y＝3，∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×3＝6，
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得 解得
∴直线BC的函数解析式为y＝－3x＋3.
设点P的横坐标为t，则P（t，－t2－2t＋3）.
当－3x＋3＝－t2－2t＋3时，解得x＝ ，
∴S△PBC＝ S△ABC＝3.作PE∥x轴交直线BC于点E，如图所示.设直线BC的
函数解析式为y＝kx＋m.将B，C两点的坐标代入，
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则E ，∴PE＝ －t＝ ，
∴S△PBC＝ × ×3＝3，解得t＝－2或t＝3，
∴P点的纵坐标为－（－2）2－2×（－2）＋3＝3
或－32－2×3＋3＝－12，
∴点P的坐标为（－2，3）或（3，－12）.
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第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
1. 如图所示，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过原点O，与x轴另
一个交点为A点，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是（ D ）
A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 0和一个正根
D
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2. 如表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以
估计一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ C ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … －1.16 －0.71 －0.24 0.25 0.76 …
A. 1.2＜x1＜1.3 B. 1.3＜x1＜1.4
C. 1.4＜x1＜1.5 D. 1.5＜x1＜1.6
C
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3. 若抛物线y＝x2＋6x－m与x轴有公共点，则m的取值范围为 .
4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋16的图象经过点（－2，40）和点（6，－8），求
一元二次方程ax2＋bx＋16＝0的根.
解：将（－2，40）和（6，－8）代入y＝ax2＋bx＋16，得
解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－10x＋16.
当y＝0时，x2－10x＋16＝0，
解得x1＝2，x2＝8.
∴一元二次方程ax2＋bx＋16＝0的根为x1＝2，x2＝8.
m≥－9
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二次函数与不等式
5. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）经过点
（－1，0），对称轴为直线x＝1.若y＜0，则x的取值范围是（ D ）
A. x＜1 B. x＜－1
C. －1＜x＜1 D. x＜－1或x＞3
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6. 如图所示，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m的交点为A（1，－
3），B（6，1）.当y1＞y2时，x的取值范围是 .
x＜1或x＞6
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7. 教材P47习题22.2T5变式 画出函数y＝－ x2－3x－ 的图象，根据图象回
答下列问题：
（1）写出图象与x轴、y轴的交点坐标.
解：（1）y＝－ （x2＋6x＋5）＝－ （x＋3）2＋2，函数图
象如图所示.图象与x轴的交点坐标为（－5，0），（－1，0），
与y轴的交点坐标为.
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（2）当x分别取什么值时，y＞0，y＜0，y＝0？
解：（2）当－5＜x＜－1时，y＞0；
当x＜－5或x＞－1时，y＜0；
当x＝－5或x＝－1时，y＝0.
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把与坐标轴的交点理解成了与x轴的交点而出错
8. 若函数y＝－x2＋4x－2k的图象与坐标轴有两个交点，则k的值为（ C ）
A. k＝2 B. k＝0
C. k＝0或k＝2 D. k＜2
C
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9. （银川一模）如图所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m交于
A（－3，－1），B（0，3）两点.下列结论：①bc＜0；②b2－4ac＞0；③关
于x的不等式ax2＋bx＋c≥kx＋m的解集是－3≤x≤0；④a2－ab＋ac＜0；⑤
关于x的方程ax2＋bx＋c＋4＝0无解.其中正确的有（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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10. 已知m＞n＞0，若关于x的方程x2＋2x－3－m＝0的解为x1，x2（x1＜
x2），关于x的方程x2＋2x－3－n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）.则下列结论正确
的是（ B ）
A. x3＜x1＜x2＜x4 B. x1＜x3＜x4＜x2
C. x1＜x2＜x3＜x4 D. x3＜x4＜x1＜x2
B
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11. 函数y＝x2－4x＋c的图象的顶点及它和x轴的两个交点组成直角三角形，
则c＝ .
12. 已知二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过A（0，3），B 两
点.
（1）求b，c的值.
解：（1）把（0，3）， 分别代入y＝－ x2＋bx＋c，得
解得
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（2）二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点
的坐标；若没有，请说明理由.
解：（2）有.由（1）可得抛物线的函数解析式为
y＝－ x2＋ x＋3.
∵ －4× ×3＝ ＞0，
∴二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象与x轴有公共点.∵－ x2＋ x＋3＝0的
解为x1＝－2，x2＝8，
∴公共点的坐标是（－2，0），（8，0）.
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13. 探究拓展 类比探究二次函数的图象与性质的方法，小明对函数y1＝｜x2－
4｜的图象和性质进行了探究.其探究过程中的列表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … m 0 3 n 3 0 5 …
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（1）求表中m，n的值.
解：（1）把x＝－3和x＝0分别代入y＝｜x2－
4｜中，得y＝5，y＝4，∴m＝5，n＝4.
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … m 0 3 n 3 0 5 …
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（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数
的图象.
解：（2）该函数的图象如图所示.
（3）观察函数图象，写出一条函数的性质.
解：（3）当x取任意实数时，y≥0.（答案不唯一）
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（4）再画出函数y2＝－x＋2的图象.结合你所画的函数图象，利用图象法直接写
出不等式｜x2－4｜＞－x＋2的解.
解：（4）如图所示，在同一平面直角坐标系中画
出函数y＝－x＋2的图象，由图象知，｜x2－4｜
＞－x＋2的解集为x＜－3或x＞－1且x≠2.
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