第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第二节 常用逻辑用语
知识点 3 充分条件与必要条件
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若 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件．设 包含的对象组成集合 包含的对象组成集合 。
是 的充分不必要条件 且
是 的必要不充分条件 且
是 的充要条件
是 的既不充分也不必要条件 且 互不包含
是 的充分条件
是 的必要条件
解题技法（1）寻求 的充分条件 ，即求使 成立的条件 ，即 ；（2）寻求 的必要条件 ，即求以 为条件可以推出的结论 ，即 ．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.2024 天津卷［人 A 必修— P17— P21 知识］设 ，则＂＂是＂ ＂的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.［苏教必修—P46复习题第6题变式］《墨经》上说：＂小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端。大故，有之必然，若见之成见也．＂这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的 ＂小故＂指的是逻辑中的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.［人A 必修－P24 阅读与思考变式］已知 为不同的两条直线， 为不同的两个平面，则 的一个充分条件是（）
A．
B．
C． 且
D．
4.2024 全国甲卷（理）［人 A 必修－P22 习题1．4第 2 题、必修二P60复习参考题6第8题变式］设向量 ，则（）
A． 是 的必要条件
B． 是 的必要条件
C． 是 的充分条件
D． 是 的充分条件
5.［人B必修—P37练习B第3题变式］已知 或 ．若 是 的充分不必要条件，则下列 的范围符合题意的是（）
A．
B．
C．
D．
6.［人B 必修—P38 习题1－2B 第5题变式］若＂ ＂是＂＂的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
知识点4 全称量词与存在量词
回归教材，萃精华
1．全称量词与存在量词
量词名称 常见量词 表示符号
全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某些、有的等
2．全称量词命题与存在量词命题
命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定
全称量词命题 对 中任意一个 成立
存在量词命题 存在 中的元素 成立
能正确使用全称 （存在）量词对存在（全称）量词命题进行否定
解题技法：当命题的否定的真假不易判断时，可以判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.[人 A 必修— P31 习题 1．5 第 3 题变式］命题＂ ＂的否定是()
A．
B．
C．
D．
2.[苏教必修—P40习题2．3第3题变式］下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是()
A．
B．每个等腰三角形都有内切圆
C．
D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数
3.2024 新课标II卷［人 B 必修— P30 练习 A 第 1 题变式］已知命题 ；命题 ： ．则()
A． 和 都是真命题
B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题
D． 和 都是真命题
4.一题多变 [人 B 必修一 P28 练习 B 第 4 题 变式]
变式 1 变条件 若命题＂＂是真命题，则实数 的取值范围是()
A．
B．
C．
D．
变式 2 存在量词命题为真 若命题＂ ＂为真命题，则实数 可取的最小整数值是()
A．-1
B． 0
C． 1
D． 3
变式 3 —真—假 若命题＂＂为真命题，命题＂＂为假命题，则集合 可以是()
A．
B．
C．
D．
变式 4 主元与参数的转变 若命题＂ ＂为假命题，则实数 的取值范围为()
A．
B．
C．
D．
知识点3 充分条件与必要条件
1.答案：C
解析：若，则，所以，充分性成立；若，则，所以，必要性成立。故“”是“”的充要条件。
2.答案：B
解析：“小故，有之不必然，无之必不然”，即有它不一定成立，没有它一定不成立，符合必要不充分条件的定义。
3.答案：C
解析：对于C选项，因为，且，根据线面平行的性质定理，可得，所以C是的充分条件。
4.答案：D
解析：若，则，即，解得，所以是的充分条件，D正确。
5.答案：B
解析：因为是的充分不必要条件，所以，故，选项中只有B符合。
6.答案：C
解析：因为“”是“”的必要不充分条件，所以，则，即，解得，所以实数的取值范围是。
知识点4 全称量词与存在量词
1.答案：A
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题“”的否定是“”。
2.答案：D
解析：A中，恒成立，所以A是假命题；B是全称量词命题；C是全称量词命题；D中，2既是偶数又是质数，是存在量词命题且是真命题。
3.答案：B
解析：命题：当时，，所以是假命题，则是真命题；命题：当时，成立，所以是真命题。
4.变式1 答案：D
解析：命题“”是真命题，即，解得，所以实数的取值范围是。
变式2 答案：A
解析：命题“”为真命题，即在上有解，令，，则的最小值为，所以，实数可取的最小整数值是。
变式3 答案：C
解析：命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以集合中存在元素在内，且存在元素大于等于，选项C符合。
变式4 答案：C
解析：命题“”为假命题，则其否定“”为真命题，即在上恒成立。令，则，即，解得或，所以实数的取值范围为。第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第一节 集合
知识点1 集合的概念与基本关系
回归教材
1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
2．元素与集合之间的关系：属于和不属于，分别用符号 和 表示．
3．常用数集：自然数集（N）、正整数集（ 或 ）、整数集（ ）、有理数集（Q）、实数集（R）。
4． 是 的子集）
课标要求1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．
2．了解全集与空集的含义．
3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
常用结论 1．空集是任何集合的子集，在涉及集合间的基本关系时需优先考虑空集的情况，以防漏解．2．无理数集用 表示。3.若有限集合 中有 个元素，则 的子集的个数为 ，非空子集的个数为 ，真子集的个数为 ，非空真子集的个数为 ．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1．［多选］［人A 必修— P9 习题1．2第1题变式］下列结论错误的是（）
A．
B． ，
C．
D．集合 的真子集为
2．［人B 必修—P9 练习B 第4 题变式］已知集合 ，且 ，则实数 的值为 。
3．2023 新课标II卷［人 A 必修— P35 复习参考题1第9题变式］设集合 ， ，若 ，则 （）
A． 2 B． 1 C． D．-1
4.［人 B 必修— P14 练习 B 第2 题变式］集合 间的关系是（）
A． B．
C． D．
5.［人 B 必修— P41复司题 A 组第2，6题变式］已知集合 ．
（1）用列举法表示集合 ，则 ；
（2）若集合 满足 ，则所有满足条件的集合 为 ；
（3）满足条件 的集合 的个数为 ．
变式探究
变式 1 根据子集个数求元素个数 若一个集 合的子集的个数为 8 ，则这个集合中的元素的个数为 。
变式 2 已知子集个数［多选］集合 1） 有且仅有两个子集，则实数 的值可以为
A． 1 B． C．-1 D．
知识点2 集合的基本运算
回归教材
集合的基本运算 并集 交集 补集
图形语言
符号语言 或 且 且
常用结论 ．
课标要求 1．能求两个集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
3．能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基本运算．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.2024 新课标 I 卷［人 A 必修— P14 习题1．3第1题变式］已知集合 ，则 （）
A．
B．
C．
D．
2.［苏教必修— P 23 本章测试第15题变式］若集合 ，则 （）
A．
B．
C．
D．
3.2023全国乙卷（理）［北师必修—P45复习题—A组第1题变式］设集合 ，集合 ，则 （）
A．
B．
C．
D．
4 .［人 B 必修— P21 习题1－1 B 第2题变式］已知全集 ，集合 ，则集合 可能是
A．
B．
C．
D．
5.［人A 必修—P35复习参考题1第 8 题变式］如图，集合 , ，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．
B．
C．
D．
6.［多选］［人A必修一P15阅读与思考变式］某校 ＂田径运动会＂上，参加 100 米、400 米、1500米赛跑的共有 12 名同学，其中参加 100 米赛跑的有 8 人，参加 400 米赛跑的有 7 人，参加 1500 米赛跑的有 5 人， 100 米和 400 米赛跑都参加的有 4 人， 100 米和 1500 米赛跑都参加的有 3 人，400 米和 1500 米赛跑都参加的有 3人，则下列说法正确的是（）
A．三项比赛都参加的有 2 人
B．只参加 100 米赛跑的有 3 人
C．只参加 400 米赛跑的有 3 人
D．只参加 1500 米赛跑的有 1 人
7.［多选］［人 B 必修— P22习题1—1C 第4题变式］已知集合 均为 的子集，若 ，则
A．
B．
C．
D．
8.［苏教必修—P23本章测试第14题变式］已知非空集合 ．
（1）若 ，则实数 的取值范围是 ；
（2）若 ，则实数 的取值范围是 ；
（3）若 ，则实数 的取值范围是 ；
（4）若 ，则实数 的取值范围是 .
知识点1 集合的概念与基本关系
教材素材变式
1.答案：BCD
解析：A选项中，两个集合均表示所有大于等于1的实数，故相等；B选项中左边是数集，右边是点集，元素类型不同；C选项中空集不含任何元素，与{0}不同；D选项中集合{a,b}的真子集应为 、{a}、{b}，共3个。
2.答案：0
解析：因为1∈A，所以|a+1|=1或a+3=1。当|a+1|=1时，a=0或a=-2；当a+3=1时，a=-2。当a=-2时，集合为{2,1,1}，不满足互异性，舍去，故a=0。
3.答案：B
解析：因为A B，所以0∈B，即a 2=0或2a 2=0。当a=2时，B={1,0,2}，但 a= 2 B，舍去；当a=1时，B={1, 1,0}， a= 1∈B，符合条件。
4.答案：C
解析：对于集合M，x=5k 2=5(k 1)+3，k∈Z，所以M与P均表示被5除余3的整数集，即M=P；集合S表示被10除余3的整数集，而被5除余3的数可能为奇数或偶数，故S P=M。
5.(1) 答案：{0,1,3}
解析：由x∈N且4/(x+1)∈N，得x+1为4的正因数，即x+1=1,2,4，解得x=0,1,3。
(2) 答案：{0,1,3}, {0,1,3,4}, {0,1,3,5}, {0,1,3,4,5}
解析：C需包含A且为{0,1,3,4,5}的子集，故在A的基础上依次添加4、5或同时添加。
(3) 答案：7
解析：集合A有3个元素，非空子集个数为2 1=7。
变式探究
1.答案：3
解析：设集合元素个数为n，由2 =8，得n=3。
2.答案：AD
解析：集合A仅有两个子集，说明A中只有1个元素。当a 1=0即a=1时，方程为3x 2=0，符合；当a 1≠0时，判别式Δ=9+8(a 1)=0，解得a= 1/8。
知识点2 集合的基本运算
教材素材变式
1.答案：A
解析：集合A为 5 √5≈ 1.71，故A中的整数为 1,0；B={ 3, 1,0,2,3}，所以A∩B={ 1,0}。
2.答案：C
解析：集合B中|x|∈A，即|x|=0或2，故x=0,±2，B={ 2,0,2}，所以A∪B={ 2, 1,0,2}。
3.答案：A
解析：M={x|x<1}，N={x| 14.答案：C
解析：因为 U(A∪B)={3}，所以A∪B={1,2,4}，又A={1}，故B可能为{2,4}。
5.答案：D
解析：集合A中的整点为( 1,0),(0,0),(0,1),(1,0),(0, 1)，代入B中y=x 1，得(1,0)和(0, 1)满足，故阴影部分为A中除去A∩B的点，即{(1,0),(0,0),(0, 1)}。
6.答案：ABD
解析：设三项都参加的有x人，由容斥原理得8+7+5 4 3 3+x=12，解得x=2；只参加100米的为8 4 3+2=3人；只参加400米的为7 4 3+2=2人；只参加1500米的为5 3 3+2=1人。
7.答案：AD
解析：A∩B= A RB，A正确； RA∪ RB= R(A∩B)=R，D正确。
8.(1) 答案：(2,+∞)
解析：B A需满足a>2。
(2) 答案：(2,+∞)
解析：A∪B=A B A，同(1)。
(3) 答案：(0,1]
解析：A∩B= 需满足a≤1。
(4) 答案：(2,+∞)
解析： RB={x|x≤1或x>2}，A∪ RB=R需a>2。第一章 集合、常用逻辑用语与不等式
第三节 等式性质与不等式性质
知识点5 不等式的性质及其应用
回归教材，萃精华
不等式的性质：
对称性： ．传递性： ．可加性： ．同向可加性： ．可乘性： ．同向同正可乘性： ．可乘方性： ．
常用结论（1） ；（2） ；（3）若 ，则 ．
教材素材变式：多维变式，夯基础
1.［多选］［人 A 必修—P43习题2．1第8题变式］已知 ，则下列不等式一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
2.［多选］［人 A 必修— P42 练习第2题变式］设 ， 为实数，且 ，则下列不等式正确的是（）
A．
B．
C．
D．
3.［多选］［人 A 必修－P57复习参考题2 第2 题变式］对于实数 ，下列说法正确的是（）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
4.［多选］［人 B 必修— P86复习题 C 组第1题变式］已知实数 满足 ，则（）
A．
B．
C．
D．
变式探究
5.［多选］已知函数 满足 ，且 ，则下列不等式一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
6．人 B 必修— P81 习题2—2B第3题变式］已知 ，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
变式探究
7.若实数 满足 ，则 的最小值为（）
A．-7
B．-6
C．-5
D．-4
8.［链接人 A 必修—P41知识］某班有学生参加才艺比赛，已知每人只参加一个比赛，且参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的 2 倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的总人数至少为（）
A． 7
B． 9
C． 12
D． 15
知识点5 不等式的性质及其应用
1.答案：ABD
解析：由，可得，A正确；，B正确；，则，C错误；，即，D正确。
2.答案：AD
解析：，，所以，A正确；，，所以，B错误；取，，，，则，，，C错误；，因为，，所以，故，，所以，D正确。
3.答案：ABD
解析：若，则，，所以，A正确；若，则，B正确；若，可能，且，C错误；若，，则，所以，D正确。
4.答案：AC
解析：由，，可知，。，，所以，A正确；取，，，则，，B错误；，，所以，C正确；取，，，则，，D错误。
5.答案：ACD
解析：。，C正确；，又，联立得，，两式相减得，即，A正确；，，所以，B错误；，因为，，所以，即，D正确。
6.答案：BC
解析：，则，又，所以，即，A错误；，所以，即，B错误；，所以，即，C正确；，由，得，D错误。
7.答案：B
解析：设，则，解得，所以。因为，，所以，即，故的最小值为。
8.答案：B
解析：设参加折纸、唱歌、书法比赛的人数分别为，，，且，，为正整数，满足，。当时，，，无解；时，，，则，，不满足；时，，，则，，总人数至少为，C正确。
