(共19张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
圆周角的概念
1. 下列各图中的角，其中为圆周角的是（ B ）
B
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圆周角定理
2. （湖南中考）如图所示，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC，若∠A
＝45°，则∠BOC的度数为（ C ）
A. 60° B. 75° C. 90° D. 135°
第2题图
C
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3. 如图所示，在☉O中，AB是直径，弦AC的长为5 cm，点D在圆上且∠ADC
＝30°，则☉O的半径为 cm.
第3题图
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圆周角定理的推论
4. 如图所示，在☉O中，弦AB，CD相交于点P. 若∠A＝48°，∠APD＝
80°，则∠B的大小为（ A ）
A. 32° B. 42° C. 52° D. 62°
A
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5. （湖北中考）如图所示，AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB
＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BA，BC于点D，E；②
分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线
BP. 则∠ABP＝（ C ）
A. 40° B. 25° C. 20° D. 15°
C
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6. 如图所示，AB是☉O的直径，AB＝AC，BC交☉O于点D，AC交☉O于点
E，∠BAC＝45°.给出以下结论：①∠EBC＝22.5°；②BD＝DC；③ ＝
；④AE＝BC. 其中正确结论的序号是 .
①②③
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7. 如图所示，AB是☉O的直径，C为 的中点，CD⊥AB于点D，交AE于点
F，连接AC，求证：AF＝CF.
证明：如图所示，连接BC.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
即∠ACF＋∠BCD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠ACF＝∠B.
∵C为 的中点，∴ ＝ ，
∴∠B＝∠CAE，∴∠ACF＝∠CAE，
∴AF＝CF.
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忽略一条弦对应的圆周角有两个而致错
8. ☉O的半径是2，弦AB＝2，点C为☉O上的一点（不与点A，B重合），则
∠ACB的度数为 .
30°或150°
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9. 如图所示，在☉O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC
＝19°，则∠BAC＝（ D ）
A. 23° B. 24° C. 25° D. 26°
D
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10. 如图所示，AB为☉O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为
（ C ）
A. 80° B. 75° C. 70° D. 65°
C
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11. 应用意识 如图所示，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点P处
安装了一台监视器，它的监控角度是55°，为了监控整个展区，最少需要在圆形
边缘上共安装这样的监视器 台.
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12. （连云港中考）如图所示，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均
在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋
∠4＝ .
90°
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13. 教材P88练习T3变式 如图所示，OA，OB，OC都是☉O的半径，∠ACB
＝2∠BAC.
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC.
解：（1）证明：∵∠ACB＝ ∠AOB，∠BAC＝ ∠BOC，
∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC.
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（2）若AB＝4，BC＝ ，求☉O的半径.
解：（2）如图所示，过点O作半径OD⊥AB于点E，连接
DB，∴AE＝BE.
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB＝ ∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC. ∴BD＝BC.
∵AB＝4，BC＝ ，∴BE＝2，DB＝ ，
在Rt△BDE中，∠DEB＝90°，
∴DE＝ ＝1.
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，∴OB2＝（OB－1）2＋22，
解得OB＝ ，即☉O的半径是 .
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14. 几何直观 如图所示，☉C经过原点且与两坐标轴分别交于点A（0，2）和
点B（2 ，0）.
（1）求线段AB的长及∠ABO的大小.
解：（1）∵A（0，2），B（2 ，0），
∴OA＝2，OB＝2 .在
Rt△AOB中，AB＝ ＝ ＝4.
如图所示，连接OC. ∵∠AOB＝90°，
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∴AB为☉C的直径，C为AB的中点，
∴AC＝OC＝ AB＝2＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，∴∠ABO＝30°.
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解：（2）在☉C上存在点P，使得△POB是等腰三角形.
如图所示，作OB的垂直平分线MN，交☉C于M，N两点，交OB于点D，连接OM，MB，ON，BN.
由垂径定理，可得MN必经过点C，即MN是☉C的直径.由（1）知∠ABO＝30°，BC＝2，∴CD＝1，DM＝3，
DN＝1.∴M（ ，3），N（ ，－1）.∵MN垂直平分OB，
∴△OBM和△OBN都是等腰三角形，∴M，N均符合P点的要求.
∵MN是☉C的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠OAB＝60°，∴△OBM是等边三角形.
（2）在☉C上是否存在点P，使得△POB是等腰三角形？若存在，请求出
∠BOP的度数；若不存在，请说明理由.
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由于此时同时满足BO＝MO，因此不需要再考虑BO为腰的情况.
∴∠BOM＝60°，∠BMN＝30°，∴∠BON＝30°.
故存在符合条件的P点，分别是P1（ ，3），∠BOP1＝60°；
P2（ ，－1），∠BOP2＝30°.
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
第2课时 圆内接四边形
圆内接四边形的性质
1. 如图所示，四边形ABCD是☉O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数
为（ A ）
A. 95° B. 105° C. 115° D. 125°
A
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2. 如图所示，点A，B，C均在☉O上，若∠ACB＝130°，则∠α的度数为
（ A ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
A
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3. （青岛一模）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，点E
在☉O上，且∠AED＝32°，则∠DCB的度数是（ B ）
A. 116° B. 122° C. 132° D. 148°
B
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4. （深圳龙岗区三模）如图所示，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相
交于点E，F，且∠E＝40°，∠ADC＝85°，那么∠A的度数为 .
45°
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5. 如图所示，四边形ABCD为☉O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与
CD的位置关系是 .
AB∥CD
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6. 推理能力 如图所示，已知A，B，C，D是☉O上的四点，延长DC，AB
相交于点E，若BC＝BE.
求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰三角形.
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认错圆内接四边形的对角致使计算有误
7. 四边形ABCD是☉O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝2∶1∶4，则∠D
＝ 度.
150
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8. 如图所示，在圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，
OD，BD，∠BOC＝2∠COD. 则∠CBD的度数是（ A ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
A
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9. 如图所示，四边形ABCD内接于☉O，点P为边AD上任意一点（点P不与点
A，D重合），连接CP. 若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（ D ）
A. 30° B. 45° C. 50° D. 65°
D
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10. （深圳罗湖区模拟）如图所示，四边形ABCD是☉O的内接四边形，连接
OC，BD，DB平分∠ADC，OC⊥BD，若∠A等于50°，则∠ADB的度数
为 .
11. 在☉O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于
.
25°
60°或
120°
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12. 几何直观 如图所示，四边形ABCD内接于☉O，F是 上一点，且
＝ ，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数.
解：（1）∵四边形ABCD内接于☉O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－125°＝55°.
∵ ＝ ，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC－∠DCE＝55°－25°＝30°.
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（2）若☉O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长.
解：（2）如图所示，连接AO，CO，过点O作
OH⊥AC于点H，
则AO＝CO＝6.
∵四边形ABCD内接于☉O，∴∠B＋∠ADC＝180°.
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°.
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∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝ （180°－∠AOC）＝30°.
∵AO＝6，OH⊥AC，∴OH＝ AO＝3，
由勾股定理，得AH＝ ＝ ＝3 .
∵OH⊥AC，OH过圆心O，∴AH＝CH＝3 ，
∴AC＝AH＋CH＝6 .
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13. 创新意识 定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平
分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角.
如图①所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，如图②所示，四边形ABCD内接于
☉O， ＝ ，四边形ABCD的外角平分线DF交☉O于点F，连接BF并延长
交CD的延长线于点E.
求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
证明：如图所示，延长BC到点T.
∵四边形FBCD内接于☉O，
∴∠FDC＋∠FBC＝180°.
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∵∠FDE＋∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC.
∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE.
∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线.
∵ ＝ ，∴∠ACD＝∠BFD.
∵∠BFD＋∠BCD＝180°，∠DCT＋∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角.
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13(共14张PPT)
第二十四章 圆
数学活动
车轮做成圆形的数学道理
1. （南宁青秀区期中）项目化学习：车轮的形状.
【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？
【合作探究】
（1）探究A组：如图①所示，圆形车轮半径为4 cm，其车轮轴心O到地面的距离
始终为 cm.
（2）探究B组：如图②所示，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为4 cm，
则车轮轴心O最高点与最低点的高度差为 cm.
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2 －2
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（3）探究C组：如图③所示，有一个破损的圆形车轮，半径为4 cm，破损部分是
一个弓形，其所对圆心角为90°，其车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动
一周，求点O经过的路程.
探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定.
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解：（3）如图所示.
从图①运动到图②，点O绕点A旋转了45°，点O的运动距离为 ＝π（cm）；
从图②运动到图③，点O绕点B旋转了45°，点O的运动距离为 ＝π（cm）；
从图③运动到图④，点O移动的距离是圆心角为270°、半径为4 cm的弧长：
＝6π（cm）.
综上，让车轮在地上无滑动地滚动一周，点O经过的路程为π＋π＋6π＝8π（cm）.
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（4）探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时
每刻都有“最高点”，“中心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚
动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的轨迹图案大致是下列选项
中的 .
A
【拓展延伸】如图④所示，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正
三角形的边长为半径作60°圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”.
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探究四点共圆的条件
2. （江门鹤山期末）【综合与实践】九年级同学小明在刘老师的指导下开展“探
究四点共圆的条件”的数学活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.
继续探究如下：
【提出问题】
如图①所示，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，
CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上.
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探究证明过程展示：
如图②所示，作经过点A，C，D的☉O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C
重合），连接AE，CE，则∠AEC＋∠D＝180°（依据1）.
∵∠B＝∠D，
∴∠AEC＋∠B＝180°，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（依据2），
∴点B，D在点A，C，E所确定的☉O上，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上.
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【反思归纳】
（1）上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2：
.
圆内接四边形的对角互补
过不在同一直线上的三个点有
且只有一个圆
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【拓展延伸】
（2）如图③所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A
逆时针旋转，得到△ANM，旋转角为α（0＜α＜90°），连接CM并延长交BN于
点D，连接BM. 小明发现，旋转过程中，点D始终为BN的中点，为验证这一结
论，小明连接AD，判断A，D，B，C四点共圆后可得出结论.
请你帮小明完成探究过程：
①求证：A，D，B，C四点共圆.
②求证：ND＝DB.
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解：（2）①证明：设AB交CD于点O，如图所示.
由旋转变换的性质可知∠CAM＝∠BAN，
∵AC＝AM，AB＝AN，
∴∠ABN＝∠ANB＝∠ACM＝∠AMC，
∴点A，D，B，C四点共圆.
②证明：∵点A，C，B，D四点共圆，
∴∠ADB＋∠ACB＝180°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BN，
∵AB＝AN，∴ND＝DB.
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设计图案
3. 综合实践：
在生活中经常看到一些拼合图案（如图所示），它们或是用单独的正方形或是用
多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案要求严丝合缝，不留空隙.从数学角度
看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类
问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题.
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（1）如果限用一种正多边形来覆盖平面的一部分，正六边形是否能镶嵌成一个
平面图形？请说明理由.
解：（1）能，理由：如限用一种正多边形镶嵌，则一顶点的周围角的和等于360°即可，360°÷120°＝3，
即正六边形能镶嵌成一个平面图形.
（2）同时用正方形和正八边形是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由.
解：（2）能，理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，
那么m，n应是方程90°m＋135°n＝360°的正整数解.
即2m＋3n＝8的正整数解，有m＝1，n＝2，
∴同时用正方形和正八边形能镶嵌成一个平面图形.
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4. 阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图①所示是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图②所示的过程
设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴.
问题解决：
用四块如图①所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图③和
图④中各画一种拼法.
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（1）图③中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形.
解：（1）如图所示（答案不唯一）.
（2）图④中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形.
解：（2）如图所示（答案不唯一）.
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4(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.3 弧、弦、圆心角
圆心角
1. 下面四个图中的角，为圆心角的是（ D ）
2. 已知弦AB把圆周分成1∶9两部分，则弦AB所对圆心角的度数为 .
D
36°
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弧、弦、圆心角之间的关系
3. 下列说法正确的是（ B ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C. 在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D. 相等的弦所对的弧相等
B
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4. （淄博桓台一模）如图所示，☉O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO.
若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（ B ）
A. 50° B. 60° C. 75° D. 85°
第4题图
B
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5. 如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ＝ ，∠COD＝32°，则∠AEO的
度数为 .
第5题图
48°
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6. 如图所示，正方形ABCD内接于☉O，M为 的中点，连接AM，BM，求
证：AM＝BM.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，
∴ ＝ .∵M为 的中点，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴AM＝BM.
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错误地以为弧有2倍关系，对应的弦也有2倍关系
7. 如图所示，在☉O中， ＝2 ，则以下数量关系正确的是（ C ）
A. AB＝AC B. AC＝2AB
C. AC＜2AB D. AC＞2AB
第7题图
C
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8. 如图所示，已知∠AOB＝∠COD，下列结论不一定成立的是（ D ）
A. AB＝CD
B. ＝
C. △AOB≌△COD
D. △AOB是等边三角形
第8题图
D
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9. （北京西城区期中）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务
完成的百分比.如图所示是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图，当任
务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d（x）.下列描述正确的是
（ D ）
A. 当x1＜x2时，d（x1）＜d（x2）
B. 当d（x1）＜d（x2）时，x1＜x2
C. x1＝2x2时，d（x1）＝2d（x2）
D. x1＋x2＝1时，d（x1）＝d（x2）
D
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10. 如图所示，在半径为5的☉A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，
∠EAD，已知DE＝6，∠BAC＋∠EAD＝180°，则圆心A到弦BC的距离等
于 .
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11. 教材P89习题24.1T4变式 如图所示，AB，CD为☉O的两条弦，AB＝
CD. 求证：∠AOC＝∠BOD.
证明：∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB－∠BOC＝∠COD－∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD.
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12. 如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ，∠COD＝60°.
（1）请判断△AOC的形状，并说明理由.
解：（1）△AOC是等边三角形.理由如下：
∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形.
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（2）求证：OC∥BD.
解：（2）证明：∵ ＝ ，∴∠AOC＝∠COD＝
∠AOD.
又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B.
∵∠AOD＝∠ODB＋∠B＝2∠B，
∴∠B＝ ∠AOD，∴∠AOC＝∠B，∴OC∥BD.
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13. 如图所示，∠AOB＝90°，C，D是 的三等分点，AB分别交OC，OD
于点E，F，求证：AE＝BF＝CD.
证明：连接AC，BD.
∵C，D是 的三等分点，∠AOB＝90°，
∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∵∠AEC是△AOE的外角，
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝30°＋45°＝75°.
在△AOC中，OA＝OC，
∴∠ACO＝ ×（180°－30°）＝75°，
∴∠ACO＝∠AEC，∴AC＝AE.
同理可得BD＝BF，∴AE＝BF＝CD.
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14. 推理能力 如图所示，在☉O中，C，D是直径AB上的两点，且AC＝BD，EG⊥AB，FH⊥AB，分别交AB于点C，D，点E，G，F，H在☉O上.
（1）若EG＝8，AC＝2，求☉O半径.
解：（1）如图所示，连接EO. 设☉O的半径为r.
∵EG⊥AB，∴CE＝CG＝ EG＝4.
∵AC＝2，∴OC＝r－2.
在Rt△CEO中，OE2＝CE2＋OC2，
∴r2＝42＋（r－2）2，解得r＝5，∴☉O的半径为5.
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（2）求证： ＝ .
解：（2）证明：如图所示，连接OF.
∵AC＝BD，OA＝OB，
∴OC＝OD. ∵EG⊥AB，FH⊥AB，
∴∠ECO＝∠FDO＝90°.
在Rt△COE和Rt△DOF中，
∴Rt△COE≌Rt△DOF（HL），
∴∠AOE＝∠BOF，∴ ＝ .
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（3）若C，D分别为OA，OB的中点，则 ＝ ＝ 成立吗？请说明理由.
解：（3） ＝ ＝ 成立.理由如下：
∵C，D分别为OA，OB的中点，
∴OC＝ OE，∴∠OEC＝30°，∴∠AOE＝60°，
同理∠BOF＝60°，∴∠EOF＝60°，∴ ＝ ＝ .
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14(共41张PPT)
第二十四章 圆
本章综合提升
1. 转化思想
在本章中，转化思想的应用主要体现在四处：（1）圆中的线段计算，转化
到三角形中进行；（2）通过弧的联系实现圆周角、圆心角之间的数量转化；
（3）不规则图形面积的求解，化为规则图形面积的和或差；（4）圆锥侧面积的
有关计算，化“曲面”为“平面”.
【例1】 （南通如皋一模）如图所示，☉O的直径AB＝8，C为☉O上一
点，在AB的延长线上取一点P，连接PC交☉O于点D，PO＝4 ，∠OPC＝
30°.
（1）求CD的长.
解：（1）过点O作OE⊥CD于点E，连接OC，OD，
如图所示，
∴CE＝DE.
∵PO＝4 ，∠OPC＝30°，
∴OE＝ PO＝2 .
∵直径AB＝8，∴OD＝4，
∴DE＝ ＝ ＝2，
∴CD＝2DE＝4.
（2）计算图中阴影部分的面积.
解：（2）∵OD＝2DE，
∴∠DOE＝30°，∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积为 － ×4×2 ＝ －4 .
【变式训练1】
空间观念 如图所示，已知圆锥的底面半径是4 cm，母线长为12 cm，C为
母线PB的中点，则从A到C在圆锥的侧面上的最短距离为 cm.
6
2. 方程思想
方程思想是指利用题目中的已知量、未知量之间的数量关系，设出未知数，
建立方程或方程组来解决问题.
本章中运用垂径定理和勾股定理求线段长以及弧长、扇形面积、圆锥侧面积
的有关计算，均可能用到设未知数列方程解答.
【例2】 （南充嘉陵区期中）如图所示，D是☉O弦BC的中点，A是☉O
上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
（1）求线段OD的长.
解：（1）连接OB，如图所示.
∵OD过圆心，且D是弦BC的中点，
∴OD⊥BC，BD＝ BC＝6.
在Rt△BOD中，OD2＋BD2＝BO2.
∵BO＝AO＝8，BD＝6，
∴OD＝2 .
（2）当EO＝ BE时，求DE的长.
解：（2）在Rt△EOD中，OD2＋ED2＝EO2.
设BE＝x，则OE＝ x，DE＝6－x，
由勾股定理，得（2 ）2＋（6－x）2＝（ x）2，
解得x1＝－16（舍去），x2＝4.
则DE＝2.
【变式训练2】
运算能力 已知一段弧长为9.42 cm，该段弧所在的圆的半径为6 cm，则这
段弧所对的圆心角度数为 .（π取3.14）
90°
3. 分类讨论思想
本章中，圆中有关角度、线段的计算，直线和圆的位置关系的探讨等，只要
没有现成的图形往往需要分类讨论得出结果.
【例3】 （南京建邺区期中）△ABC是☉O的内接三角形，AB＝AC，
☉O的半径为2，O到BC的距离为1.
（1）求BC的长.
解：（1）分两种情况考虑：
当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，
过点A作AD⊥BC于点D，由题意得到AD过圆心O，连接OB，
∵OD＝1，OB＝2，
∴在Rt△OBD中，根据勾股定理，得
BD＝ ＝ ，∴BC＝2BD＝2 .
当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，
过点A作AD⊥BC于点D，由题意得到AD的延长线过圆心O，连接OB，
∵OD＝1，OB＝2，
∴在Rt△OBD中，根据勾股定理，得BD＝ ，
∴BC＝2BD＝2 .
（2）∠BAC的度数为 .
60°或120°
【变式训练3】
应用意识 如图所示，水平放置的圆形管道横截面的半径为50 cm，现在水
面宽度AB为60 cm，当水面宽度为80 cm时，则水面比原来上涨的高度为
.
10 cm
或70 cm
1. （无锡惠山区月考）下列说法正确的是（ B ）
A. 弦是直径
B. 半圆是弧
C. 等弧就是长度相等的两条弧
D. 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径
B
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2. （池州青阳三模）如图①所示，平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器
皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热.如图②所示，它的截面图可以近似看
作是由☉O去掉两个弓形后与矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN，若
☉O的半径为25，AB＝36，BC＝14，MN＝30，则该平底烧瓶的高度为
（ D ）
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
D
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3. （商洛镇安三模）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，AB是☉O的直径，
点E在☉O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是（ D ）
A. 25° B. 55° C. 45° D. 35°
D
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4. （烟台龙口一模）如图所示，在正方形网格中，A，B，C，D，E，P均在
格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ D ）
A. △ACE B. △ABD
C. △ACD D. △BCE
D
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5. （南京浦口区三模）如图所示，☉O与矩形ABCD的三边AB，BC，CD分别
相切于点E，F，G，连接OB，OD，OB＝4，OD＝3，则AB的长为
（ D ）
A. 5 B. 2 ＋2
C. 4 D. 2 ＋1
第5题图
D
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6. （深圳罗湖区模拟）如图所示，AB是☉O的直径， ＝ ＝ ，∠COD
＝40°，则∠AOE＝ .
第6题图
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7. （赣州二模）如图所示，△ABC的顶点A，B在☉O上，AC交☉O于点D，
连接BD，已知∠A＝45°.
（1）若☉O的半径为3，求弦BD的长.
解：（1）如图所示，连接OB，OD，∴OB＝OD＝3.
∵∠A＝45°，
∴∠DOB＝90°，
∴△OBD是等腰直角三角形，
∴BD＝ ＝ ＝3 .
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（2）当∠ABC＋∠ADB＝180°，求证：BC是☉O的切线.
解：（2）证明：延长BO交☉O于点E，连接AE，如图所示.
∵BE为☉O的直径，∴∠EAB＝90°.
∴∠E＋∠ABE＝90°.
∵∠ABC＋∠ADB＝180°，
∠E＋∠ADB＝180°，
∴∠E＝∠ABC，∴∠ABC＋∠ABE＝90°，
∴∠CBE＝90°，即EB⊥BC.
∵BE是☉O的直径，∴BC是☉O的切线.
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8. （山西中考）如图所示，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与
AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（ D ）
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
第8题图
D
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9. （凉山州中考）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半
径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直
平分线CD交AB于点D，交 于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形
工件的半径为（ C ）
A. 50 cm B. 35 cm C. 25 cm D. 20 cm
第9题图
C
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10. （泰安中考）两个半径相等的半圆按如图所示方式放置，半圆O'的一个直径
端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ A ）
A. π－ B. π
C. π－ D. π－
A
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11. （滨州中考）如图所示，四边形ABCD内接于☉O，若四边形OABC是菱
形，则∠D＝ .
第11题图
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12. （北京中考）如图所示，☉O的直径AB平分弦CD（不是直径）.若∠D＝
35°，则∠C＝ .
第12题图
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13. （南充中考）如图所示，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在
☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝ °.
第13题图
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14. （凉山州中考）如图所示，☉M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y
＝x＋4上的一个动点，过点P作☉M的切线，切点为Q，则PQ的最小值
为 .
第14题图
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15. （自贡中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，切点分
别为D，E，F.
（1）图①中三组相等的线段分别是CE＝CF，AF＝ ，BD＝ ；
若AC＝3，BC＝4，则☉O半径长为 .
AD
BE
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（2）如图②所示，延长AC到点M，使AM＝AB，过点M作MN⊥AB于点N.
求证：MN是☉O的切线.
解：（2）证明：过点O作OH⊥MN于点H，连接OD，OE，OF，如图所
示，则∠OEC＝∠OFC＝90°.
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∵AD＝AF，∴AN－AD＝AC－AF，即DN＝CF.
∵∠ACB＝∠OEC＝∠OFC＝∠90°，
∴四边形OECF是矩形.∴CF＝OE，
∴DN＝OE.
∵∠ANM＝90°＝∠ODN＝∠OHN，
∴四边形OHND是矩形，∴OH＝DN，
∴OH＝OE，即OH是☉O的半径.
∵OH⊥MN，∴MN是☉O的切线.
∵∠ANM＝90°＝∠ACB，∠A＝∠A，AM＝AB，
∴△AMN≌△ABC（AAS），∴AN＝AC.
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16. （烟台中考节选）如图所示，AB是☉O的直径，△ABC内接于☉O，点I为
△ABC的内心，连接CI并延长交☉O于点D，E是 上任意一点，连接AD，
BD，BE，CE.
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数.
解：（1）∵AB是☉O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°.
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°－25°＝65°.
∵四边形ABEC是☉O的内接四边形，
∴∠CEB＋∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°－∠CAB＝115°.
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（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明.
解：（2）DI＝AD＝BD，证明：如图所示，连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI＝ ∠ACB＝45°，
∴ ＝ ，∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACI，AD＝BD.
∵∠DAI＝∠DAB＋∠BAI，∠DIA＝∠ACI＋∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，∴DI＝AD＝BD.
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17. （山东中考）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，
AB＝BC＝2AD＝2.以点A为圆心，以AD为半径作 交AB于点E，以点B为
圆心，以BE为半径作 交BC于点F，连接FD交 于另一点G，连接CG.
（1）求证：CG为 所在圆的切线.
解：（1）证明：连接BG，如图所示，
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根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，
又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD.
∵BC＝2AD，
∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF.
∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，
∴∠BFD＝∠DAB＝60°.
∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形，
∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC.
∴点G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC＝90°，
∴CG为 所在圆的切线.
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（2）求图中阴影部分面积.（结果保留π）
解：（2）过点D作DH⊥AB于点H，如图所示，
由图可得：S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG，
在Rt△AHD中，∵AD＝1，∠DAB＝60°，∴∠ADH＝30°，
∴AH＝ ，DH＝ ＝ ，
∴S ABFD＝AB·DH＝2× ＝ ，
由（1）可知，扇形ADE和扇形BGE全等，
∴S扇形AED＝S扇形BGE＝ ＝ ，
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等边三角形BFG的面积为 GF·DH＝ ×1× ＝ ，
∴S阴影＝S ABFD－S扇形AED－S扇形BEG－S△BFG＝ － － － ＝ － .
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
圆的对称性
1. 下列结论错误的是（ B ）
A. 圆是轴对称图形
B. 圆的对称轴是直径
C. 过圆上一点可作出圆的对称轴
D. 圆的每一条对称轴都经过圆心
B
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垂径定理
2. （台州仙居期末）如图所示，AB是☉O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点
E，则下列结论中不成立的是（ C ）
A. ＝ B. ＝
C. OE＝BE D. CE＝DE
C
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3. （湖州中考）如图所示，OA是☉O的半径，弦BC⊥OA于点D，连接OB.
若☉O的半径为5 cm，BC的长为8 cm，则OD的长是 cm.
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垂径定理的推论
4. 下列命题正确的有（ A ）
①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦；②垂直于弦的直线平分弦；③平分弦
的直线必垂直于弦；④与直径不垂直的弦不能被该直径平分；⑤平分弦的直径必
平分弦所对的两条弧.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
A
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5. 如图所示，在☉O中，半径OC与AB交于点D，若D为AB的中点，AB＝8
cm，OB＝5 cm，则CD的长为 cm.
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垂径定理及其推论的应用
6. 跨学科·化学 如图所示，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5 cm，瓶内液
体的最大深度CD＝2 cm，则截面圆中弦AB的长为（ C ）cm.
A. 4 B. 6 C. 8 D. 8.4
C
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7. 如图所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高
EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出 所在☉O的半径r.
解：由题意，得OA＝OE＝r m.
∵EF＝1 m，∴OF＝（r－1）m.
∵OE⊥AB，
∴AF＝ AB＝ ×3＝1.5（m）.
在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，
即（r－1）2＋1.52＝r2.解得r＝ ，即 所在☉O的半径为 m.
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忽略一组平行弦可能分别位于圆心同侧或两侧而漏解
8. 已知☉O的半径为13 cm，AB，CD是☉O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24
cm，CD＝10 cm，则弦AB与CD之间的距离为 cm.
7或17
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9. （西安模拟）唐代李皋发明了“桨轮船”，他设计的桨轮船在船的舷侧或尾部
装有带有桨叶的桨轮，通过人力踩动桨轮轴来推动船体前进.这种船的桨轮下半
部浸入水中，上半部露出水面，因其推进方式类似车轮，故又被称为“桨轮船”
或“轮船”.如图所示，该桨轮船的轮子的横截面为☉O，轮子被水面截得的线
段AB长为12 m，轮子的吃水深度CD长为2 m，则该桨轮船轮子的半径为
（ C ）
A. 8 m B. 6 m
C. 10 m D. 12 m
C
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10. 若圆的半径为3，圆中一条弦为2 ，则此弦中点到弦所对劣弧的中点的距
离为 .
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11. 推理能力 如图所示，AB，CD是☉O的弦，OM⊥AB，ON⊥CD，垂足
分别为M，N，且∠AMN＝∠CNM.
（1）OM与ON相等吗？为什么？
解：（1）MO＝NO. 理由如下：
∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠AMO＝∠CNO＝90°.
∵∠AMN＝∠CNM，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴MO＝NO.
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（2）判断AB与CD是否相等，并说明理由.
解：（2）AB＝CD. 理由如下：如图所示，连接OA，OC.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝ AB，CN＝ CD，∠AMO＝∠CNO＝90°.
在Rt△AOM与Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，∴AB＝CD.
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12. 应用意识 如图所示，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高
PD＝18米.
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长.
解：（1）如图所示，连接OA.
由题意，得AD＝ AB＝30 米，OD＝（r－18）米，
在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2＝302＋（r－18）2，
解得r＝34米.
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（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，
即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？
解：（2）如图所示，连接OA'.
∵OE＝OP－PE＝34－4＝30（米），
∴在Rt△A'EO中，由勾股定理，得A'E2＝A'O2－OE2，即A'E2
＝342－302，
解得A'E＝16米.
∴A'B'＝32米.∵32＞30，
∴不需要采取紧急措施.
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13. 几何直观 如图所示，在平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，
以2为半径的圆与x轴交于A，B两点.
（1）求A，B两点的坐标.
解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA＝MB，连接AC.
∵点C的坐标为（2， ），∴OM＝2，CM＝ .
在Rt△ACM中，CA＝2，
∴AM＝ ＝1，
∴BM＝1，OA＝OM－AM＝1，OB＝OM＋BM＝3，
∴A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，0）.
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（2）若二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解
析式.
解：（2）将（1，0），（3，0）代入y＝x2＋bx＋c，
得 解得
∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3.
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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第3课时 切线长定理和三角形的内切圆
切线长定理
1. 如图所示，P为☉O外一点，PA，PB分别切☉O于A，B两点，若PA＝3，
则PB＝（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
B
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2. 教材P101习题24.2T6变式 如图所示，PA，PB分别是☉O的切线，A，B
为切点，AC是☉O的直径，已知∠BAC＝35°，∠P的度数为（ D ）
A. 35° B. 45° C. 60° D. 70°
D
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3. 如图所示，PA切☉O于点A，PB切☉O于点B，连接OP交☉O于点C，下
列说法：①PA＝PB；②∠1＝∠2；③OP垂直平分AB. 其中正确说法的序号
是 .
①②③
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三角形的内切圆
4. 教材P100例2变式 如图所示，△ABC的内切
圆☉O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F. 已知△ABC的周长为36，AB
＝9，BC＝14，则AF的长为（ A ）
A. 4 B. 5 C. 9 D. 13
A
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5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，☉O是△ABC的内切圆，D，E，F是
切点.
（1）求证：四边形ODCE是正方形.
解：（1）证明：∵☉O是△ABC的内切圆，∴OD⊥BC，
OE⊥AC. 又∠C＝90°，∴四边形ODCE是矩形.∵OD＝
OE，∴四边形ODCE是正方形.
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（2）如果AC＝6，BC＝8，求内切圆☉O的半径.
解：（2）∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝ ＝10.由切线长定理，
得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，
∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE＝BC＋AC－AB＝4，则CE＝2，即☉O的半径为2.
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混淆三角形的内心与外心的性质
6. （滨州一模）如图所示，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，
连接OB，IA. 若∠CAI＝37°，则∠OBC的度数为 .
16°
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7. 如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，它的周长为16.若☉O与
BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，则DF的长为（ A ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
A
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8. 如图所示，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若∠A＝84°，则∠D
的度数为（ B ）
A. 42° B. 66° C. 76° D. 82°
B
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9. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，☉O是△ABC的内切圆，三个切
点分别为D，E，F，若BF＝2，AF＝3，则△ABC的面积是 .
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10. （潍坊一模）如图所示，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接
圆☉O相交于点D，过点D作直线DG∥BC.
（1）求证：DG是☉O的切线.
解：（1）证明：连接OD交BC于点H，如图所示.
∵点E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，∴ ＝ ，
∴OD⊥BC，BH＝CH.
∵DG∥BC，∴OD⊥DG，
∴DG是☉O的切线.
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（2）求证：DE＝CD.
解：（2）证明：连接BD，如图所示.
∵点E是△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE.
∵∠DBC＝∠BAD，
∴∠DEB＝∠BAD＋∠ABE＝∠DBC＋∠CBE＝∠DBE，
即∠BED＝∠DBE，∴BD＝DE.
∵ ＝ ，∴BD＝CD，∴DE＝CD.
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（3）若DE＝2 ，BC＝8，求☉O的半径.
解：（3）连接OB，如图所示.设☉O的半径为r.
由（1）得OD⊥BC，BH＝CH，
∵BC＝8，∴BH＝CH＝4.
∵DE＝2 ，BD＝DE，∴BD＝2 .
在Rt△BHD中，BD2＝BH2＋HD2，
∴（2 ）2＝42＋HD2，解得HD＝2（负值舍去），
在Rt△BHO中，
r2＝BH2＋（r－2）2，解得r＝5.则☉O的半径为5.
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11. 如图所示，在△ABC中，内切圆☉I与AB，BC，CA分别切于点F，D，
E，连接BI，CI，FD，ED.
（1）若∠A＝60°，求∠BIC与∠FDE的度数.
解：（1）∵☉I是△ABC的内切圆，∴∠IBC＝ ∠ABC，
∠ICB＝ ∠ACB，
∴∠IBC＋∠ICB＝ （∠ABC＋∠ACB）.
又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝120°，
∴∠IBC＋∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝180°－（∠IBC＋∠ICB）＝120°.连接IF，IE.
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∵☉I是△ABC的内切圆，∴∠IFA＝∠IEA＝90°.
∵∠A＝60°，
∴∠FIE＝360°－∠IFA－∠IEA－∠A＝120°，
∴∠FDE＝ ∠FIE＝60°.
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（2）若∠BIC＝α，∠FDE＝β，试猜想α与β的关系，并证明你的结论.
解：（2）猜想：α＝180°－β.证明：由（1）知∠FIE＝180°－∠A.
又∠FIE＝2∠FDE，
∴∠A＝180°－2∠FDE＝180°－2β.
∵∠BIC＝180°－（∠IBC＋∠ICB）＝180°－ （∠ABC＋∠ACB）＝180°－ （180°－∠A）＝90°＋ ∠A，
∴∠BIC＝α＝90°＋ （180°－2β），
∴α＝180°－β.
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12. 推理能力 如图所示，AB为☉O的直径，△ABC内接于☉O，BC＞AC，
＝ ，延长CP交☉O于点D，连接BP，BD＝PD.
（1）求证：点P是△ABC的内心.
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解：（1）证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵ ＝ ，
∴∠ACD＝∠BCD，∴CD平分∠ACB.
∵PD＝BD，∴∠BPD＝∠PBD.
∵∠BPD＝∠BCP＋∠CBP，
∠DBP＝∠ABD＋∠ABP，∠ABD＝∠DCB，
∴∠CBP＝∠ABP，
∴BP平分∠ABC，
∴点P是△ABC的内心.
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（2）已知☉O的直径是5 ，CD＝7，求BC的长.
解：（2）如图所示，连接AD，过点B作BH⊥CD于点H.
∵AB是☉O的直径， ＝ ，
∴AD＝BD，∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形.
∵AB＝5 ，∴BD＝5.
∵∠BCD＝∠ACD＝ ∠ACB＝45°，BH⊥CD，
∴∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴BH＝CH，∴BC＝ BH.
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∵BD2＝DH2＋BH2，∴25＝（7－BH）2＋BH2，
∴BH＝4或BH＝3，
∴BC＝4 或BC＝3 .
又∵BC＞AC，∴BC＝4 .
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12(共26张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
1. 教材P101习题24.2T1变式 已知☉O的半径为2 cm，点P在☉O外，则OP
可能等于（ D ）
A. 1 cm B. 1.5 cm C. 2 cm D. 2.5 cm
2. 在平面直角坐标系中，☉O的半径为5，点P的坐标为（3，4），则点P的位
置为（ B ）
A. 在☉O外 B. 在☉O上
C. 在☉O内 D. 不能确定
D
B
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3. 如图所示，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基
站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ D ）
A. A，B，C都不在 B. 只有B
C. 只有A，C D. A，B，C
D
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4. 一个点到圆上的最小距离为4 cm，最大距离为9 cm，则圆的半径为
cm.
2.5或
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5. 如图所示，已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm.若以点A为圆心作
☉A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则☉A的
半径r的取值范围是什么？
解：连接AC. ∵AB＝3 cm，AD＝4 cm，∴BC＝4 cm，由勾股定理，得AC＝
5 cm.
∵B，C，D三点至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴☉A的半径r的取值范围是3 cm＜r＜5 cm.
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确定圆的条件
6. （烟台芝罘区期末）如图所示，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，
B，C，其中，B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ C ）
A. （2，1） B. （2，2）
C. （2，0） D. （2，－1）
C
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7. 如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在直线AC外，经过图中的三个
点作圆，可以作 个.
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三角形的外接圆与外心
8. 下列关于三角形的外心的说法正确的是（ C ）
A. 三角形的外心在三角形外
B. 三角形的外心到三边的距离相等
C. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
D. 等腰三角形的外心在三角形内
C
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9. 如图所示，已知△ABC内接于☉O，AB是直径，弦CE⊥AB于点F，C是
的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点
P，Q，求证：点P是△ACQ的外心.
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证明：∵C是 的中点，
∴ ＝ ，∴∠CAD＝∠ABC.
∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD＋∠AQC＝90°.
又∵CE⊥AB，∴∠ABC＋∠PCQ＝90°，
∴∠AQC＝∠PCQ，∴在△PCQ中，PC＝PQ.
∵CE⊥直径AB，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，∴∠CAD＝∠ACE.
在△APC中，有PA＝PC，∴PA＝PC＝PQ，
∴点P是△ACQ的外心.
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反证法
10. 用反证法证明命题：若☉O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P
在☉O的外部.首先应假设（ D ）
A. d＜r B. d≤r
C. 点P在☉O外 D. 点P在☉O上或点P在☉O内
D
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11. （泰州海陵区月考）我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一
个内角小于或等于60°”.下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与
“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.②所以在一个三角形中，至少有一
个内角小于或等于60°.③假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内
角都大于60°.④则三角形的三个内角的和大于180°.这四个步骤正确的顺序
是 .
③④①②
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确定圆时忽视“不在同一条直线上”的前提条件而出错
12. 下列关于确定一个圆的说法正确的是（ C ）
A. 三个点一定能确定一个圆
B. 以已知线段为半径能确定一个圆
C. 以已知线段为直径能确定一个圆
D. 菱形的四个顶点能确定一个圆
C
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三角形外心位置考虑不全而出错
13. △ABC为☉O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是
（ D ）
A. 80° B. 160°
C. 80°或20° D. 80°或100°
D
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14. （杭州萧山区期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角
不大于45°”，应先假设（ B ）
A. 两个锐角都小于45°
B. 两个锐角都大于45°
C. 有一个锐角小于45°
D. 有一个锐角大于或等于45°
B
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15. 如图所示，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E
在△ABC的外部，下列叙述正确的是（ B ）
A. O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B. O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C. O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D. O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
第15题图
B
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16. 如图所示，已知P是☉O外一点，Q是☉O上的动点，线段PQ的中点为点
M，连接OP，OM. 若☉O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是
（ B ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第16题图
B
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17. 探究拓展 在如图所示的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在
格线的交点上，现在此方格纸格线的交点上另外找两点B，C，使得△ABC的外
心为O，则BC的长度为（ D ）
A. 4 B. 5 C. D. 2
D
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18. 已知直线l：y＝x－4，点A（1，0），点B（0，2）.设点P为直线l上一动
点，当点P的坐标为 时，过P，A，B不能作出一个圆.
19. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2 ，BC＝4，D是AB的中点，若以
点D为圆心，r为半径作☉D，使点B在☉D内，点C在☉D外，则r的取值范围
为 .
（2，－2）
＜r＜
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（1）画出该圆片的圆心.
解：（1）如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆
心.
20. 应用意识 如图所示，将图中的圆片复原，已知弧上三点A，B，C.
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（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求圆片的半
径R.
解：（2）如图所示，连接AO，OB，BC，BC交OA于点D.
∵BC＝16 cm，∴BD＝8 cm.
∵AB＝10 cm，∴AD＝6 cm.
在Rt△BOD中，OD＝（R－6） cm，
∴R2＝82＋（R－6）2，
解得R＝ cm，∴圆片的半径R为 cm.
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21. （滨州邹平期中）如图所示，在△ABD中，AE，BE分别平分∠BAD和
∠ABD. 延长AE交△ABD的外接圆于点C，连接CB，CD，ED.
（1）若∠CBD＝40°，求∠BAD的度数.
解：（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAD＝2∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD＝40°，∴∠BAD＝80°.
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（2）求证：点C是△BDE的外心.
解：（2）∵AE，BE分别平分∠BAD和∠ABD，
∴∠BAC＝∠DAC，∠ABE＝∠DBE，
∴ ＝ ，∴BC＝CD.
∵∠CBD＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠CBD＋∠DBE，
∠BEC＝∠BAC＋∠ABE，
∴∠CBE＝∠BEC，∴BC＝EC，∴BC＝EC＝DC，
∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上，
∴点C是△BDE的外心.
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22. 如图所示，C是AB上一点，点D，E分别位于AB的异侧，AD∥BE，且
AD＝BC，AC＝BE.
（1）求证：CD＝CE.
解：（1）证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠B.
在△ADC和△BCE中，∵
∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD＝CE.
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（2）当AC＝2 时，求BF的长.
解：（2）由（1）可知CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED.
由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BEC，
∴∠CDE＋∠ACD＝∠CED＋∠BEC，
即∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF，
即BF＝BE＝AC＝2 .
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解：（3）∵△CDE的外心在该三角形的外部，
∴△CDE是钝角三角形.
∵∠CDE＝∠CED，∴0°＜∠CDE＜45°.
∵AD∥BE，∴∠ADE＝∠BED，
∴∠ADE＝∠BED＝∠BFE＝∠AFD，
∴∠ADE＝ （180°－α）＝90°－ α.
∵∠AFD＝∠CDE＋25°，
∴α＋∠ADF＋∠CDE＋25°＝180°，
即∠CDE＝65°－ α，
∴0°＜65°－ α＜45°，解得40°＜α＜130°.
（3）若∠A＝α，∠ACD＝25°，且△CDE的外心在该三角形的外部，请直接
写出α的取值范围.
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22(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
圆锥的有关计算
1. 抽象能力 （无锡梁溪区二模）将圆心角为150°的扇形围成一个圆锥，若底
面圆的直径为10 cm，则该圆锥的侧面积为（ B ）
A. 50π B. 60π C. 90π D. 120π
2. 若一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则这个圆锥的全面积为
（ B ）
A. 15π cm2 B. 24π cm2
C. 39π cm2 D. 48π cm2
B
B
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3. （东营中考）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，那么这个圆锥的
底面半径是（ A ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. （宿迁中考）若圆锥的底面半径为2 cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的
扇形，则这个圆锥的母线长是 cm.
5. （齐齐哈尔中考）若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直
角，则该圆锥的高为 cm.
6. 圆锥的底面半径是40 cm，母线长90 cm，它的侧面展开图的圆心角是 °.
A
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混淆圆锥的底面半径和侧面展开扇形的半径
7. 运算能力 已知圆锥侧面展开图的圆心角是120°，底面圆的面积为15 cm2，
求圆锥的侧面积.
解：∵S圆＝πr2＝15，∴r＝ ，则根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
∴l＝2πr＝2π× ，则由弧长公式可得扇形的半径长为R＝ ＝
3 （cm）.
∴由扇形的面积公式可求出圆锥侧面积是
S＝π× ×3 ＝45（cm2）.
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8. 如图所示，正六边形ABCDEF的边长为6，连接AC，以点A为圆心，AC为半
径画弧CE，得扇形ACE，将扇形ACE围成一个圆锥，则圆锥的高为（ D ）
A. 3 B. 6 C. 3 D.
第8题图
D
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9. 如图所示，圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从
点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，那么这根绳子的长度可能是
（ D ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
第9题图
D
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10. 探究拓展 （镇江模拟）如图所示，在菱形纸片ABCD中，AB＝6，
∠ABC＝60°，分别剪出扇形ABC和☉O，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面.
若点O在BD上，则BO的最大值是（ B ）
A. 6 －1 B. 6 －2
C. 3 ＋1 D. 3 ＋2
B
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11. 小红需要用扇形薄纸板制作一个底面半径为9厘米、高为12厘米的圆锥形生日
帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角的度数为 .
216°
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12. 在纸上剪下一个圆和一个扇形纸片，使它们恰好围成一个圆锥（如图所
示），如果扇形的圆心角为90°，扇形的半径为4，那么所围成的圆锥的高
为 .
第12题图
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13. 空间观念 （娄底中考）如图所示，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边
上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积
为 .
第13题图
14π
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14. （自贡中考）如图所示，小珍同学用半径为8 cm，圆心角为100°的扇形纸
片，制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积
是 cm2.
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15. 运算能力 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠BAD＝
120°，AB＝AD＝4，BC＝6，以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形
（图中阴影部分）.
（1）求这个扇形的面积.
解：（1）过点A作AE⊥BC于点E.
∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD.
∵∠BAD＝120°，AB＝4，
∴∠BAE＝30°，∴BE＝ AB＝2.由勾股定理，得AE＝2 .
∴扇形的面积为 ＝4π.
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（2）若将这个扇形围成圆锥，求这个圆锥的底面积.
解：（2）设圆锥的底面半径为r，则2πr＝ ，
解得r＝ .若将这个扇形围成圆锥，
这个圆锥的底面积为π×（ ）2＝ π.
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16. （广东中考）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图①所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
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【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图②所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图①所示漏斗中.
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【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说
明理由.
解：（1）滤纸能紧贴此漏斗内壁.理由如下：
由2πr＝ ，得 ＝ ，如图①所示，n1＝90°×2＝180°，
如图②所示， ＝ ＝ ，∴n2＝180°.
∵n1＝n2，∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
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（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留π）
解：（2）如图③所示，过点C作CF⊥DE于点F，由题意知CD＝DE＝CE＝
5 cm，∴∠CDE＝60°.
则DF＝ DE＝ cm，
在Rt△CDF中，CF2＝ ＝ cm，
∴V＝π· × × ＝ π （cm3）.
答：圆锥形的体积是 π cm3.
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16(共16张PPT)
第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定和性质
切线的判定
1. （盐城东台模拟）如图所示，AB是半圆O的直径，点C在半圆上（不与A，
B重合），DE⊥AB于点D，交BC于点F，下列条件能判定CE是切线的是
（ C ）
A. ∠E＝∠CFE B. ∠E＝∠ECF
C. ∠ECF＝∠EFC D. ∠ECF＝60°
第1题图
C
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2. 如图所示，△ABC的一边AB是☉O的直径，请你添加一个条件，使BC是☉O
的切线，你所添加的条件为 .
第2题图
∠ABC＝90°（答案不唯一）
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3. （泰安二模）如图所示，以△ABC的边AB为直径的☉O恰好过BC的中点
D，过点D作DE⊥AC于点E，连接OD，则下列结论中：①OD∥AC；②∠B
＝∠C；③2OA＝AC；④DE是☉O的切线.正确的序号是 .
①②③④
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4. （临沂沂水二模）如图所示，在△ABC中，∠C＝64°，以AB为直径的☉O
与AC相交于点D，E为 上一点，且∠ADE＝40°.
（1）求∠BAE的度数.
解：（1）连接BE，如图所示.
∵AB是☉O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∵∠ABE＝∠ADE＝40°，
∴∠BAE＝90°－40°＝50°.
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（2）若∠EAD＝76°，求证：CB为☉O的切线.
解：（2）证明：∵∠EAD＝76°，∠BAE＝50°，
∴∠CAB＝76°－50°＝26°.
∵∠C＝64°，∴∠ABC＝180°－64°－26°＝90°，
∴直径AB⊥BC，∴CB为☉O的切线.
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切线的性质
5. 如图所示，AB是☉O的切线，A为切点，连接OA，点C在☉O上，
OC⊥OA，连接BC并延长，交☉O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则
∠DOC的度数为（ B ）
A. 45° B. 50° C. 65° D. 75°
B
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6. （石家庄模拟）已知PA，PB是☉O的切线，A，B是切点，点C是☉O上不
同于点A，点B的一个动点，若∠P＝54°，则∠ACB的度数是（ D ）
A. 63° B. 117°
C. 53°或127° D. 117°或63°
D
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解：△PDE是等腰三角形.
理由：连接OD，如图所示.
∵OC⊥AB，
∴∠CEO＋∠OCE＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCE＝∠ODE.
∵PD切☉O于点D，∴∠ODE＋∠PDE＝90°.
∵∠OEC＝∠PED，∠OCE＝∠ODE，
∴∠PDE＝∠PED，∴PD＝PE，
∴△PDE是等腰三角形.
7. 如图所示，AB是☉O的直径，半径OC⊥AB，P是AB延长线上一点，PD切
☉O于点D，CD交AB于点E，判断△PDE的形状，并说明理由.
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不能作出恰当的辅助线证明切线
8. 教材P101习题24.2T4变式 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，以3 cm为半径作☉A，当AB＝ cm时，BC是☉A的切线.
第8题图
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9. 如图所示，PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C为☉O上一点，连接
AC，BC，若∠P＝70°，则∠ACB的度数为（ B ）
A. 50° B. 55° C. 60° D. 65°
第9题图
B
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10. 应用意识 如图所示是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽
ABCD是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐
盘的半径等于 cm.
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11. （汕头龙湖区一模）下面是小明设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作
图过程.
已知：P是☉O外一点.求作：经过点P的☉O的切线.作法：如图所示，① 连接
OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；
② 以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交☉O于B，C两点；
③ 作直线PB，PC. 直线PB，PC就是所求作的切线.
请根据小明的作法完成作图和证明.
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解：图形如图所示.证明：连接OB，OC.
∵PO为☉A的直径，
∴∠PBO＝∠PCO＝90°（直径所对的圆周角是直角）.∴PB⊥OB，
PC⊥OC.
∴PB，PC为☉O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.
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12. 几何直观 如图所示，在平面直角坐标系中，☉P经过x轴上一点C，与y
轴分别相交于A，B两点，连接AP并延长分别交☉P，x轴于点D，E，连接
DC并延长交y轴于点F. 若点D，F的坐标分别是（6，－1），（0，1）.
（1）求证：DC＝FC.
解：（1）证明：如图所示，
过点D作DH⊥x轴于点H，则∠CHD＝∠COF＝90°.
∵点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，－1），
∴DH＝OF＝1.
∵∠FCO＝∠DCH，
∴△FOC≌△DHC（AAS），∴DC＝FC.
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（2）判断☉P与x轴的位置关系，并说明理由.
解：（2）☉P与x轴相切.理由：如图所示，连接CP. ∵AP
＝PD，DC＝CF，∴CP∥AF，
∴∠PCE＝∠AOC＝90°，
∴☉P与x轴相切.
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12(共20张PPT)
第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
与弧长有关的计算
1. 已知100°的圆心角所对的弧长l＝5π，则该圆的半径R等于（ C ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
2. （广安中考）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝
70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则 的长度为
（ C ）
A. B. C. D.
C
C
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3. 教材P115习题24.4T1（2）变式 已知扇形半径是3 cm，弧长是2π cm，则扇
形的圆心角为 °.
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与扇形面积有关的计算
4. 在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6 cm，则扇形AOB的面积是
（ C ）
A. 6π cm2 B. 8π cm2
C. 12π cm2 D. 24π cm2
C
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5. 教材P116习题24.4T8变式 如图所示，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备
在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝
120°，OA＝15 m，OC＝10 m，则种草区域的面积为（ B ）
A. m2 B. m2
C. m2 D. m2
B
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6. 已知扇形的弧长为8π cm，面积为24π cm2，则该扇形的圆心角度数
为 .
7. （深圳中考）如图所示，在矩形ABCD中，BC＝ AB，O为BC的中点，
OE＝AB＝4，则扇形EOF的面积为 .
240°
4π
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计算弧长时忽略一条弦所对的弧有两条
8. 在一个半径为6 cm的圆中，有一条长度为6 cm的弦，则这条弦所对的弧长
为 .
2π cm或10π cm
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9. （荆州一模）古希腊数学家曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方
法.如图所示，点A和点B分别表示埃及的西恩纳和亚历山大两地，B地在A地的
北方，两地的经度大致相同，且实际距离（ 的长）为800 km.当太阳光线在A
地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是
7.2°.由此估算地球周长用科学记数法表示为（ A ）
A. 4×104 km B. 2×104 km
C. 4×103 km D. 2×105 km
A
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10. 如图所示，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针
旋转2α，得到△AB'C'，连接B'C并延长交AB于点D，当B'D⊥AB时， '的长是
（ B ）
A. π B. π
C. π D. π
第10题图
B
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11. （广元中考）如图所示，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是
上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影
部分面积为（ B ）
A. B. C. D.
第11题图
B
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12. 小明家有一个如图所示的闹钟，他观察发现圆心角∠AOB＝90°，测得
的长为36 cm， 的长为 cm.
第12题图
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13. 如图所示，在圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB.
若阴影部分的面积为（π－1），则AC＝ .
第13题图
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14. 推理能力 （乐山中考）如图所示，☉O是△ABC的外接圆，AB为☉O的
直径，过点C作☉O的切线CD交BA延长线于点D，点E为 上一点，且
＝ .
（1）求证：DC∥AE.
解：（1）证明：连接OC，如图所示.∵CD为☉O的切线，
点C在☉O上，∴∠OCD＝90°，
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∴∠DCA＋∠OCA＝90°.
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠OAC＝90°.
∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠B＝∠DCA.
∵ ＝ ，∴∠B＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠DCA，∴DC∥AE.
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（2）若EF垂直平分OB，DA＝3，求阴影部分的面积.
解：（2）连接OE，BE，如图所示.
∵EF垂直平分OB，∴OE＝BE.
∵OE＝OB，∴△OEB为等边三角形，
∴∠BOE＝60°，∴∠AOE＝180°－60°＝120°.
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA＝30°.
∵DC∥AE，∴∠D＝∠OAE＝30°.
∵∠OCD＝90°，∴OD＝2OC＝OA＋AD.
∵OA＝OC，∴OC＝AD＝3，
∴AO＝OE＝OC＝3，∴EF＝ OE＝ ，
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∴△OAE的面积＝ AO·EF＝ .
∵扇形OAE的面积＝ ＝3π，∴阴影部分的面积＝扇形OAE的面积－
△OAE的面积＝3π－ .
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15. 运算能力 如图所示，点P是△ABC内一点，PD⊥BC，垂足为点D，将线
段PD绕点P顺时针旋转90°得到扇形DPE，过点E作EM⊥PE交AB于点M，
连接PM，与 交于点F，过点P作PN⊥PM交BC于点N.
（1）求证：△PEM≌△PDN.
解：（1）证明：∵EM⊥PE，PD⊥BC，
∴∠PEM＝∠PDN＝90°.
∵PM⊥PN，∠EPD＝90°，
∴∠EPD＝∠MPN＝90°，
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∴∠EPD－∠MPD＝∠MPN－∠MPD，
∴∠EPM＝∠DPN.
在△EPM和△DPN中，
∴△PEM≌△PDN（ASA）.
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（2）已知PD＝3，EM＝ .
①通过计算比较线段PN和 哪个长度更长.
②计算图中阴影部分的面积.（结果保留π）
解：（2）①∵PD＝3，EM＝ ，△EPM≌△DPN，
∴DN＝EM＝ ，∴PN＝ ＝ ＝2 ，
在Rt△PDN中，DN＝ PN，
∴∠DPN＝30°，∴∠DPF＝90°－30°＝60°，
∴ 的长＝ ＝π.
∵2 ＞π，∴线段PN的长度更长.
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②∵PD＝3，EM＝ ，∠DPN＝30°，△EPM≌△DPN，
∴PE＝PD＝3，∠EPM＝∠DPN＝30°，
∴阴影部分的面积＝S△PEM－
＝ ×3× － ＝ － π.
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15(共17张PPT)
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
正多边形的有关概念
1. 下列关于正多边形的判断正确的是（ D ）
A. 各边相等的多边形是正多边形
B. 各角相等的多边形是正多边形
C. 各角相等的圆内接多边形是正多边形
D. 各边相等的圆内接多边形是正多边形
D
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3. 已知：如图所示，△ABC是☉O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦
BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，连接AE，BE，CD，AD. 求证：五边形
AEBCD是正五边形.
2. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ B ）
A. 互余 B. 互补
C. 互余或互补 D. 不能确定
B
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证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
又∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°，∴ ＝ ＝ ＝
＝ .
∴AE＝BE＝BC＝CD＝DA.
∵ ＝3 ＝ ，
∴∠AEB＝∠EBC.
同理可证∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE.
∴五边形AEBCD为正五边形.
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与正多边形有关的计算
4. 若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（ B ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
B
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5. 教材P106例题变式 如图所示，☉O的半径等于4 cm，正六边形ABCDEF内
接于☉O.
（1）求圆心O到AF的距离.
解：（1）过点O作OH⊥AF于点H，连接OA，OF.
∵在正六边形ABCDEF中，∠BAF＝120°，
∴∠OAF＝60°，∴∠AOH＝30°.
∵OA＝4 cm，∴AH＝ OA＝2 cm，
∴OH＝ ＝ ＝2 （cm），
∴圆心O到AF的距离为2 cm.
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（2）求正六边形ABCDEF的面积.
解：（2）∵OA＝OF，∠OAF＝60°，
∴△OAF是等边三角形，∴AF＝OA＝4 cm，
∴S△AOF＝ ×4×2 ＝4 （cm2），
∴正六边形ABCDEF的面积＝6S△AOF＝24 cm2.
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画正多边形
6. 如图所示，分别按要求画出下列各图中☉O的内接正多边形.
（1）正三角形 （2）正方形
（3）正六边形 （4）正八边形
解：如图所示.
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因混淆正多边形的内切圆与外接圆的半径而导致错误
7. （安庆怀宁期末）下列说法正确的是（ C ）
A. 等边三角形的内切圆与外接圆半径之比为1∶
B. 正方形的内切圆与外接圆半径之比为1∶2
C. 正六边形的内切圆与外接圆半径之比为 ∶2
D. 以上说法都不正确
C
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8. 几何直观 如图所示，正六边形ABCDEF的边CD，EF分别与☉O相切于点
C，F，连接OF，CO，则∠COF的度数是（ A ）
A. 120° B. 144°
C. 150° D. 160°
A
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9. 新情境 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图所示是部
分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直
角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为（－
2 ，3），（0，－3），则点M的坐标为（ A ）
A. （3 ，－2） B. （3 ，2）
C. （2，－3 ） D. （－2，－3 ）
A
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10. 如图所示，在正八边形ABCDEFGH中，AB＝2，连接AD，AF，DF，则
△ADF的面积为 .
4＋3
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11. 推理能力 如图所示，点M，N分别在正五边形ABCDE的边BC，CD上，
且BM＝CN，AM交BN于点P.
（1）求证：AM＝BN.
解：（1）证明：∵多边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS），∴AM＝BN.
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（2）求∠APN的度数.
解：（2）∵多边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC＝∠ABN＋∠CBN＝ ＝108°.
∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠APN是△ABP的外角，∴∠APN＝∠ABN＋∠BAM＝
∠ABN＋∠CBN＝108°.
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12. 几何直观 如图所示，正方形ABCD内接于☉O，E为 的中点.
（1）作等边三角形EFG，使点F，G分别在 和 上.
解：（1）如图所示，连接EO并延长交☉O于点H，以点H为圆
心，HO为半径画圆，交☉O于点F，G，连接EF，FG，EG，
点F，G，△EFG即为所求.
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（2）在（1）的条件下，求∠BOG的度数.
解：（2）连接OB，OG，如图所示.
∵△EFG是等边三角形，∴EH⊥GF，
∴∠GOH＝2∠GEH＝2×30°＝60°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOH＝45°，
∴∠BOG＝∠BOH＋∠GOH＝45°＋60°＝105°.
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（3）若正方形ABCD的边长为4，求（1）中等边三角形EFG的边长.
解：（3）如图所示，连接OF，过点O作ON⊥EF于点N，设
EH交BC于点M.
∵OM⊥BC，∴BM＝ BC＝ ×4＝2.
∵在Rt△BOM中，OM＝2，∴OB＝2 .
∵在Rt△FON中，∠OFN＝30°，OF＝2 ，
∴ON＝ ，∴FN＝ ＝ ，
∴EF＝2 ，∴等边三角形EFG的边长为2 .
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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系的判定
1. （昆明盘龙区模拟）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍
惜粮食，如图所示是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆
的位置关系是（ B ）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 平行
B
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2. （连云港灌云期末）在平面直角坐标系中，以点（－3，4）为圆心，3为半径
的圆（ A ）
A. 与x轴相离，与y轴相切
B. 与x轴相离，与y轴相交
C. 与x轴相切，与y轴相交
D. 与x轴相切，与y轴相离
A
3. 教材P101习题24.2T2变式 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.
当r＝2 cm时，直线AB与☉C位置关系是 .
相离
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4. 如图所示，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过点O作
EF∥AB，交BC于点E，交AD于点F，则以点B为圆心， 长为半径的圆与
直线AC，EF分别是什么位置关系？
解：由题意，得BO⊥AC，
BO＝ BD＝ ＝ ，
即点B到AC的距离为 ，与☉B的半径相等，
∴直线AC与☉B相切.∵EF∥AB，∠ABC＝90°，
∴BE⊥EF，垂足为E，且BE＝ BC＝ ×2＝1＜ ，∴直线EF与☉B相交.
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直线和圆的位置关系的性质
5. 若直线a与半径为4的☉O相交，则圆心O到直线a的距离可能为（ A ）
A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 5
6. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，半径为4.8
的圆与直线BC的公共点的个数为 .
A
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7. 已知☉O的半径r＝7 cm，直线l1∥l2，且l1与☉O相切，圆心O到l2的距离为
9 cm.求l1与l2的距离.
解：当l2与l1在圆的同侧时，如图所示.
∴l1与l2的距离m＝9－7＝2（cm）.
当l2与l1在圆的两侧时，如图所示.
∴l1与l2的距离m＝9＋7＝16（cm）.
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不能准确区别线段、射线、直线与圆的位置关系
8. （常德澧县期中）如图所示，已知∠ACB＝30°，CM＝2，AM＝5，以点M
为圆心，r为半径作☉M，☉M与线段AC有公共点时，则r的取值范围
是 .
1≤r≤5
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9. 已知☉O的半径为3 cm，P为直线l上一点，若OP＝5 cm，则直线l与☉O的
位置关系是（ D ）
A. 一定相交
B. 一定相切
C. 一定相离
D. 可能相交，也可能相切或相离
D
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10. 如图所示，在平面直角坐标系中，☉P与x轴分别交于A，B两点，点P的坐
标为（3，－1），AB＝2 .将☉P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时，
☉P与x轴相切？（ D ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 1或3
D
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11. （武汉江岸区月考）已知☉O的面积为16π cm2，若点O到直线m的距离为π
cm，则直线m与☉O的位置关系是 .
12. 推理能力 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝
2，以点C为圆心，r为半径作圆.若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范
围为 .
相交
r＝ 或2＜r≤2
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13. 已知圆心O到直线m的距离为d，☉O的半径为r.
（1）当d，r是方程x2－9x＋20＝0的两根时，判断直线m与☉O的位置关系.
解：（1）解方程x2－9x＋20＝0，得x1＝5，x2＝4，所以d＝5，r＝4或d＝
4，r＝5.
当d＝5，r＝4时，d＞r，此时直线m与☉O相离；
当d＝4，r＝5时，d＜r，此时直线m与☉O相交.
（2）当d，r是方程x2－4x＋p＝0的两根时，直线m与☉O相切，求p的值.
解：（2）当直线m与☉O相切时，d＝r，即Δ＝16－4p＝0，解得p＝4.
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14. 应用意识 如图所示，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的
B处，并以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心
200千米的范围是受台风影响的区域.
A城会受到这次台风的影响吗？若A城受到这次台风的影响，请计算A城遭受这
次台风影响的时间.若A城不会受到这次台风的影响，请计算说明.
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解：会受到影响.
如图所示，过点A作AC⊥BF于点C. 在Rt△ABC中，∠CBA＝30°，BA＝
300千米，
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∵150＜200，∴A城会受到这次台风的影响.如图所示，设BF上D，E两点到A
的距离为200千米，则台风中心在线段DE上时，对A城均有影响，而在DE以外
时，对A城没有影响.
∵AC＝150千米，AD＝AE＝200千米，
∴DC＝ ＝50 （千米），
∴DE＝2DC＝2×50 ＝100 （千米），
∴t＝ ＝10（小时）.
∴A城遭受这次台风影响的时间为10小时.
∴AC＝ AB＝ ×300＝150（千米）.
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
学科核心素养 具体内容
抽象能力 能通过画圆的过程得到圆的描述性定义；类比角的平分线和线段的垂直平分线，得到圆的集合定义；结合图例理解弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；根据圆的轴对称性探索得到垂径定理；探索圆周角与圆心角及所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论；从数形结合的角度探索得到点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系；掌握切线的概念、判定及性质，探索并证明切线长定理；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，归纳得到正多边形有关计算的方法；推理得到圆的弧长、扇形面积的计算公式，理解圆锥有关的计算方法
学科核心
素养 具体内容
几何直观 能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和内接正六边形；过圆外一点作圆的切线.通过尺规作图提高动手操作能力和几何语言表达能力，发展几何直观
运算能力 能运用圆心角及圆周角的性质进行圆有关的角度计算；能运用垂径定理、勾股定理及切线有关的定理，进行圆有关的线段计算；通过转化为直角三角形进行正多边形与圆的有关计算；会计算圆的弧长、扇形的面积，并能逆用公式求半径或圆心角；会求圆锥的表面积和侧面积
学科核心
素养 具体内容
推理能力 能运用圆的有关性质、切线的判定与性质、三角形的外心（内心）
的性质等，进行与圆有关的推理证明，进一步提升逻辑推理能力
应用意识 通过列举实例感受圆无处不在，会运用勾股定理解决实际问题，能
根据圆的内心、外心的性质解决实际问题
创新意识 结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养综合运用所学知识分
析问题、解决问题的能力，形成独立思考、敢于质疑的科学态度与
理性精神
圆的定义
1. 抽象能力 下列关于圆的叙述正确的是（ B ）
A. 圆是由圆心唯一确定的
B. 圆是一条封闭的曲线
C. 在同一平面内，到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆
D. 圆内任意一点到圆心的距离都相等
B
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2. 数学文化 早在两千多年前的战国时期，《墨经》一书中就给出了圆的描述性
定义：“圜，一中同长也”，这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的点
的集合.其中“定长”指的是 .
半径
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圆的有关概念
3. 如图所示，已知A，B，C，D四点都在☉O上，则☉O中的弦的条数为
（ B ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第3题图
B
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4. 如图所示，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E，则图中共
有劣弧 条，写出图中的两条优弧，如 .
第4题图
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， （答案不唯一）
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对等弧的概念理解有误，判断出错
5. 下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；
④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆.其中正确的有
（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
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6. 如图所示，☉O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC
＝87°，则∠E等于（ B ）
A. 42° B. 29° C. 21° D. 20°
第6题图
B
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7. 如图所示，OA是☉O的半径，B为OA上一点（且不与点O，A重合），过
点B作OA的垂线交☉O于点C. 以OB，BC为边作矩形OBCD，连接BD. 若
CD＝6，BC＝8，则AB的长为 .
第7题图
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8. 教材P81练习T3变式 如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，
C，D四点在同一个圆上.
证明：取BC的中点F，连接DF，EF.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形，
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF，∴E，B，C，D四点在以点F为圆心， BC为半径
的圆上.
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9. 几何直观 如图所示，已知MN为直径，圆心O是AD的中点，四边形
ABCD，EFGD是正方形，小正方形的面积为16，求圆的半径.
解：连接OC，OF，如图所示.
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∴小正方形的边长为4，r2＝（x＋4）2＋42＝x2＋8x＋32，
∴x2＋（2x）2＝x2＋8x＋32，
∴x2＋（2x）2＝r2.
∵OF2＝OG2＋FG2，小正方形的面积为16，
解得x1＝4，x2＝－2（舍去），
∴r2＝5×42，∴r＝4 （负值舍去）.
设AD＝2x.
∵CO2＝DO2＋CD2，
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