(共18张PPT)
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第2课时 用画树状图法求概率
用画树状图法求概率
1. 现有三张质地、大小完全相同的卡片，上面分别标有数字－2，－1，1，把卡
片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取
一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率
是（ A ）
A. B. C. D.
A
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2. （济南中考）某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“北斗卫
星”“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们
恰好选择同一个主题的概率是（ C ）
A. B. C. D.
3. （漯河舞阳二模）文房四宝是我国传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、
砚.某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和质量完全相
同，内含对应文房四宝之一的卡片，若从一套四个盲盒（笔墨纸砚盲盒各一个）
中随机选两个，则恰好抽中墨和砚的概率是（ A ）
A. B. C. D.
C
A
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4. 如图所示，小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出
拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么小李获胜的概率为 .
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5. （徐州中考）甲、乙、丙三人到淮海战役烈士纪念塔园林游览，若每人分别从
纪念塔、纪念馆这两个景点中选择一个参观，且选择每个景点的机会相等，则三
人选择相同景点的概率为多少？
解：把纪念塔、纪念馆这两个景点分别记为A，B，
画树状图如图所示.
共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三人选择相
同景点的结果有2种，
∴甲、乙、丙三人选择相同景点的概率为 ＝ .
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物理电路知识不熟，致使判断错误
6. 跨学科·物理 如图所示，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡发光的
概率是 .
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7. 运算能力 随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主
要由黑、白两种小正方形组成.现对由三个小正方形组成的“ ”进行
涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色
小正方形的概率为（ B ）
A. B. C. D.
B
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8. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.如果三枚卵全部成功孵化，则三
只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是（ B ）
A. B. C. D.
B
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9. （佛山三水区三模）通常情况下无色酚酞试液遇酸性溶液（或中性溶液）不变
色，遇碱性溶液变为红色.实验室现有四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液，已
知这四种溶液分别是a.盐酸（呈酸性），b.白醋（呈酸性），c.氢氧化钠溶液
（呈碱性），d.氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种，实验课上老师让学生用无色
酚酞试液检测其酸碱性.学生小刚同时任选两瓶溶液用无色酚酞试液进行检测，
则两瓶溶液恰好都变红色的概率为（ C ）
A. B. C. D.
C
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10. 从1，2，3，4四个数中任取一个数作为AC的长度，又从4，5中任取一个数
作为BC的长度，AB＝6，则AB，AC，BC能构成三角形的概率是 .
11. （聊城中考）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字－ ， ，
0，2，π的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，
两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 .
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12. 应用意识 已知甲同学手中藏有两张分别标有数字 ， 的卡片，乙同学手
中藏有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片大小、外形相同.现从甲、乙两人
手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b.
（1）请你画树状图表示出所有可能的结果.
解：（1）画出树状图表示所有可能的结果如图所示.
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（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2＋bx＋1＝0有两个
不等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜.请问这样的游戏规则公平吗？请你用概
率知识解释.
解：（2）这样的游戏规则不公平.
由（1）知共有6种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等.
代入方程ax2＋bx＋1＝0，计算b2－4ac有6个结果，分别是－1，2，7，0，
3，8.
要使方程有两个不相等的实数根，需满足b2－4ac＞0，这样的结果共有4
个，∴P（甲获胜）＝ ＝ ，P（乙获胜）＝ ， ＞ ，因此这样的游戏规
则不公平.
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13. 数据观念 某校为了解学生平均每天的阅读时长情况，随机抽取了部分学生
进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了如图所示不完整的统计图表.
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10
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根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ .
100
30
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（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心
角度数.
解：（2）∵样本中平均每天阅读时长为
“60＜x≤80”的有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为
“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°.
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（3）若全校共有1 400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学
生人数.
解：（3）∵样本中平均每天阅读时长为
“x＞80”的学生人数为10名，
且10÷100×1 400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数
有140名.
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（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选
择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一
张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用画树状图法，求该同学恰好抽到
《朝花夕拾》和《西游记》的概率.
解：（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》
《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，
C，D标记，画树状图如图所示.
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一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2
种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》）＝ ＝ .
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第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.2 概率
概率的意义
1. 抽象能力 某商场周年庆期间有抽奖活动，中奖概率为 ，则下列说法正确的
是（ C ）
A. 若连续摸奖三次，则至少中奖一次
B. 若连续摸奖两次，则不会都中奖
C. 若只摸奖一次，则也有可能中奖
D. 若连续摸奖两次都不中奖，则第三次一定中奖
C
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概率的计算
2. （广东中考）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文
化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化
开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ A ）
A. B. C. D.
A
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3. 教材P132例2变式 五一期间，商场推出购物有奖活动：如图所示，一个可
以自由转动的转盘被平均分成六份，其中红色1份，黄色2份，绿色3份，转动一
次转盘，指针指向红色为一等奖，指向黄色为二等奖，指向绿色为三等奖（指针
指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘）.转动转盘一次，获得二等奖的
概率为（ C ）
A. 1 B. C. D.
C
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4. 从6张上面分别写着“少”“年”“强”“则”“国”“强”这6个字的卡片
（大小、形状完全相同）中随机抽取一张，则这张卡片上面恰好写着“强”字的
概率是 .
5. （雅安中考）将－2， ，π，0， ，3.14这6个数分别写在6张同样的卡片
上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 .
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6. 把一副普通的扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面朝下放在桌子上，从中随机抽
取一张，求下列事件发生的概率：
（1）抽到点数6.
（1）∵点数为6的只有1张，∴P（抽到点数6）＝ .
（2）抽到人头像.
（2）∵有人头像的共3张，∴P（抽到人头像）＝ .
（3）抽到点数小于5.
（3）∵点数小于5的有1，2，3，4，共4张，
∴P（抽到点数小于5）＝ .
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（4）抽到点数不小于8.
（4）∵点数不小于8的有6张，即8，9，10，J，Q，K，
∴P（抽到点数不小于8）＝ .
（5）抽到黑桃.
解：抽取一张扑克牌，共有13种可能出现的点数，这些点数出现的可能性相等.
（5）∵13张牌全部是黑桃，∴P（抽到黑桃）＝1.
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必然事件、不可能事件的概率
7. 下列说法错误的是（ A ）
A. 概率很小的事件不可能发生
B. 不可能事件发生的概率为0
C. 随机事件发生的概率大于0且小于1
D. 必然事件发生的概率为1
A
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漏掉随机事件可能出现的结果而出错
8. 取5张看上去无差别的卡片，分别在正面写上数字1，2，3，4，5，现把它们正
面朝下洗匀，随机摆放在桌面上.从中任意抽出1张，记卡片上的数字为m，则数
字m使分式方程 －1＝ 无解的概率为 .
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9. 传统文化 剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文
化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.如图所示，小文购买了以“剪纸
图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张.小文将书签背面朝上（背面
完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形
又是中心对称图形的概率是（ C ）
A. B. C. D.
C
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10. 几何直观 如图所示，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称
中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该
正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分
的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为（ B ）
A. P1＜P2 B. P1＝P2
C. P1＞P2 D. 无法判断
第10题图
B
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11. （重庆江北区期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.
如图所示的弦图游戏板，由四个全等的直角三角形与中间的一
个小正方形拼成的一个大正方形游戏板，其中直角三角形的两
直角边之比均为2∶3，假设飞镖投中大正方形区域内每一点是
等可能的（投中直角三角形、小正方形的边界或没有投中游戏
板，则重投1次），现随机地向大正方形内部区域投掷飞镖，
则飞镖投中阴影区域的概率是 .
第11题图
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12. 从－ ，－1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口
向上的概率为 .
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13. 数据观念 有7张除所标数字不同外其余都相同的纸签，分别标有数字1，2，
3，4，5，6，7，小明从中任意抽取一张纸签（不放回），小颖从剩余的纸签中
任意抽取一张，谁抽到的数字大谁就获胜，然后两人把抽到的纸签都放回，重新
开始游戏.
（1）现小明已经抽到数字4，然后小颖抽纸签，那么小明获胜的概率是多少？小
颖获胜的概率又是多少？
解：（1）小明已经抽到数字4，如果小明获胜，小颖只可能抽到数字1，2，3，
∴小明获胜的概率为 ＝ ；如果小颖要获胜，抽到的数字只能是5，6，7，∴小
颖获胜的概率为 ＝ .
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（2）若小明已经抽到数字6，小明、小颖获胜的概率分别是多少？若小明已经抽
到数字1，情况又如何？
解：（2）若小明已经抽到数字6，如果小明获胜，小颖只可能抽到数字1，2，
3，4，5，∴小明获胜的概率为 ；如果小颖要获胜，抽到的数字只能是7，∴小
颖获胜的概率为 .若小明已经抽到数字1，则小明获胜的概率是0，小颖获胜的
概率是1.
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14. 在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，它是
黑色棋子的概率是 .
（1）试写出y关于x的函数解析式.
解：（1）随机取出一颗棋子，共有（x＋y）种可能出现的结果，这些结果出现
的可能性相等.
∵取出一颗黑色棋子有x种可能，∴由题意得 ＝ ，解得y＝ x.
∴y关于x的函数解析式是y＝ x（x为正整数）.
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（2）若往盒子中再放入10颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为 ，求x与y
的值.
解：（2）放入10颗黑色棋子后，再随机取出一颗棋子，共有（x＋y＋10）种可
能出现的结果，这些结果出现的可能性相等.
∵取得一颗黑色棋子有（x＋10）种可能，
∴根据题意，可得 解得 则x的值是15，y的值是25.
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14(共11张PPT)
第二十五章 概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
学科核心
素养 具体内容
抽象能力 通过简单易行的情境感悟随机事件，理解概率是对随机事件发生可
能性大小的度量；认识简单的随机事件，其所有可能发生结果的个
数是有限的，每个可能结果发生的概率是相等的，在此基础上得到
简单随机事件概率的计算方法；通过大量重复试验，发现随机事件
发生频率的稳定性，感悟用频率估计概率的道理，会用频率估计概
率
学科核心
素养 具体内容
运算能力 能用列表、画树状图等方法求出简单随机事件所有可能的结果以及
指定随机事件发生的所有可能结果，进而计算出简单随机事件的概
率；知道经历大量重复试验，随机事件发生的频率具有稳定性，能
用频率估计概率
几何直观 结合几何图形的性质，会通过计算图形面积的比值，求出几何有关
的概率，发展几何直观
模型观念 能通过建立摸球、抽牌等模型，模拟随机事件发生概率的计算过
程，求出较复杂事件的概率
学科核心
素养 具体内容
数据观念 知道可以用定量的方法描述随机现象的变化趋势及随机事件发生的
可能性大小，感悟数据有助于理解和表达生活中随机现象发生的规
律，感知大数据时代数据分析的重要性，养成重证据、讲道理的科
学态度，形成和发展数据观念
应用意识 能运用概率解决游戏公平性问题；能综合运用统计与概率的思维方
法解决简单的实际问题
必然事件、不可能事件和随机事件
1. （宣城模拟）下列诗句所描述的事件中，属于必然事件的是（ A ）
A. 黄河入海流 B. 手可摘星辰
C. 锄禾日当午 D. 大漠孤烟直
2. 下列事件属于不可能事件的是（ D ）
A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯
B. 如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a
C. 班里的两名同学，他们的生日是同一天
D. 度量多边形的外角和，结果是520°
A
D
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事件发生的可能性大小
3. （河北中考）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面
上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（ B ）
B
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7
4. 如图所示，把图中自由转动的转盘的序号按转出黑色（阴影）的可能性从小到
大的顺序排列起来是 .
⑤＜③＜②＜④＜①
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5. （河源紫金期末）在下列事件中，属于随机事件的个数为（ C ）
①标准大气压下，加热到100 ℃时，水沸腾；
②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
③掷一次骰子，向上一面的点数是6；
④任意画一个三角形，其内角和是360°；
⑤经过有交通信号灯的路口时，遇到红灯；
⑥射击运动员射击一次，命中靶心.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
C
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7
6. 跨学科·语文 下列成语或词语：①瓮中捉鳖；②守株待兔；③旭日东升；④
夕阳西下.它们所反映的事件中可能性最小的是 .（只填序号）
②
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7
7. 有一枚质地均匀的正十二面体骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，
3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个面标有“5”，其余面标有“6”，将这
枚骰子掷出后：
（1）哪些数字朝上的可能性一样大？
解：（1）3与6，2与4，1与5朝上的可能性一样大.
（2）哪些数字朝上的可能性最大？
解：（2）标有“3”“6”的面最多，所以3，6朝上的可能性最大.
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7(共18张PPT)
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第1课时 用直接列举法、列表法求概率
用直接列举法求概率
1. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是
（ C ）
A. B. C. D.
C
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2. （泰州海陵区一模）桌面上有A，B，C三个小球按如图所示堆放，每次只可
以取走一个小球，且取走A或B之前需先取走C，直到3个小球都被取走，则第二
个取走的小球是A的概率是（ A ）
A. B. C. D.
A
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3. 教材P136例1变式 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向
上、第二次反面向上的概率是 .
1
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用列表法求概率
4. 模型观念 不透明的袋子中装有红、绿小球各1个，除颜色外两个小球无其
他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么
第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ A ）
A. B. C. D.
A
5. 投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 .
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6. 新情境 现如今，“垃圾分类”已逐渐推广.如图所示，垃圾一般可分为：可
回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾.甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋厨
余垃圾，假如他们随机扔进并排的4个垃圾桶.
（1）直接写出甲扔对垃圾的概率.
解：（1）甲扔对垃圾的概率为 .
1
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（2）用列表法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率.
解：（2）记可回收物桶为A，厨余垃圾桶为B，有害垃圾
桶为C，其他垃圾桶为D. 列表如下：
甲 乙 A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
由表可知，共有16种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等.其中甲、乙
两人同时扔对垃圾的结果只有1种，
∴P（甲、乙两人同时扔对垃圾）＝ .
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混淆了小球放回与不放回的区别
7. 教材P138练习T1变式 一个不透明的袋子里装有2个红球和2个白球，这些小
球除颜色外无其他差别，从袋子中摸出1个小球后，不放回，再随机摸出1个小
球，则两次摸出的小球都是红球的概率为 .
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8. 新情境 2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯
盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务.小亮同学
是航天知识爱好者，他利用边长为16 cm的正方形制作出七巧板如图①所示，并
拼出火箭模型如图②所示.在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点
落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为（ B ）
A. B. C. D.
B
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9. 用如图所示的两个可自由转动的转盘作“配紫色”游戏：分别转动两个转盘，
若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则可配成紫色的概率是
（ C ）
A. B. C. D.
10. （武汉中考）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，
这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的
概率是（ D ）
A. B. C. D.
C
D
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11. 某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小
明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女
生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是 .
12. 运算能力 现有三张分别标有数字2，3，4的卡片，它们除了数字外完全相
同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a（不放
回）；从剩下的卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点（a，b）
在直线y＝ x＋ 上的概率为 .
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13. 应用意识 如图所示，A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的
扇形，转盘A上的数字分别是－6，－1，5，转盘B上的数字分别是6，－7，4
（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）.小聪和小明同时转动A，B两个
转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘A指针指向正数的概率是 .
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（2）若同时转动两个转盘，转盘A指针所指的数字记为a，转盘B指针所指的数
字记为b，若a＋b＞0，则小聪获胜；若a＋b＜0，则小明获胜.请用列表法说
明这个游戏是否公平.
解：（2）列表如下：
转盘A 转盘B －6 －1 5
6 0 5 11
－7 －13 －8 －2
4 －2 3 9
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一共有9种等可能的结果，其中a＋b＞0有4种等可
能的结果，a＋b＜0有4种等可能的结果，
∴P（小聪获胜）＝ ，P（小明获胜）＝ .
∵P（小聪获胜）＝P（小明获胜），
∴这个游戏公平.
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14. 数据观念 （福建中考）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬
宾”，于“五一”期间举办抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的
顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红
球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可
获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放
回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相
同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若
摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖
机会.
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解：（1）顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能
的结果，记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种，
∴P（A）＝ ，
∴顾客首次摸球中奖的概率为 .
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率.
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（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中
加入哪种颜色的球？说明你的理由.
解：（2）他应往袋中加入黄球.理由如下：记往袋中加入的球为“新”，摸得的
两球所有可能的结果列表如下：
第一次 第二次 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 － 黄①，红 黄②，红 黄③，红 新，红
黄① 红，黄① － 黄②，黄① 黄③，黄① 新，黄①
黄② 红，黄② 黄①，黄② － 黄③，黄② 新，黄②
黄③ 红，黄③ 黄①，黄③ 黄②，黄③ － 新，黄③
新 红，新 黄①，新 黄②，新 黄③，新 －
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共有20种等可能结果.
①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美
礼品的概率P1＝ ＝ ；
②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美
礼品的概率P2＝ ＝ .
∵ ＜ ，∴P1＜P2，∴他应往袋中加入黄球.
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第二十五章 概率初步
本章综合提升
1. 方程思想
方程思想是指利用题目中的已知量、未知量之间的数量关系，设出未知数，
建立方程或方程组来解决问题.
本章在解决概率问题时，有时需要根据概率之间的关系通过建立方程解决，
如已知事件的概率和事件发生的可能结果等，可以计算出被研究事件发生的所有
可能的结果数.
【例1】 （泰安肥城期中）在一个口袋中装有4个红球和8个白球，它们除
颜色外完全相同.
（1）从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 .
（2）现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，
要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，求取走了多少个白球.
解：设取走了x个白球，根据题意，得 ＝ ，
解得x＝6.
答：取走了6个白球.
【变式训练1】
运算能力 不透明的盒子中装有红色棋子、蓝色棋子共20个，每个棋子除颜
色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到红色棋子的概率是25％，则蓝色棋子的个
数是（ C ）
A. 5个 B. 10个 C. 15个 D. 18个
C
2. 统计思想
统计思想是指从大量数据中提取有用信息的思维方式和方法，可以帮助我们
了解数据的内在规律，发现数据中的模式和关联性，从而预测未来趋势，做出科
学决策.
本章中当试验所有可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不
相等时，需要统计频率来估计概率，这体现了统计思想的运用.
【例2】 （青岛期末）某校生物兴趣小组要研究某种植物种子的发芽率，
下表是该兴趣小组在相同的试验条件下得到的一组数据：
试验的种子数 200 500 1 200 2 000 3 000 5 000
发芽的种子数 189 474 1 146 1 898 2 856 4 765
发芽的频率 0.945 0.948 x 0.949 y 0.953
（1）填空：x＝ ，y＝ .（结果保留三位小数）
（2）任取一粒这种植物的种子，估计它能发芽的概率是 .（精确到
0.01）
（3）若该校劳动基地需要这种植物幼苗310棵，则至少需要准备 粒
种子进行发芽培育.
0.955
0.952
0.95
327
【变式训练2】
教材P148习题25.3T5变式 某养殖专业户为了估计鱼塘中鱼的数量，第一
次随机从鱼塘中打捞了200条鱼，在每条鱼身上做好标记后放回鱼塘.一周后，再
从鱼塘中随机进行打捞，通过多次试验发现有标记的鱼出现的频率稳定在0.1左
右，则鱼塘中大约有 条鱼.
2 000
1. （清远连州期末）下列事件属于必然事件的是（ A ）
A. 旭日东升 B. 守株待兔
C. 大海捞针 D. 水中捞月
2. （南京建邺区期末）下列事件，发生的可能性最大的是（ B ）
A. 没有水分，种子发芽
B. 抛出的石子会下落
C. 购买一张双色球彩票会中奖
D. 抛一枚硬币，正面朝上
A
B
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3. （扬州宝应期末）在一个不透明的袋中装有2个红球和若干个白球（除颜色外
其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复试验后发现摸出红球
的频率稳定在25％，则袋中白球的数量是（ C ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
C
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4. （临沂蒙阴二模）“七巧板”是中国古代劳动人民的伟大发明，被誉为“东方
魔板”.如图②所示是用图①的七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随
机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（ C ）
A. B. C. D.
C
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5. （平顶山汝州期末）“明天的降水概率为80％”的含义有以下三种不同的解
释：①明天80％的地区会下雨； ②80％的人认为明天会下雨；③明天下雨的可能
性比较大.你认为其中合理的解释是 .（写出序号即可）
③
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6. （郑州金水区期末）如图所示，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有
1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数
字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）.
（1）转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？
解：（1）∵一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，
4，5，6，7，8这八个数字，
∴转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是 ＝ .
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（2）若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字
与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段
能构成三角形的概率.
解：（2）设a＝3，b＝6，小明再转动一次，转出的数字为c，
由三角形的三边关系，得b－a＜c＜b＋a，
即6－3＜c＜6＋3，
∴3＜c＜9，
∴c＝4或5或6或7或8，
∴这三条线段能构成三角形的概率为 .
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7. （内江中考）下列事件是必然事件的是（ B ）
A. 打开电视机，中央台正在播放“嫦娥六号完成人类首次背月采样”的新闻
B. 从两个班级中任选三名学生担任学校安全督查员，至少有两名学生来自同一
个班级
C. 小明在内江平台一定能抢到龙舟节开幕式门票
D. 从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本
是《三国演义》
B
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8. （贵州中考）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概
率为0.4，下列说法正确的是（ A ）
A. 小星定点投篮1次，不一定能投中
B. 小星定点投篮1次，一定可以投中
C. 小星定点投篮10次，一定投中4次
D. 小星定点投篮4次，一定投中1次
A
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9. （深圳中考）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自
然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大
暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大
雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏
季的概率为（ D ）
A. B. C. D.
D
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10. （河南中考）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.
正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这
三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一
张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ D ）
A. B. C. D.
D
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11. （苏州中考）如图所示，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意
转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 .
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12. （长沙中考）某乡镇组织“新农村，新气象”春节联欢晚会，进入抽奖环节.
抽奖方案如下：不透明的箱子里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都
相同），其中红球有2个，黄球有3个，蓝球有5个，每次摇匀后从中随机摸出一
个球，摸到红球获一等奖，摸到黄球获二等奖，摸到蓝球获三等奖，每个家庭有
且只有一次抽奖机会.小明家参与抽奖，获得一等奖的概率为 .
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13. （陕西中考）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白
球，1个黄球.这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小
球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次.
（1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率
是 .
（2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的
概率.
0.3
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第1次 第2次 红 红 红 白 黄
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄）
白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，黄）
黄 （黄，红） （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，黄）
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球的结果有9种，
∴这两次摸出的小球都是红球的概率为 .
解：列表如下：
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14. （临夏州中考）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习
小组在延时课上制作了如图所示的A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容
不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀.
（1）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是 .
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（2）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小夏抽取两张
卡片内容均为化学变化的概率.
解：四张卡片内容中是化学变化的有：A，D，
画树状图如图所示.
共有12种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有：
AD，DA，共2种，
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 ＝ .
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第二十五章 概率初步
25.3 用频率估计概率
模拟试验
1. 如图所示的是小亚用计算机模拟随机投掷一枚啤酒瓶盖的试验的结果.
那么可以推断出当小亚实际投掷一枚啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能
性 “凹面向上”的可能性.（填“＞”“＜”或“＝”）
＜
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用频率估计概率
2. 新情境 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可
或缺的一部分，如图所示为某勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积
为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经
过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码
黑色阴影部分的面积为（ A ）
A. 15 B. 5 C. 0.75 D. 0.25
A
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3. 如表所示是一名同学在罚球线上投篮的结果，根据表中数据，回答下列问题：
投篮次数/n 50 100 150 200 250 300 500
投中次数/m 28 60 78 104 124 153 252
（1）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是多少？（精确到0.1）
解：（1）估计这名同学投篮一次，投中的概率约是0.5.
（2）根据此概率，估计这名同学投篮622次，投中的次数约是多少？
解：（2）622×0.5＝311（次）.
估计这名同学投篮622次，投中的次数约是311次.
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不能正确理解频率与概率的关系，错误地以为频率就是概率
4. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是
（ D ）
A. 频率就是概率
B. 频率与试验次数无关
C. 概率是随机的，与频率无关
D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D
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5. 几何直观 如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部
分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20
cm2的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小
球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试
验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了如图②所示的折线统计图，由此
他估计不规则图案的面积大约为（ B ）
A. 6 cm2 B. 7 cm2 C. 8 cm2 D. 9 cm2
B
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6. 教材P153复习题25T11变式 近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的
候鸟种群越来越多.为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40
只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有
识别卡，由此估计该湿地约有 只A种候鸟.
800
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2
3
4
5
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8
7. 数据观念 一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，它们除颜色外，其他
都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不
断重复试验，根据多次试验结果绘制成下图.
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01），
从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是 .
0.75
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（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球.用画树状图法或列表
法求出摸到一个红球和一个白球的概率.
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解：（2）由（1）知，袋中白球的个数为4×0.75＝3（个），
红球的个数为4－3＝1（个）.
列表表示出所有可能的结果.
第1次 第2次 白 白 白 红
白 — （白，白） （白，白） （红，白）
白 （白，白） — （白，白） （红，白）
白 （白，白） （白，白） — （红，白）
红 （白，红） （白，红） （白，红） —
由表知，共有12种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果，
∴P（摸到一个红球和一个白球）＝ ＝ .
1
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8. 应用意识 如图所示，某商场有一个可以自由转动的圆形转盘.规定：顾客
购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个
区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，需重新转动转盘）.下表
是活动进行中的一组统计数据：
1
2
3
4
5
6
7
8
（1）转动该转盘一次，获得一瓶饮料的概率约为 .（结果保留小数点后
一位）
0.3
（2）经统计，该商场每天约有5 000名顾客参加抽奖活动，一瓶饮料和一支铅笔
单价和为4元，支出的铅笔和饮料的奖品总费用是8 000元，请计算该商场每支铅
笔和每瓶饮料的费用.
解：（2）设该商场每支铅笔x元，每瓶饮料（4－x）元，根据题意，得5 000×
（4－x）×0.3＋5 000x×0.7＝8 000，
解得x＝1，
则4－x＝4－1＝3（元），
即该商场每支铅笔1元，每瓶饮料3元.
1
2
3
4
5
6
7
8
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在6 000元左右，则
转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度.
36
1
2
3
4
5
6
7
8(共14张PPT)
第二十五章 概率初步
数学活动
1. （盐城亭湖区模拟）如图所示，点C，D在线段AB上，且AC∶CD∶DB＝
3∶2∶1.以点A为圆心，分别以线段AC，AD，AB为半径画同心圆，记以AC
为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ.现在此
图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个区域内的豆子数.若大量重复此
实验，则（ A ）
A. 豆子落在区域Ⅰ的概率最小
B. 豆子落在区域Ⅱ的概率最小
C. 豆子落在区域Ⅲ的概率最小
D. 豆子落在区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率相同
A
1
2
3
4
5
6
2. 如图①所示，一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中
撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，
发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比
附近摆动.如图②所示，将一根筷子放在该盘中AB位置，发现三个圆弧刚好将
AB五等分，我们把豆子落入三个区域的概率分别记作P（M），P（N），P
（S），已知P（S）＝ ，则P（M）等于（ A ）
A. B. C. D.
A
1
2
3
4
5
6
3. （武汉期末）如图所示，一只圆形平盘被同心圆划成Ⅰ，Ⅱ两个区域（其中区域
Ⅰ是半径为OM的圆，区域Ⅱ是圆环）.随机向平盘中撒一把豆子，计算落在Ⅰ，Ⅱ
两个区域的豆子数的比，多次重复这个试验，发现落入两个区域的豆子数的比显
示出一定的稳定性，总在两个区域的面积之比附近摆动.把“在图形中随机撒豆
子”作为试验，若事件“豆子落在Ⅰ中”和事件“豆子落在Ⅱ中”的概率相同，小
圆半径OM＝2，则大圆半径ON＝ .
2
1
2
3
4
5
6
4. （济南莱芜区期中）如图所示，将一个封闭的圆形装置内部划分为三个区域，
其中B，C两个区域为圆环，A区域为小圆.
（1）求出A，B，C三个区域的面积.
解：（1）A区域的面积＝π×22＝4π（cm2），
B区域的面积＝π×32－π×22＝5π（cm2），
C区域的面积＝π×52－π×32＝16π（cm2）.
1
2
3
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5
6
（2）若随机往装置内扔一粒黄豆，求黄豆落在B区域的概率.
解：（2）封闭的圆形装置的面积＝π×52＝25π（cm2），
黄豆落在B区域的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
（3）随机往装置内扔150粒豆子，请问：大约有多少粒豆子落在C区域？
解：（3）黄豆落在C区域的概率为 ＝ .
∵ ×150＝96（粒），
∴大约有96粒豆子落在C区域.
1
2
3
4
5
6
5. （西安碑林区模拟）如图所示是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃
K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图所示的4张背面形状相同的半张牌，
并背面向上混合在一起搅匀.小明和小华做游戏，小明先从这4张半张牌中随机抽
取一张（不放回），小华接着再随机抽取一张.
（1）小明抽到半张“黑桃Q”的概率是 .
1
2
3
4
5
6
（2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小明获胜；
否则小华获胜.你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由.
解：（2）游戏不公平，理由如下：
设4张半张牌分别用A，a，B，b表示，
画树状图如图所示.
1
2
3
4
5
6
共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的结果有4种，不能
拼成一张完整的扑克牌的结果有8种，
∴小明获胜的概率为 ＝ ，小华获胜的概率为 ＝ .∵ ≠ ，∴游戏不
公平.
1
2
3
4
5
6
6. 魔术师表演了一个和纸牌相关的魔术，可以说让人大开眼界，实际上隐含了一
个数学问题——约瑟夫问题，不仅仅是一场视觉盛宴，更是一次数学知识的传播
和实践.龙龙和春春玩抽扑克牌游戏，如图所示，他们拿出四张大小、形状和背
面完全相同的扑克牌（扑克牌A当作数字1）.
1
2
3
4
5
6
（1）龙龙将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，春春从中随机抽出一张
牌，则抽到这张牌的花色是 的可能性最大.
A. 红心（ ） B. 梅花（ ） C. 方块（ ）
A
1
2
3
4
5
6
（2）春春将这四张扑克牌背面朝上洗匀后放在桌面上，让龙龙随机抽取一张
（不放回）记下牌面上的数字，接着春春再从剩下的扑克牌中随机抽取一张，记
下牌面上的数字，请用画树状图或列表法求他们抽到的两张扑克牌正面上的数字
之和恰好是偶数的概率.
1
2
3
4
5
6
解：列表如下：
春春 龙龙 1 2 3 4
1 — （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） — （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） — （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） —
共有12种等可能的结果，其中他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶
数的结果有：（1，3），（2，4），（3，1），（4，2），共4种，
∴他们抽到的两张扑克牌正面上的数字之和恰好是偶数的概率为 ＝ .
1
2
3
4
5
6
