(共17张PPT)
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
用因式分解法解一元二次方程
1. （贵州中考）一元二次方程x2－2x＝0的解是（ B ）
A. x1＝3，x2＝1 B. x1＝2，x2＝0
C. x1＝3，x2＝－2 D. x1＝－2，x2＝－1
2. （淄博淄川区期末）已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两个实数根分别为2和
－1，则二次三项式x2＋px＋q可以因式分解为（ A ）
A. （x－2）（x＋1） B. （x－2）（x－1）
C. （x＋2）（x＋1） D. （x＋2）（x－1）
B
A
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3. 方程x2－2x－24＝0的根是（ B ）
A. x1＝6，x2＝4
B. x1＝6，x2＝－4
C. x1＝－6，x2＝4
D. x1＝－6，x2＝－4
B
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4. 方程x（x－3）－5（x－3）＝0两根的和是 .
5. 用因式分解法解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方
程，请写出其中的一个一元一次方程： .
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x＋3＝0（或x－1＝0）
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6. 教材P14练习T1变式 用因式分解法解下列方程：
（1）x2－9＝0；
解：因式分解，得（x＋3）（x－3）＝0.
于是得x＋3＝0，或x－3＝0，x1＝－3，x2＝3.
（2）x2＋2x＝0；
解：因式分解，得x（x＋2）＝0.
于是得x＝0，或x＋2＝0，x1＝0，x2＝－2.
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（4）2x2－4x－30＝0.
解：因式分解，得2（x－5）（x＋3）＝0.于是得x－5＝0，或x＋3＝0，x1＝
5，x2＝－3.
（3）x（x－2）－x＋2＝0；
解：原式变形，得x（x－2）－（x－2）＝0.
因式分解，得（x－2）（x－1）＝0.
于是得x－2＝0，或x－1＝0，x1＝2，x2＝1.
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选择合适的方法解一元二次方程
7. 下列方程的解法选择合适的有（ B ）
①解方程x2＝2 x，选择因式分解法；②解方程x2－7x＋10＝0，选择配方法；
③解方程x2－2x－2 024＝0，选择公式法；④解方程4（x－1）2＝9，用直接开
平方法.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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8. 教材P25复习题21T1变式 用适当的方法解下列方程：
（1）2x2－6＝0；
解：原方程可化为x2＝3.
直接开平方，得x1＝ ，x2＝－ .
（2）x2＋2x－399＝0；
解：移项，得x2＋2x＝399.
配方，得x2＋2x＋1＝399＋1，即（x＋1）2＝400，
直接开平方，得x＋1＝20，或x＋1＝－20，
解得x1＝19，x2＝－21.
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（3）x（x－2）＋x－2＝0；
解：因式分解，得（x－2）（x＋1）＝0.即x－2＝0，或x＋1＝0，所以x1＝
2，x2＝－1.
（4）（3x＋2）（x＋3）＝8x＋15.
解：（3x＋2）（x＋3）＝8x＋15.
方程整理，得x2＋x－3＝0，a＝1，b＝1，c＝－3，∴b2－4ac＝12－4×1×
（－3）＝13，
∴x＝ ，解得x1＝ ，x2＝ .
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用因式分解法解方程时，两边同除以含有未知数的式子导致丢根
9. 某节数学课上，老师让学生解关于x的方程x（x＋5）＝2（x＋5），下面是
三位同学的解答过程：
小逸 小明 小琛
两边同时除以 （x＋5）， 得x＝2. 整理，得x2＋3x＝10， 配方，得x2＋3x＋ ＝10＋ ， ∴ ＝ ， ∴x＋ ＝± ， ∴x1＝2， x2＝－5. 移项，得x（x＋5）－2
（x＋5）＝0，
∴（x＋5）（x－2）＝0，
∴x＋5＝0，或x－2＝0，
∴x1＝－5，x2＝2.
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下列选项说法正确的是（ C ）
A. 只有小明的解法正确
B. 只有小琛的解法正确
C. 只有小逸的解法错误
D. 小明和小琛的解法都是错误的
C
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10. （泰安东平期末）已知方程（x－2）（3x＋1）＝0，则x－2的值为
（ D ）
A. － B. 0 C. －2 D. － 或0
11. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－3x＝4（x－3）的两
个实数根，则该直角三角形斜边上的中线的长是（ D ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 2.5
D
D
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12. 如图所示，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一
元二次方程x2＋2x－3＝0的根，则 ABCD的周长是 .
4＋2
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13. （周口商水质检）我们知道可以用公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）
（x＋q）来分解因式解一元二次方程.
例如：x2＋6x＋5＝0，方程分解为 ＝0，x2－2x－15＝
0，方程分解为 ＝0.
爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二
次方程.
例如：3x2－7x＋2＝0.
解：方程分解为（x－2）（3x－1）＝0，从而可以快速求出方程的解.
（1）补全题中空白部分的内容.
（x＋1）（x＋5）
（x＋3）（x－5）
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（2）请利用此方法解方程2x2＋3x－5＝0.
解：（2）2x2＋3x－5＝0，（2x＋5）（x－1）＝0，
2x＋5＝0，或x－1＝0，所以x1＝－ ，x2＝1.
（3）请利用此方法解关于x的一元二次方程3x2－（6＋a）x＋2a＝0.
解：（3）3x2－（6＋a）x＋2a＝0，（3x－a）（x－2）＝0，
3x－a＝0或x－2＝0，所以x1＝ ，x2＝2.
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14. 阅读理解 阅读材料后解答问题.
解：2x2－3x－2＝0，
拆项，分组，得2x2－4x＋x－2＝0，
提公因式，得2x（x－2）＋（x－2）＝0，
再提公因式，得（x－2）（2x＋1）＝0，
所以x－2＝0，或2x＋1＝0.
即x1＝2，x2＝－ .
运用以上方法解方程6x2＋7x－3＝0.
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解：6x2＋7x－3＝0，
拆项，分组，得6x2－2x＋9x－3＝0，
提公因式，得2x（3x－1）＋3（3x－1）＝0，
再提公因式，得（3x－1）（2x＋3）＝0，
所以3x－1＝0，或2x＋3＝0.
即x1＝ ，x2＝－ .
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 传播问题和数字问题
传播问题
1. 教材P19探究1变式 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过
两轮传播就会有144台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一
台电脑会感染几台电脑？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.根据题意，得1＋x＋（1＋x）
x＝144，
整理，得（x＋1）2＝144，解得x1＝11，x2＝－13（不合题意，舍去）.故每轮
感染中平均一台电脑会感染11台电脑.
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握手问题
2. 教材P25复习题21T7变式 某校九年级各班进行拔河比赛，每两个班之间都要
赛一场，共赛28场.设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（ C ）
A. x（x－1）＝28 B. ＝28
C. ＝28 D. x（x＋1）＝28
C
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3. 模型观念 参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有
公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
（1）设共有x家公司参加商品交易会，用含x的代数式表示：
每家公司与其他 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签
订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订
了 份合同.
（x－1）
x（x－1）
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（2）列出方程并完成本题解答.
解：根据题意，得 x（x－1）＝45，整理，得x2－x－90＝0，解得x1＝10，x2
＝－9（不合题意，舍去）.
故共有10家公司参加商品交易会.
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数字问题
4. 阅读材料，回答问题.
反序数：
有这样一对数，一个数的数字排列完全颠倒过来变成另一个数，简单地说，就是
顺序相反的两个数，我们把这样的一对数称为“反序数”，比如：12的反序数是
21，456的反序数是654.
用方程知识解决问题：
若一个两位数，其十位上的数字比个位上的数字大3，这个两位数与其反序数之
积为1 300，求这个两位数.
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解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为（x＋3），根据题意，得[10
（x＋3）＋x]（10x＋x＋3）＝1 300，整理，得x2＋3x－10＝0，解得x1＝－5
（不符合题意，舍去），x2＝2，∴10（x＋3）＋x＝10×（2＋3）＋2＝52.
答：这个两位数为52.
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列方程解决数字问题时，数位的表示方法错误
5. 有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为4，如果把十位上的
数字与个位上的数字调换位置后，所得的两位数与原来的两位数之积为403，设
原来的数的个位上的数字是x，则可列方程是（ A ）
A. （9x＋4）（40－9x）＝403
B. （9x－4）（40－9x）＝403
C. （4－x）x·x（40－9x）＝403
D. （9x＋4）（4－9x）＝403
A
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6. 应用意识 某市轨道交通4号线从市北站出发，依次为市北－市东－火车站
－……－白山区.从市北到白山区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个
站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（ B ）
A. x（x＋1）＝156
B. x（x－1）＝156
C. x（x＋1）＝156
D. x（x－1）＝156
B
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7. 应用意识 （安庆期中）“甲流病毒”是一种传染性极强的急性呼吸道传染
病毒，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现.在“甲流”初期，有1人感
染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了
“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了（ D ）
A. 11人 B. 12人 C. 13人 D. 14人
8. 一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字
交换一下位置后平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数是
（ B ）
A. 21 B. 31 C. 42 D. 53
D
B
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9. 新情境 （滨州滨城区开学）为增强学生身体素质，提高学生篮球运动竞技水
平，我市开展“市长杯”篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.
现计划赛程为3天，每天安排5场比赛，则应邀请 个球队参赛.
10. 如图所示是某年某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位
置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22），若圈出的9个数中，
最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是 .
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11. 探究拓展 探究：在一次聚会上，规定两个人见面必须握手，且只握手1
次.
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手 次；若参加聚会的人数为6，则共握
手 次.
（2）若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手 次.
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n（n－1）
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（3）若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数.
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线（不含OA，
OB边），角的总数为20，求m的值.”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20.”琪琪的思考对吗？若
对，请说明理由；若不对，请求出m的值.
解：探究：（3）设有x人参加聚会，根据题意，得 x（x－1）＝45，
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解得x1＝10，x2＝－9（不合题意，舍去）.
故参加聚会的有10人.
拓展：琪琪的思考对，理由如下：
从点O共引出m条射线，若共有20个角，则有 （m＋1）（m＋2）＝20，
解得m＝ .与m为正整数矛盾，所以不可能有20个角.
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第3课时 几何图形面积问题
规则图形的面积问题
1. （亳州涡阳期中）如图所示，长方形铁皮的长为10 cm，宽为8 cm，现在它的
四个角上剪去边长为x cm的正方形，做成底面积为24 cm2的无盖的长方体盒子，
则x的值为（ A ）
A. 2 B. 7 C. 2或7 D. 3或6
A
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2. 教材P25复习题21T8变式 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻
坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m2的矩形试验茶园，便于成功后
大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围
成，其中一边开有一扇1 m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽.
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解：设茶园垂直于墙的一边长为x m，则另一边的长度为（69＋1－2x）m.
根据题意，得x（69＋1－2x）＝600，
整理，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20.
当x＝15时，70－2x＝40＞35，不符合题意，舍去；
当x＝20时，70－2x＝30，符合题意.
答：这个茶园的长为30米，宽为20米.
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边框与甬道的面积问题
3. 如图所示，在长为100 m、宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，
若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3 600 m2，则小路的宽是
（ A ）
A. 5 m B. 70 m C. 5 m或70 m D. 10 m
A
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4. 某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图所示，原广场长50 m，宽40 m，要求
扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩
建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元，如果计
划总费用为642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？
解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m，依题意，得
3x×2x×100＋30（3x×2x－50×40）＝642 000，
整理，得780x2＝702 000.
解得x1＝30，x2＝－30（不合题意，舍去）.
所以3x＝90，2x＝60.
答：扩充后广场的长为90米，宽为60米.
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运用一元二次方程解决几何图形问题时，忽视长度的限制条件而出错
5. 如图所示，在一幅长80 cm、宽50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，
制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，那么金色纸边的宽
为 cm.
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6. （天津河西区一模）把一根长为80 cm的绳子剪成两段，并把每一段绳子都围
成一个正方形，如图所示，有以下结论：
①当AF的长是12 cm时，BC的长为8 cm；
②这两个正方形的面积之和可以是198 cm2；
③这两个正方形的面积之和可以是288 cm2.
其中，正确的结论有（ C ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
C
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7. 数学文化 （威海期末）我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何
解法.以方程x2＋5x－14＝0，即x（x＋5）＝14为例说明，《方图注》中记载的
方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积是（x＋x＋5）2，同时它又等于
四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，因此x＝2.小明用此方
法解关于x的方程x2＋mx－n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积
为14，小正方形的面积为4，则（ D ）
A. m＝2，n＝3 B. m＝ ，n＝2
C. m＝ ，n＝2 D. m＝2，n＝
D
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8. （常州武进区模拟）如图所示是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为34
米，宽为20米.停车场内车道的宽都相等.若停车位的总占地面积为480平方米，
求车道的宽度.
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解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（34－x）米、宽为（20－x）
米的矩形，
根据题意，得（34－x）（20－x）＝480，
整理，得x2－54x＋200＝0，
解得x1＝4，x2＝50（不符合题意，舍去）.
答：车道的宽度为4米.
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9. 几何直观 如图所示，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝10
cm，现有动点P从点B出发，沿射线BC运动，速度为2 cm/s，动点Q从点A出
发，沿线段AC运动，速度为1 cm/s，到点C时停止运动，它们同时出发，设运动
时间为t秒.
（1）当t＝3时，求△PQC的面积.
解：（1）当t＝3时，CP＝10－2×3＝4（cm），
CQ＝8－1×3＝5（cm），
△PQC的面积为 CP·CQ＝ ×4×5＝10（cm2）.
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（2）当t为多少时，△PQC的面积为2 cm2？
解：（2）当0＜t≤5时， ×（10－2t）（8－
t）＝2，解得t1＝ （不合题意，舍
去），t2＝ ；当5＜t≤8时， （2t－
10）（8－t）＝2，解得t1＝6，t2＝7.
综上所述：当t为 或6或7时，△PQC的
面积为2 cm2.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第2课时 用配方法解方程
配方
1. 教材P9练习T1变式 （滨州博兴期末）若把方程x2－6x－4＝0的左边配成完
全平方的形式，则变形正确的是（ B ）
A. （x－3）2＝9 B. （x－3）2＝13
C. （x－3）2＝5 D. （x－3）2＝10
2. 若等式x2－2x＋a＝（x－1）2－3成立，则a＝ .
B
－2
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用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
3. 用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是（ D ）
A. （x＋6）2＝28 B. （x－6）2＝28
C. （x＋3）2＝1 D. （x－3）2＝1
4. （徐州中考）用配方法解方程：
x2＋2x－1＝0.
解：方程变形，得x2＋2x＝1.配方，
得x2＋2x＋1＝2，即（x＋1）2＝2.
开方，得x＋1＝± .
由此可得x1＝－1＋ ，x2＝－1－ .
D
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用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
5. 把一元二次方程 x2－3x－1＝0配方成（x＋a）2＝b的形式，则b＝ .
6. 用配方法解方程：3x2－9x＋2＝0.
解：3x2－9x＋2＝0，方程变形，得x2－3x＝－ .
配方，得x2－3x＋ ＝－ ＋ ，
＝ .开方，得x－ ＝± .
由此可得x1＝ ，x2＝ .
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用配方法解二次项系数不为1的方程时漏除常数项
7. 下面是小明同学用配方法解方程2x2－12x－1＝0的过程：
解：2x2－12x＝1.…第1步
x2－6x＝1.…第2步
x2－6x＋9＝1＋9.…第3步
（x－3）2＝10，x－3＝± .…第4步
∴x1＝3＋ ，x2＝3－ .
最开始出现错误的是第 步.
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8. （长沙期末）在解方程2x2＋4x＋1＝0时，对方程进行配方，图①是小思做
的，图②是小博做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（ A ）
A. 两人都正确
B. 小思正确，小博不正确
C. 小思不正确，小博正确
D. 两人都不正确
A
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9. （滁州凤阳月考）用配方法解方程2x2－6x＋1＝0时，若将方程化为（x＋
m）2＝n的形式，则m＋n的值为（ B ）
A. －1 B. C. － D. 1
10. 把方程x2－4x－7＝0化成（x－m）2＝n的形式，则点P（m，n）关于x
轴对称的点的坐标为（ C ）
A. （2，11） B. （－2，11）
C. （2，－11） D. （－2，－11）
B
C
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11. 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数，a≠0）配方后为
（x＋1）2＝d（d为常数），则 ＝ .
12. 若方程2x2＋8x－32＝0能配方成（x＋p）2＋q＝0的形式，则直线y＝px
＋q不经过第 象限.
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二
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13. 运算能力 用配方法解下列方程：
（1）x（x－4）＝2－8x；
解：去括号、移项、合并同类项，得x2＋4x＝2.
配方，得x2＋4x＋4＝6，即（x＋2）2＝6.
开方，得x＋2＝± ，
解得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
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（2）2x2－4 x－8＝0.
解：整理，得x2－2 x＝4.
配方，得（x－ ）2＝6.
开方，得x－ ＝± ，
解得x1＝ ＋ ，x2＝ － .
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14. 阅读理解 我们可以用以下方法求代数式x2＋6x＋5的最小值.x2＋6x＋5
＝x2＋2·x·3＋32－32＋5＝（x＋3）2－4.
∵（x＋3）2≥0，
∴（x＋3）2－4≥－4，
∴当x＝－3时，x2＋6x＋5有最小值－4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求代数式x2－4x＋2的最小值.
解：（1）x2－4x＋2＝x2－2·x·2＋22－22＋2＝（x－2）2－2.
∵（x－2）2≥0，∴（x－2）2－2≥－2，
∴当x＝2时，x2－4x＋2有最小值－2.
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（2）求代数式－x2＋6x＋9的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时x
的值.
解：（2）－x2＋6x＋9＝－（x2－2·x·3＋32）＋32＋9＝－（x－3）2＋18.
∵（x－3）2≥0，∴－（x－3）2＋18≤18，
∴当x＝3时，－x2＋6x＋9有最大值18.
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（3）求证：无论x和y取任何实数，代数式2x2＋10y2－6xy－6x－2y＋11的值
都是正数.
解：（3）证明：2x2＋10y2－6xy－6x－2y＋11＝x2－6x＋9＋y2－2y＋1＋x2
－6xy＋9y2＋1＝（x－3）2＋（y－1）2＋（x－3y）2＋1.
∵（x－3）2≥0，（y－1）2≥0，（x－3y）2≥0，
∴（x－3）2＋（y－1）2＋（x－3y）2＋1＞0，
∴无论x和y取任何实数，代数式2x2＋10y2－6xy－6x－2y＋11的值都是正数.
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15. 运算能力 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程x（x＋4）＝6.
解：原方程可变形，得[（x＋2）－2][（x＋2）＋2]＝6.
（x＋2）2－22＝6，
（x＋2）2＝6＋22，
（x＋2）2＝10.
直接开平方并整理，得x1＝－2＋ ，x2＝－2－ .
我们称这种解法为“平均数法”.
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（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x＋3）（x＋7）＝5时写的解题过程.
解：原方程可变形，得[（x＋a）－b][（x＋a）＋b]＝5.
（x＋a）2－b2＝5，
（x＋a）2＝5＋b2.
直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d.（c＞d）
上述过程中的a，b，c，d表示的数分别为 ， ， ， .
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±2
－2
－ 8
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（2）请用“平均数法”解方程：（x－5）（x＋3）＝6.
解：原方程可变形，得
[（x－1）－4][（x－1）＋4]＝6.
（x－1）2－42＝6，（x－1）2＝6＋42.
直接开平方并整理，得
x1＝1＋ ，x2＝1－ .
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
＊21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系求关于两根的代数式的值
1. （天津中考）若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的两个根，则（ A ）
A. x1＋x2＝6 B. x1＋x2＝－6
C. x1x2＝ D. x1x2＝7
2. 若x1和x2为一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则 x2＋x1 的值为
（ B ）
A. 4 B. 2 C. 4 D. 3
A
B
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4. （随州中考）已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1
和x2，则x1＋x2－x1x2的值为 .
5. （东营利津期末）如果α，β是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个根，那么α2
＋4α＋β＋2 021的值是 .
2
2 024
3. 已知x1，x2是一元二次方程x2－x－1＝0的两根，则 ＋x2的值为（ B ）
A. 0 B. 2 C. 1 D. －1
B
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（1） ＋ ；
解：∵x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ .
（1）原式＝（x1＋x2）2－2x1x2＝ ＋7＝ .
（2） ＋ .
解：（2）原式＝ ＝ ＝－ .
6. 设x1，x2是方程2x2＋5x－7＝0的两个实数根，不解方程，求下列式子的值.
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利用根与系数的关系求未知系数或方程的根
7. 已知一元二次方程x2＋6x＋c＝0有一个根为－2，则另一个根为（ C ）
A. －2 B. －3 C. －4 D. －8
8. （德州德城区三模）已知一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为x1，x2，
且x1＋x2＝3，x1x2＝2，则b，c的值分别是（ B ）
A. b＝3，c＝2 B. b＝－3，c＝2
C. b＝－3，c＝－2 D. b＝3，c＝－2
9. （湖北中考）已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若
x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝ .
C
B
－5
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利用根与系数的关系求方程中的待定参数时，忽略Δ≥0这一前提条件
10. 已知关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根.
（1）求m的取值范围.
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0有实数根，∴Δ＝
b2－4ac＝[－（2m－1）]2－4×1×m2≥0，解得m≤ .
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（2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1＋x2＝2－x1x2，求m的值.
解：（2）∵关于x的一元二次方程x2－（2m－1）x＋m2＝0的两个根分别为
x1，x2，∴x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2.
∵x1＋x2＝2－x1x2，即2m－1＝2－m2，
整理，得m2＋2m－3＝0，∴（m＋3）（m－1）＝0，
解得m1＝－3，m2＝1（不合题意，舍去）.
故m的值为－3.
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11. 下面以3和－1为两根的一元二次方程是（ C ）
A. x2＋2x－3＝0
B. －2x2－4x＋6＝0
C. 3x2－6x－9＝0
D. x2－2x＋3＝0
C
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12. 已知关于x的一元二次方程 mx2－（m＋2）x＋ ＝0有两个不等的实数根
x1，x2.若 ＋ ＝4m，则m的值是（ A ）
A. 2 B. －1
C. 2或－1 D. 不存在
A
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13. 阅读理解 定义运算：a★b＝a（1－b）.若a，b是方程x2－x＋ m＝0
（m＜0）的两根，则b★b－a★a的值为（ A ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关
14. 已知a，b是方程x2＋3x－4＝0的两根，则a2＋4a＋b－3＝ .
15. （潍坊一模）关于x的方程mx2－4x＋1＝0的两实数根为x1和x2，若x1＋x2
＋x1x2＝ m，则m＝ －2 .
A
－2
－2
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16. 若m，n是一元二次方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，则 的值
为 .
17. 若关于x的方程x2－2（m＋1）x＋m＋4＝0两根的倒数和为1，则m的值
为 .
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18. 推理能力 （遂宁中考）已知关于x的一元二次方程x2－（m＋2）x＋m
－1＝0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不等的实数根.
解：（1）证明：x2－（m＋2）x＋m－1＝0，这里a＝1，b＝－（m＋2），
c＝m－1，Δ＝b2－4ac＝[－（m＋2）]2－4×1×（m－1）＝m2＋4m＋4－
4m＋4＝m2＋8.
∵m2≥0，∴Δ＞0.
∴无论m取何值，方程都有两个不等的实数根.
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（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且 ＋ －x1x2＝9，求m的值.
解：（2）设方程x2－（m＋2）x＋m－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2
＝m＋2，x1x2＝m－1.
∵ ＋ －x1x2＝9，即（x1＋x2）2－3x1x2＝9，
∴（m＋2）2－3（m－1）＝9.
整理，得m2＋m－2＝0.∴（m＋2）（m－1）＝0.解得m1＝－2，m2＝
1.∴m的值为－2或1.
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19. 阅读理解 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根x1，x2和
系数a，b，c，有如下关系：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋
mn2的值.
解：∵m，n是一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根，
∴m＋n＝1，mn＝－1.
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1.
根据上述材料，结合你所学的知识，回答下列问题：
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（1）应用：一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2
＝ － ，x1x2＝ － .
（2）类比：已知一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根为m，n，求m2＋n2
的值.
解：（2）∵一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m＋
n＝－ ，mn＝－ ，
∴m2＋n2＝（m＋n）2－2mn＝ ＋1＝ .
－
－
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（3）提升：已知实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0且s≠t，求 －
的值.
解：（3）∵实数s，t满足2s2＋3s－1＝0，2t2＋3t－1＝0，且s≠t，∴s，t
是一元二次方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，∴s＋t＝－ ，st＝－ .
∵（t－s）2＝（t＋s）2－4st＝ －4× ＝ ，∴t－s＝± ，
∴ － ＝ ＝ ＝± .
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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第2课时 变化率问题和利润问题
平均变化率问题
1. （安庆潜山期末）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿
地面积增加44％，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ A ）
A. 20％ B. 11％ C. 22％ D. 44％
A
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2. 新情境 某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书
馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆
608人次，若进馆人次的月平均增长率相同.
（1）求进馆人次的月平均增长率.
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意，得128＋128（1＋x）＋
128（1＋x）2＝608.
化简，得4x2＋12x－7＝0.
∴（2x－1）（2x＋7）＝0，
∴x1＝0.5＝50％，x2＝－3.5（舍去）.
即进馆人次的月平均增长率为50％.
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8
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平
均增长率相同的条件下，请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明
理由.
解：（2）能.理由：∵进馆人次的月平均增长率为50％，
∴第四个月的进馆人次为128（1＋50％）3＝128× ＝432＜500.
即校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
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4
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8
利润问题
3. 某商场台灯销售的利润为每台40元，平均每月能售出600台.这种台灯的售价每
上涨1元，其销售量就将减少10台，为了实现平均每月10 000元的销售利润，台灯
的售价应是多少？若设每台台灯涨价x元，则可列方程为（ A ）
A. （40＋x）（600－10x）＝10 000
B. （40＋x）（600＋10x）＝10 000
C. x[600－10（x－40）]＝10 000
D. x[600＋10（x－40）]＝10 000
A
1
2
3
4
5
6
7
8
4. 某公司向厂家订购A，B两款洗手液共50箱.已知A款洗手液的进价为每箱200
元，在此基础上，所购买的A款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元.厂家为
保障盈利，每次最多可购买30箱A款洗手液.B款洗手液的进价为每箱100元.设该
公司购买A款洗手液x箱.
（1）根据信息填表：
型号 数量/箱 进价/（元/箱）
A x
B 100
202－2x
50－x
1
2
3
4
5
6
7
8
（2）若购买这批洗手液的总进价为6 240元，则该公司购买了多少箱A款洗
手液？
解：（2）根据题意，知（202－2x）x＋100（50－x）＝6 240，
解得x1＝31，x2＝20.
∵最多可订购30箱A款洗手液，
∴x＝20符合题意.
答：该公司购买了20箱A款洗手液.
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忽略所求方程的根是否符合实际问题的要求
5. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1
元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提
下，商家还想获得6 080元利润，应将销售单价定为（ A ）
A. 56元 B. 57元 C. 59元 D. 56元或59元
A
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6. （益阳二模）某商场将进价为30元的台灯以单价40元售出，平均每月能售出
600个.调查表明：这种台灯的单价每上涨1元，其销售量将减少10个.为实现平均
每月10 000元的销售利润，从消费者的角度考虑，商场对这种台灯的售价应定
为 元.
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7. 模型观念 （梅州平远模拟）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划
以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售.已知这种菠
萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关
系，其图象如图所示.
（1）求y与x之间的函数解析式.
解：（1）设y与x之间的函数解析式为
y＝kx＋b（k≠0），
将（2，100），（5，160）代入y＝kx＋b，得
解得
∴y与x之间的函数解析式为
y＝20x＋60（0＜x＜20）.
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（2）当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利多少元？
解：（2）（60－4－40）×（20×4＋60）＝16×140＝2 240
（元）.
答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2 240元.
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（3）若超市要想获利2 400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降
价多少元？
解：（3）根据题意，得（60－x－40）（20x＋60）＝2 400，
整理，得x2－17x＋60＝0，解得x1＝5，x2＝12.
又∵要让顾客获得更大实惠，∴x＝12.
答：这种菠萝蜜每千克应降价12元.
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8. 应用意识 某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升
级，使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中
4月份再生纸产量比3月份的2倍少100吨.
（1）求4月份再生纸的产量.
解：（1）设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为（2x－
100）吨，
依题意，得x＋2x－100＝800，解得x＝300，
∴2x－100＝2×300－100＝500.
即4月份再生纸的产量为500吨.
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（2）若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m％.5
月份每吨再生纸的利润比上月增加 ％，则5月份再生纸项目月利润达到66万元.
求m的值.
解：（2）依题意，得1 000 ×500·（1＋m％）＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320（不合题意，舍去）.
即m的值为20.
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（3）若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长
率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月
增加了25％.求6月份每吨再生纸的利润是多少元.
解：（3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为
a吨，
依题意，得1 200（1＋y）2·a（1＋y）＝（1＋25％）×1 200（1＋y）·a，
∴1 200（1＋y）2＝1 500.
即6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
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8(共32张PPT)
第二十一章 一元二次方程
本章综合提升
1. 转化思想
在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单问题，将生疏问题转化为熟悉问
题，把未知问题转化为已知问题，这种思想在数学中称为转化思想.
在本章中，各种解一元二次方程的方法都是通过“降次”转化为一元一次方
程求解；高于二次的方程，也可以通过转化思想进行降次求解.
【例1】 阅读理解 解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0时，我们可以
将x2－1视为一个整体，设x2－1＝y，则y2＝（x2－1）2，原方程化为y2－5y＋4
＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝± ；
当y＝4时，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝± .
∴原方程的解为x1＝－ ，x2＝ ，x3＝－ ，x4＝ .
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想.
运用上述方法解答下列方程：
（1）x4－3x2－4＝0.
解：（1）x4－3x2－4＝0，（x2）2－3x2－4＝0，
令x2＝y，则y2－3y2－4＝0.
（y－4）（y＋1）＝0，∴y－4＝0，或y＋1＝0，
解得y1＝4，y2＝－1（不合题意，舍去），
则x2＝4，∴x1＝2，x2＝－2.
（2）（x2＋2x）2－（x2＋2x）－6＝0.
解：（2）设y＝x2＋2x，则y2－y－6＝0，
∴（y－3）（y＋2）＝0，y1＝3，y2＝－2.
当y＝3时，x2＋2x－3＝0，x1＝－3，x2＝1；
当y＝－2时，x2＋2x＋2＝0，无解.
故方程的解为x1＝－3，x2＝1.
【变式训练1】
（重庆垫江期末）阅读理解：已知m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n
的值.
解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，
∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0.
∴（m－n）2＋（n－4）2＝0.
∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0.
∴n＝4，m＝4.
解：（1）∵a2＋b2－10a＋4b＋29＝0，
∴（a2－10a＋25）＋（b2＋4b＋4）＝0，
∴（a－5）2＋（b＋2）2＝0，
∴（a－5）2＝0，（b＋2）2＝0，∴a＝5，b＝－2.
方法应用：（1）已知a2＋b2－10a＋4b＋29＝0，求a，b的值.
①用含y的式子表示x： .
②若xy－z2－6z＝10，求yx＋z的值.
解：（2）②∵xy－z2－6z＝10，∴y（4－4y）－z2－6z＝10，
∴4y－4y2－z2－6z＝10，∴4y2－4y＋z2＋6z＋10＝0，
∴（2y－1）2＋（z＋3）2＝0，
∴y＝ ，z＝－3，∴x＝2，∴yx＋z＝ ＝2.
4－4y
（2）已知x＋4y＝4.
2. 整体思想
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改
造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成
一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识地整体处理.
（1）对于一些与一元二次方程有关的求代数式的值的题目，运用整体代入
法，仔细观察所求的代数式与已知条件的关系，通过变形，整体代入计算，可起
到化繁为简的目的.
（2）根与系数关系的有关问题大多采用整体代入法.
【例2】 模型观念 已知a是一元二次方程x2－2 025x＋1＝0的一个根，
试求a2－2 024a－ 的值.
解：由题意，把x＝a代入方程x2－2 025x＋1＝0中，
得a2－2 025a＋1＝0，∴a2＋1＝2 025a，a2－2 025a＝－1，
∴a2－2 024a－ ＝a2－2 024a－ ＝a2－2 024a－a＝a2－2 025a＝－
1，∴a2－2 024a－ 的值为－1.
【变式训练2】
关于x的一元二次方程x2－3x－mx＋m－1＝0.
（1）试判断该方程根的情况并说明理由.
解：（1）该方程有两个不等的实数根.
理由：x2－3x－mx＋m－1＝0，x2＋（－3－m）x＋m－1＝0，
Δ＝（－3－m）2－4×1×（m－1）＝m2＋2m＋13＝（m＋1）2＋12.∵不论
m为何值，（m＋1）2≥0，∴Δ＞0，
即该方程有两个不等的实数根.
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且3x1－x1x2＋3x2＝12，求该方
程的解.
解：（2）∵x1，x2是方程x2－3x－mx＋m－1＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝3
＋m，x1x2＝m－1.
∵3x1－x1x2＋3x2＝12，∴3（x1＋x2）－x1x2＝12，
∴3（3＋m）－（m－1）＝12，解得m＝1.
方程为x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝4.
3. 分类讨论思想
分类讨论就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解
决，且做到“不重复、不遗漏”.
（1）在已知方程解的情况下求字母系数的值或取值范围，往往需要分
类讨论.
（2）一元二次方程的根作为三角形的边长时，往往需要分类讨论求解.
【例3】 推理能力 已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0.
（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根.
解：（1）证明：当m＝0时，方程变形为－2x＋2＝0，
解得x＝1，方程有实数根；当m≠0时，
Δ＝[－（m＋2）]2－4m·2＝（m－2）2≥0，方程有两个实数根.
所以不论m为何值，方程总有实数根.
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根.
解：（2）设方程的另一个根为t，
根据题意，得2＋t＝ ，2t＝ ，
则2＋t＝1＋2t，解得t＝1，所以m＝1，
即m的值为1，方程的另一个根为1.
【变式训练3】
已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－（2k＋3）x
＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC是等腰三角形，
求△ABC的周长.
解：∵x2－（2k＋3）x＋k2＋3k＋2＝0，
∴x1＝k＋1，x2＝k＋2.
∵△ABC是等腰三角形，①k＋1＝k＋2，不成立；
②k＋1＝4，∴k＝3，∴k＋2＝5，周长为4＋4＋5＝13；
③k＋2＝4，∴k＝2，∴k＋1＝3，周长为3＋4＋4＝11.
∴△ABC的周长为11或13.
1. （济南历下区期末）下列是关于x的一元二次方程的是（ B ）
A. x2－ ＝2 021 B. x（x＋6）＝0
C. a2x－5＝0 D. 4x－x3＝2
2. （威海乳山期末）若a，b，c满足 则关于x的方程ax2＋
bx＋c＝0（a≠0）的两个根的平方和是（ C ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
B
C
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3. 跨学科·物理 根据物理学规律，如果把一个小球从地面以10 m/s的速度竖直
上抛，那么小球经过x s离地面的高度（单位：m）为10x－4.9x2.根据该规律，
下列对方程10x－4.9x2＝5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释正确的是
（ D ）
A. 小球经过约1.02 s离地面的高度为5 m
B. 小球离地面的高度为5 m时，经过约0.88 s
C. 小球经过约1.16 s离地面的高度为5 m，并将继续上升
D. 小球两次到达离地面的高度为5 m的位置，其时间间隔约为0.28 s
D
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4. （西安碑林区模拟）如图所示，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图
所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243
平方米，请列出关于x的方程，并化为一般式： .
x2－38x＋37＝0
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5. 几何直观 （合肥蜀山区期末）为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库
的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示
的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中a的
值为 .
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6. （安庆太湖期末）用配方法解方程：2x2＋5x－12＝0.
解：2x2＋5x－12＝0，
移项，得2x2＋5x＝12，x2＋ x＝6，
配方，得x2＋ x＋ ＝6＋ ，即（x＋ ）2＝ ，
开方，得x＋ ＝± ，解得x1＝ ，x2＝－4.
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7. （扬州高邮模拟）某初中学校要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮
球场地的长和宽分别为28米和16米；②在篮球场地四周修建宽度相等的安全区
域；③篮球场地及安全区域的总面积为640 m2.
（1）求安全区域的宽度.
解：（1）设安全区域的宽度为x米，由题意得（28＋2x）
（16＋2x）＝640，整理，得x2＋22x－48＝0，
解得x1＝2，x2＝－24（不符合题意，舍去）.
答：安全区域的宽度为2米.
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（2）某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过
两次协商，最终以32万元达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百
分率.
解：（2）设每次降价的百分率为a，由题意得50（1－a）2
＝32，解得a1＝1.8（舍去），a2＝0.2＝20％.
答：每次降价的百分率为20％.
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8. （东营中考）用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023＝0，将它转化为（x＋
a）2＝b的形式，则ab的值为（ D ）
A. －2 024 B. 2 024 C. －1 D. 1
9. （潍坊中考）已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，
n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ C ）
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法确定
D
C
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10. （宿迁中考）规定：对于任意实数a，b，c，有【a，b】★c＝ac＋b，
其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1＋3＝5.若关于x
的方程【x，x＋1】★（mx）＝0有两个不等的实数根，则m的取值范围为
（ D ）
A. m＜ B. m＞
C. m＞ 且m≠0 D. m＜ 且m≠0
11. （深圳中考）一元二次方程x2－4x＋a＝0的一个解为x＝1，则a＝ .
12. （烟台中考）若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m
＋n2的值为 .
D
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13. （青岛中考）如图所示，某小区要在长为16 m、宽为12 m的矩形空地上建造
一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则
小路宽为 m.
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14. （青海中考）（1）解一元二次方程：x2－4x＋3＝0.
解：（1）x2－4x＋3＝0，（x－1）（x－3）＝0，
x－1＝0，或x－3＝0，x1＝1，x2＝3.
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.
解：（2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边的长为 ＝2 ，当1和
3是直角三角形的直角边长时，第三边的长为 ＝ ，
∴第三边的长为2 或 .
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15. （内江中考）已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0（p为常数）有两个
不等的实数根x1和x2.
（1）填空：x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
p
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（2）求 ＋ ，x1＋ .
解：（2）∵x1＋x2＝p，x1x2＝1，
∴ ＋ ＝ ＝ ＝p.
∵关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0（p为常数）有两个不等的实数根x1和
x2，
∴ －px1＋1＝0，∴x1＋ ＝p.
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（3）已知 ＋ ＝2p＋1，求p的值.
解：（3）由根与系数的关系，得x1＋x2＝p，x1x2＝1.
∵ ＋ ＝2p＋1，∴（x1＋x2）2－2x1x2＝2p＋1，
∴p2－2＝2p＋1，解得p1＝3，p2＝－1.
当p＝3 时，Δ＝p2－4＝9－4＝5＞0；
当p＝－1 时，Δ＝p2－4＝－3＜0.
∴p＝3.
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解方程
解形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程
1. （北京顺义区期末）方程x2－9＝0的解是（ C ）
A. x＝－3 B. x＝3
C. x1＝－3，x2＝3 D. x1＝ ，x2＝
2. （杭州上城区期中）关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m－1与m
－5，则m＝ .
C
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解形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的一元二次方程
3. 关于x的方程（x＋m）2＝n能用直接开平方法解的条件是（ C ）
A. m≥0，n≥0
B. m≥0，n≤0
C. m为任意数，n≥0
D. m为任意数，n＞0
C
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4. 教材P16习题21.2T1变式 用直接开平方法解下列方程：
（1）9（y＋4）2－49＝0；
解：由方程，得9（y＋4）2＝49，
即3（y＋4）＝±7，y＋4＝± ，
∴y1＝－ ，y2＝－ .
（2）（2x＋3）2＝（3x＋2）2.
解：（2x＋3）2＝（3x＋2）2，
开方，得2x＋3＝3x＋2，或2x＋3＝－3x－2，解得x1＝1，x2＝－1.
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不明确直接开平方法的条件而出错
5. 结论开放 若关于x的一元二次方程x2＋3＝a有实数根，则a的值可以为
.（写出一个即可）
5
（答案不唯一，只要a≥3即可）
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6. （廊坊广阳区开学）一元二次方程x2＋m＝0（m＜0）的解是（ C ）
A. x1＝－ ，x2＝
B. x1＝ ，x2＝
C. x1＝－ ，x2＝
D. 无解
7. 已知2x2＋3与2x2－4互为相反数，则x的值为（ A ）
A. ± B. ± C. D.
C
A
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8. 推理能力 对于方程（ax＋b）2＝c，下列叙述正确的是（ C ）
A. 不论c为何值，方程均有实数根
B. 方程的根是x＝
C. 当c≥0时，方程可化为ax＋b＝ 或ax＋b＝－
D. 当c＝0时，x＝
C
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9. 若a为一元二次方程（x－2 ）2＝4的较大的一个根，b为一元二次方程（y
－4）2＝18的较小的一个根，则a－b的值为 .
10. 小明用直接开平方法解方程（x－4）2＝（5－2x）2时，得出一元一次方程x
－4＝5－2x，则他漏掉的另一个方程为 .
5 －2
x－4＝－（5－2x）
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11. 已知一元二次方程（x－3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和
腰长，求△ABC的周长.
解：∵（x－3）2＝1，∴x－3＝±1，解得x1＝4，x2＝2.
∵一元二次方程（x－3）2＝1的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰
长，①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能构成三角形；②当底
边长和腰长分别是2和4时，能构成三角形，∴△ABC的周长为2＋4＋4＝10.
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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
学科核心
素养 具体内容
抽象能力 能通过观察方程形式上的共同点抽象出一元二次方程的概念及其一
般形式；类比其他方程的解得到一元二次方程解的概念；联系平方
根的知识得到用直接开平方解一元二次方程的方法，进而循序渐进
地掌握配方法、公式法，归纳得到各种解法的一般步骤；根据两个
实数的积等于0的条件得到运用因式分解解一元二次方程的方法，并
归纳出一般步骤；通过大量的实例，采用从特殊到一般的方法得到
根的判别式的作用和根与系数的关系
学科核心
素养 具体内容
运算能力 能用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；会用一元二次
方程根的判别式判别方程是否有实数根及两个实数根是否相等；了
解一元二次方程的根与系数的关系，能利用根与系数的关系解决一
些简单的问题
应用意识 能正确地分析问题中的数量关系，根据等量关系列出一元二次方
程，在分析解决问题的过程中更深入地体会一元二次方程的应用
价值
学科核心
素养 具体内容
模型观念 通过经历建立一元二次方程解决实际问题的过程，深入地认识一元
二次方程与现实生活的联系，加强建模思想，提高运用一元二次方
程分析和解决实际问题的能力
推理能力 能通过对一元二次方程一般形式的配方推理得到求根公式；能通过
求根公式直接计算两根的和与积，进而得出根与系数的关系
创新意识 通过列一元二次方程解决现实情境中有意义的数学问题，获得数学
活动经验，感悟数学的价值，形成批判质疑、克服困难、勇于担当
的科学精神，增强创新意识
1. 抽象能力 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ B ）
A. ax2＋bx＋c＝0
B. 2x2－5x＋7＝0
C. 2y2－x－3＝0
D. x2－ ＋2＝0
B
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一元二次方程的定义
2. （石家庄桥西区期末）若方程□＝5x－3是关于x的一元二次方程，则“□”可
以是（ A ）
A. 3x2 B. 22 C. 2y2 D. x
A
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一元二次方程的一般形式
3. 教材P4练习T1变式 （北京海淀区开学）方程2x2－3x－1＝x＋1的二次项系
数和一次项系数分别为（ C ）
A. 2和3 B. 1和－3
C. 2和－4 D. 2和－3
4. 一元二次方程2x2－（m＋1）x＋1＝x（x－1）化成一般形式后，一次项系
数为－2，则m的值为（ D ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
5. 将一元二次方程 x（x－2）＝5化为二次项系数为“1”的一般形式是
，其中，一次项系数是 ，常数项是 .
C
D
x2－
2x－15＝0
－2
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一元二次方程的根
6. 已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为（ B ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
7. 若关于x的一元二次方程mx2＋nx－1＝0（m≠0）的一个根是x＝1，则m＋
n的值是 .
B
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根据实际问题列一元二次方程
8. （唐山路南区期末）一次聚会，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物，
有人统计一共送了56件小礼物，如果参加这次聚会的人数为x，根据题意可列方
程为（ B ）
A. x（x＋1）＝56
B. x（x－1）＝56
C. 2x（x＋1）＝56
D. x（x－1）＝56×2
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9. 如图所示，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同
样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.设道路的宽为x
m，则下面所列方程正确的是（ C ）
A. （32－x）（20－x）＝32×20－570
B. 32x＋2×20x＝32×20－570
C. （32－2x）（20－x）＝570
D. 32x＋2×20x－2x2＝570
C
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求字母参数值时忽略二次项系数不为0的隐含条件而出错
10. 关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋｜m｜－1＝0的常数项为0，求m
的值.下面是小明和小莉的解题过程：
小明：由题意，得｜m｜－1＝0，所以m＝1或－1；
小莉：由题意，得｜m｜－1＝0，且m－1≠0，所以m＝－1.
下列说法正确的是（ B ）
A. 小明正确，小莉不正确
B. 小明不正确，小莉正确
C. 两人都不正确
D. 无法判断谁的解题过程正确
B
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11. 下列关于x的方程：①ax2＋b2x＋1＝0；②x2＋ －5＝0；③x2＋5x－6＝
0；④x2－2＋5x3－6＝0；⑤12x－10＝0；⑥3x2＋2＝3（x－2）2；⑦3x2－y＝
0.其中一定是一元二次方程的有（ D ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
12. （南阳卧龙区月考）若方程（m＋2） ＋2x＋1＝0是关于x的一元二
次方程，则m的值为（ D ）
A. －2 B. 0 C. －2或2 D. 2
D
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13. 下列说法正确的是（ D ）
A. 方程8x2－7＝0的一次项系数是－7
B. 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0
C. 当k≠0时，方程kx2＋3x－1＝x2为一元二次方程
D. 当m取任意实数时，关于x的方程（m2＋1）x2－mx－3＝0都为一元二次方程
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14. （成都锦江区月考）学校“自然之美”研究小组在野外考察时发现了一种植
物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，
现在一个主干上有主干、支干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确
的是（ C ）
A. 1＋（1＋x）2＝73 B. 1＋x2＝73
C. 1＋x＋x2＝73 D. x＋（1＋x）2＝73
C
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15. （威海质检）若m是方程x2－2x－2＝0的一个根，则－m3＋6m＋2 025的值
为 .
16. 关于x的方程（m2－4）x2＋（m－2）x－2＝0，当m满足 时，
方程为一元二次方程，当m满足 时，方程为一元一次方程.
17. 将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成 ，定义
＝ad－bc.上述记法就叫做二阶行列式.那么 ＝22表示的方
程 （填“是”或“不是”）一元二次方程，它的一般形式为
.
2 021
m≠±2
m＝－2
是
x2＋2x－
18＝0
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18. 阅读理解 请阅读下列材料：
问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程
根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ .
把x＝ 代入已知方程，得 ＋ －1＝0.
化简，得y2＋2y－4＝0，故所求方程为y2＋2y－4＝0.
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.
请根据材料中提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.
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（2）已知方程2x2－7x＋3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程
根的倒数.
解：（2）设所求方程的根为y，则y＝ ，所以x＝ .把x＝ 代入已知方程，
得2 －7· ＋3＝0.化简得3y2－7y＋2＝0，
即所求方程为3y2－7y＋2＝0.
（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根
的相反数，则所求方程为 .
y2－y－2＝0
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第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
一元二次方程根的判别式
1. （淄博淄川区期末）一元二次方程x2＝4x＋1中，根的判别式的值为
（ C ）
A. 8 B. 12 C. 20 D. 32
2. 已知关于x的一元二次方程5x2＋mx＋1＝0的根的判别式的值为16，则m的值
为 .
C
±6
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一元二次方程根的判别式的应用
3. （广元中考）关于x的一元二次方程2x2－3x＋ ＝0根的情况，下列说法正确
的是（ C ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定
C
4. 若关于x的一元二次方程x2－4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值
为 .
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用公式法解一元二次方程
5. 用公式法解一元二次方程3x2－2x＋3＝0时，首先要确定a，b，c的值，下
列叙述正确的是（ D ）
A. a＝3，b＝2，c＝3 B. a＝－3，b＝2，c＝3
C. a＝3，b＝2，c＝－3 D. a＝3，b＝－2，c＝3
6. 用公式法解一元二次方程，得x＝ ，则该一元二次方程是
.
D
3x2
＋5x＋1＝0
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7. 运算能力 用公式法解下列方程：
（1）x2－8x－5＝0；
解：a＝1，b＝－8，c＝－5.
Δ＝b2－4ac＝（－8）2－4×1×（－5）＝84＞0.
x＝ ＝4± ，
即x1＝4＋ ，x2＝4－ .
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（2）x（x－4 ）＋8＝0；
解：方程整理，得x2－4 x＋8＝0.
a＝1，b＝－4 ，c＝8.
Δ＝b2－4ac＝（－4 ）2－4×1×8＝0，
x＝ ＝2 ，
即x1＝x2＝2 .
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（3）x（x＋6）＝2（x－8）.
解：方程整理，得x2＋4x＋16＝0.
a＝1，b＝4，c＝16.
Δ＝b2－4ac＝42－4×1×16＝－48＜0.
∴此方程无实数根.
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8. 已知关于x的一元二次方程x2－（2m－3）x＋m2＝0.
（1）当m取何值时，该方程有实数根？
解：（1）由题意，得Δ＝[－（2m－3）]2－4m2≥0，
整理，得－12m＋9≥0，解得m≤ ，
所以当m≤ 时，该方程有实数根.
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（2）当m＝0时，用合适的方法求此时该方程的解.
解：（2）当m＝0时，方程为x2＋3x＝0.
a＝1，b＝3，c＝0.Δ＝b2－4ac＝9＞0.
方程有两个不等的实数根x＝ ＝ ＝ ，
解得x1＝0，x2＝－3.
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忽略方程有两个根包括两个相等的根、两个不等的根两种情况而出错
9. 关于x的一元二次方程（m－5）x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数解
是 .
m＝4
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10. （阜阳阜南期末）若正比例函数y＝kx的图象过第二、四象限，则关于x的
一元二次方程x2－x＋k＝0的根的情况是（ B ）
A. 没有实数根
B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 不能确定
11. （南通启东月考）方程mx2－4x＋1＝0（m＜0）的根是（ B ）
A. B. C. D.
B
B
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12. 若一元二次方程x2＋bx＋4＝0的两个实数根中较小的根是m（m≠0），则
b＋ 等于（ D ）
A. m B. －m C. 2m D. －2m
D
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13. 阅读理解 对于实数a，b定义运算“ ”为a b＝b2－ab，例如3 2＝
22－3×2＝－2，则关于x的方程（k－3） x＝k－1的根的情况，下列说法正
确的是（ A ）
A. 有两个不等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法确定
14. 方程（2x＋1）（x－1）＝8（9－x）－1的根为 .
A
x1＝－8，x2＝
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16. 若关于x的一元二次方程x2－ ·x＋1＝0没有实数根，则k的取值范围
是 .
17. 已知关于x的方程x2－（2k－2）x＋k2－1＝0有两个实数根，则
－（ ）2的化简结果是 .
－1≤k＜3
－1
15. 关于x的方程（m＋2）x｜m－1｜－1＋x－2＝0有两个实数根，则m的值
是 .
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18. 已知一元二次方程－x2＋（2a－2）x－a2＋2a＝0.
（1）求证：方程有两个不等的实数根.
解：（1）证明：∵Δ＝（2a－2）2－4×（－1）（－a2＋2a）＝4＞0，∴方程
有两个不等的实数根.
（2）若方程只有一个实数根小于3，求a的取值范围.
解：（2）∵Δ＝（2a－2）2－4×（－1）（－a2＋2a）＝4＞0，
∴x＝ ，∴x1＝a，x2＝a－2.
∵方程只有一个实数根小于3，a－2＜a，
∴a－2＜3，且a≥3，∴3≤a＜5.
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19. 几何直观 已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋a－c＝0，其
中a，b，c分别为△ABC三边的长.
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状.
解：（1）∵x＝－1是方程的根，∴（a＋c）×（－1）2－2b＋a－c＝0.∴a
＋c－2b＋a－c＝0.∴a－b＝0.∴a＝b，则△ABC是等腰三角形.
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（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状.
解：（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0.
∴4b2－4a2＋4c2＝0.∴a2＝b2＋c2.
∴△ABC是直角三角形.
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（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.
解：（3）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c≠0.∴（a＋c）x2＋2bx＋a
－c＝0可整理为2ax2＋2ax＝0.∴x2＋x＝0.∴Δ＝1，x＝ ，解得x1＝0，
x2＝－1.
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第二十一章 一元二次方程
数学活动
三角点阵中前n行的点数计算
【课本再现】人教版初中数学教科书九年级上册第23页数学活动对三角点阵中
前n行的点数计算进行了探究：图①是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，
其中第1行有一个点，第2行有两个点……第n行有n个点……
小明同学发现，前2行的点数和是1＋2＝3，前3行的点数和是1＋2＋3＝6，前4行
的点数和是1＋2＋3＋4＝10……前n行的点数和是1＋2＋3＋4＋5＋…＋n，他有
点疑惑，能不能用含n的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…＋n表示出来？
小明同学通过阅读课本知道了答案，但他仍在问自己这个结果是怎么来的.经过
思考后，他发现：
设S＝1＋2＋3＋4＋…＋（n－1）＋n，①
则S＝n＋（n－1）＋…＋4＋3＋2＋1，②
由①＋②可得……
（1）请将小明的发现过程补充完整，用含n的式子把1＋2＋3＋4＋5＋…＋n表
示出来.
解：（1）由①＋②，可得2S＝n个 ，
2S＝n（n＋1），则S＝ ，
即1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝ .
【知识应用】（2）若图①中三角点阵前a行的点数之和等于136，求a的值.
解： （2）由题知， ＝136，解得a1＝16，a2＝－17.
因为a＞0，所以a＝16.
【拓展延伸】（3）图②是一个梯形点阵，从上向下数有无数多行，其中第1行有
两个点，第2行有个三个点……第n行有（n＋1）个点……这个梯形点阵中前b
行的点数之和能等于300吗？如果能，求出b的值；如果不能，试用一元二次方
程说明理由.
解： （3）这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300.
理由：令梯形点阵中的前b行的点数之和为S，
则S＝2＋3＋…＋（b＋1），根据（1）中的计算方式可知，
S＝ ，则 ＝300，
即b2＋3b－600＝0，解得b＝ .
又b为正整数，故方程的解不符合题意，
所以这个梯形点阵中前b行的点数之和不能等于300.
