第五章平面向量及其应用、复数
第四节 复数
知识点 53 复数的概念及四则运算
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复数的定义 形如 的数叫做复数,其中 是虚数单位, 是复数的实部, 是复数的虚部
复数的分类 对于复数 ,当且仅当 时,它是实数; 当 时,它叫做虚数; 当 且 时, 它叫做纯虚数.
共轭复数 与 共轭 ,且
设 ,则复数的四则运算法则如下表所示.
复数的运算 加减法
乘法
除法
教材素材变式
1.[单选][人A必修二P70练习第1题变式][2025年江苏南京高三调研第1题]
复数，下列说法不正确的是（）
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D.
2.[单选][2024全国甲卷（理）第2题变式][2024年山东济南高三期中第2题]
若，则（）
A. B. C. D.
3.[填空][人A必修二P73习题7.1第3题变式][2025年浙江杭州高三月考第3题]已知均为实数，，则____．
4.[单选][人A必修二P69例1变式][2024年广东深圳高三模拟第4题]
若复数为纯虚数（），则（）
A. B. C. D.
5.[单选][人B必修四P38例2变式][2025年安徽合肥一模第5题]
（）
A. B. C. D.
6.[单选][2024新课标Ⅰ卷第6题变式][2024年河北石家庄高三期中第6题]
若，则（）
A. B. C. D.
7.[填空][人A必修二P95复习参考题7第3,8题变式][2025年广东深圳高三模拟第7题]若复数，则____．
8.[填空][人A必修二P81习题7.2第7题变式][2024年江苏南京高三调研第8题]已知，是关于的实系数方程的一个根，则____．
变式探究
[单选][2024年北京海淀高三期中变式探究][2025年上海高三调研第9题]
已知虚数是关于的方程（）的一个根，且，则（）
A. B. C. D.
知识点 54 复数的几何意义
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1.复数的几何意义：复数 复平面内的点 平面向量 .
2.复数的模及复平面内两点之间的距离公式：对于复数 ,复数 的模 . 复平面内的两点 对应的复数分别为 ,连接 ,则 .
教材素材变式
1.[单选][人A必修二P73习题7.1第6题变式][2025年广东广州高三调研第1题]复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
2.[单选][人B必修四P42习题10 - 2A第7题变式][2024年北京海淀高三期中第2题]设复数满足，则当取最大值时，复数为（）
A. B. C. D.
3.[多选][人A必修二P74习题7.1第7,8题变式][2025年江苏南京高三模拟第3题]已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数满足，在复平面内对应点，下列结论正确的是（）
A. 点的坐标为
B. 复数的共轭复数在复平面内对应的点与点关于实轴对称
C. 点在一条直线上
D. 点与点之间的距离的最小值为
知识点55 复数的三角表示*
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复数的三角 表示式的定义 一般地，任何一个复数（）都可以表示成的形式，其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角（在范围内的辐角的值为辐角的主值，记作），叫做复数的三角表示式。
复数乘除运算 的三角表示 ； （）。
教材素材变式
1.[多选][人A必修二P90习题7.3第5题变式][2025年江苏南京高三调研第1题]已知复数（为虚数单位），则（）
A. B. C. D. 的实部为
2.[单选][人A必修二P85例2变式][2024年山东济南高三期中第2题]设复数的辐角主值为，模为，则（）
A. B. C. D.
3.[多选][苏教必修二P143阅读变式][2025年浙江杭州高三模拟第3题]依据欧拉公式（），下列结论正确的是（）
A.
B. 复数在复平面内对应的点位于第二象限
C.
D. 若，，则
知识点 53 复数的概念及四则运算
1.答案：B
解析：对于复数 ，实部为，A 正确；虚部为 ，不是 ，B 不正确；，C 正确；，D 正确。
2.答案：A
解析：因为 ，所以 ，，
3.答案：
解析：左边，右边，所以，解得，，
4.答案：B
解析：，因为 为纯虚数，所以，，，
5.答案：D
解析：步骤一：化简
为了将分母化为实数，给分子分母同时乘以分母的共轭复数，根据以及进行计算：
步骤二：计算
由步骤一可知，那么。
因为，所以 。
综上，答案选D。
6.答案：A
解析：，，，，，
7.答案：
解析：，，，
8.答案：4
解析：，因为 是实系数方程的根，所以其共轭复数 也是方程的根，由韦达定理可得 ，，，
变式探究
答案：D
解析：因为虚数 是方程的根，所以其共轭复数 也是方程的根，由韦达定理可得 ，，又 ，所以 ，即
知识点 54 复数的几何意义
1.答案：A
解析：化简复数得，对应点，第二象限需，解得。
2.答案：B
解析：表示复数 对应的点到点的距离，因为，所以当 对应的点与原点和点共线且远离点时，距离最大，此时
3.答案：ABC
解析：点 的坐标为，A 正确；复数 的共轭复数为 ，其对应点与 关于实轴对称，B 正确；设 ，由 得，化简得 ，点 在直线 上，C 正确；点 到直线 的距离为，D 错误
知识点 55 复数的三角表示
1.答案：ABC
解析：，A 正确；，B 正确；，C 正确；，实部为，D 错误
2.答案：A
解析：，
3.答案：ACD
解析：，所以 ，A 正确；，对应点在第一象限，B 错误；，C 正确；，，D 正确第五章平面向量及其应用、复数
第一节 平面向量的概念及线性运算
知识点48 平面向量的概念及线性运算
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加法 减法 数乘
加法减法数乘法则(或几何意义) 时，的方向与的方向相反；当时，.
平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量也叫做共线向量。零向量与任意向量平行.
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
共线向量定理 向量共线的充要条件是：存在唯一 一个实数，使.
常用推论 ，若A,B,C三点共线，O为平面内不同于A,B,C的任意一点，则.
教材素材变式
1.[多选][人 A 必修二 P5 习题 6.1 第 3 题变式] 下列说法错误的是（）
A. 非零向量 与 是两平行向量
B. 若两个向量相等, 则它们的起点和终点分别重合
C. 若与都是单位向量, 则
D. 若两个单位向量平行, 则这两个单位向量相等
2.[人 A 必修二 P14 例 6 变式] 在 中, 为 的中点, 为 的中点, 设 , 则 （）
A. B. C. D.
变式探究
[多选] 已知 是 所在平面内一点, 且满足 , 则 不可能是（）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
3.[多选][人 A 必修二 P12 例 4 变式][2024年新高考I卷第6题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在梯形 中, , , 与 相交于点 , 则下列结论正确的是（）
A.
B.
C.
D.
4.[人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知非零向量 满足, 则 （）
A. B. C. D.
5.[人 A 必修二 P16 例 8 变式][2025年江苏南京高三调研第8题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量不共线, 且向量 , 若 与 方向相反, 则实数 的值为（）
A. -1 B. C. 1 或 D. -1 或
6.[2024年人教A版必修二习题6.2第3题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在平行四边形 中, , 若 为 中点, 则 （）
A. B. C. D.
7.[2025年浙江杭州高三期末第10题][人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知 中, 为 中点, 为 中点, 设 , 则 （）
A. B. C. D.
8.[2024年新高考II卷第9题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量 满足 , , 且 , 则与的夹角为（）
A. B. C. D.
9.[2025年北京海淀高三调研第7题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在梯形 中, , , 与 相交于点 , 则 （）
A. B. C. D.
10.[2025年山东青岛高三期末第8题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量 不共线, 且, , 若与共线, 则 （）
A. B. C. D.
11.[2025年新高考I卷模拟第7题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量 满足 , , 且 , 则与的夹角为（）
A. B. C. D.
12.[2024年广东深圳高三模考第10题][人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知 中, 为 中点, 为 中点, 设 , 则 （）
A. B. C. D.
13.[2025年北京西城高三期末第9题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在平行四边形 中, , 若 为 中点, 则 （）
A. B. C. D.
1.答案：BCD
解析：
A：与方向相反，是非零平行向量，正确。
B：向量相等只需长度和方向相同，与起点终点位置无关，错误。
C：单位向量长度为1，但方向不一定相同，错误。
D：平行的单位向量可能方向相反，不一定相等，错误。
2.答案：C
解析：
，
，
为中点，故，
。
变式探究
答案：AB
解析：
化简得，即P在边AB的高线上，故△ABC不可能为钝角三角形或直角三角形（需满足特定条件）
3答案：ABD
解析：
A：，正确。
B：由相似性，，故，，正确。
C：，错误。
D：向量首尾相连和为，正确。
4.答案：A
解析：
设，由余弦定理，，得，
，故。
5.答案：B
解析：
与共线，设（），则，
得，解得或，时。
6.答案：A
解析：
，为中点，，
。
7.答案：D
解析：
，
，
。
8.答案：B
解析：
，
，故夹角为。
9.答案：B
解析：
由，，相似比为，故。
10.答案：A
解析：
存在，使，
得，解得。
11.答案：C
解析：
，
，故夹角为。
12.答案：A
解析：
，
为中点，故。
13.答案：A
解析：
。第五章平面向量及其应用、复数
第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用
知识点 51 平面向量的数量积及其应用
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平面向量的数量积 ,其结果是数量,不是向量. 两个平面向量的夹角的范围: . (课标要求:通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积,会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系)
投影向量的定义(了解) 设 是两个非零向量,它们的夹角是 是与 方向相同的单位向量, ,过 的起点 和终点 ,分别作 所在直线的垂线,垂足分别为 ,得到 ,我们称上述 变换为向量 向向量 投影, 叫做向量 在向量 上的投影向量. .
平面向量的数量积满足的运算律 已知向量 和实数 ,则 .
平面向量的数量积及有关性质的坐标表示(能用坐标表示平面向量的数量积及垂直的条件,会表示两个平面向量的夹角) (1) 设向量 ,则 . (2) 若 ,则 或 . (3) 若两个非零向量 ,则 . (4) 若两个非零向量 ,它们的夹角为 ,则
向量数量积的常用结论：
教材素材变式
题型1 向量数量积的简单计算
1.[单选][2024年新课标I卷第3题][人B必修三P84练习B第1题变式]
已知向量满足，，，则（ ）
A. B. C. D.
2.[单选][2024年新高考II卷第5题][人A必修二P60复习参考题6第8题变式]
已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
3.[单选][2025年湖南衡阳开学考试][人A必修二P23习题6.2第11(1)题变式]
向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
变式探究
变式 1 求参数 已知 ,若 ,则 （）
A. -1 B. C. 2 D.
变式 2 求面积 若 . ,则以 为邻边的平行四边形的面积是_____.
4.[人 A 必修二 P61 复习参考题 6 第 13(6)题变式]若平面向量 两两夹角相等,且 , ,则
A. 0 B. 6 C.0或 D. 0 或 6
变式探究
若平面单位向量 满足 . ,则 （）
A. B. C. D.
5.[人 A 必修二 P53 习题 6.4 第 11 题变式] 将向量 绕原点按逆时针方向旋转 得到向量 ,则 的坐标为_____.
题型2 已知两个向量夹角的范围求参
6.[多选] [人 B 必修三 P89 练习 B 第 1 题变式] 已知向量 ,若这两个向量的夹角为钝角,则 的值可以是（）
A. B. -4 C. D. 6
题型3 投影向量
7.[单选][2025年浙江开学考试][人 A 必修二 P20 练习第 3 题变式] 已知平面向量 ,则 在 上的投影向量为（）
A. B. C. D.
变式探究
变式 1 求参数 是 已知向量 是与 同向的单位向量,若 在 上的投影向量为 ,则 （）
A. -13 B. 3 C. -3 或 13 D. -3
变式 2 求夹角 写出已知 ,且 在 上的投影向量的模为 ,则 与 的夹角为（）
A. 30° B. 60° C. 150° D. 30° 或 150°
题型4 平面向量数量积的简单应用
8.[单选][2024年聊城模拟][人A必修二P37习题6.3第15题变式]
向量满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
9.[人 A 必修二 P29 例 4、选必一 P121 练习第 3 题变式]已知 为坐标原点, 动点 满足 ,其中 , 且 ,则点 的轨迹方程为_____.
10.[人 A 必修二 P37 习题 6.3 第 15 题变式]如图,设 是平面内相交成 角 的两条数轴, 分别是与 轴、 轴正方向同向的单位向量. 若向量 ,则称有序实数对(x, y)为向量 在坐标系 中的坐标. 已知在该坐标系下,向量 ,若 ,则 （）
A. B. C. D.
11.[人 B 必修三 P83 例 3 变式] 在 中, , ,且 ,则 . （）
A. B. C. 1 D. 2
变式探究
变式 1 求模 等边 的边长为 1,点 在直线 上,且 . 若点 为线段 的中点,则 （）
A. B. C. D.
变式 2 已知模求数量积如图, 在平行四边形 中, , ,点 满足 ,点 满足 ,且 ,则 _____, _____.
变变 3 求夹角 在等腰梯形 中, ,则 与 夹角的余弦值为（）
A. B. C. D.
12 [人 A 必修二 P24 习题 6.2 第 24 题变式] 甲 已知 是圆 中长度为 3 的一条弦,其中 为圆心,则 _____.
变式探究
已知 的外接圆圆心为 ,且 ,则 在 上的投影向量为（）
A. B.
C. D.
知识点 52 和向量有关的最值或范围问题
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1. 平面向量中有关最值 (或取值范围) 问题的两种求解方法
几何意义法 利用平面向量的几何意义, 将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题, 然后根据平 面图形的特征进行判断.
代数法 利用平面向量的坐标运算, 先把问题转化为代数中的求函数最值、求不等式的解集、方程 有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
利用数量积的性质 .
2. 求向量模的最值(或取值范围)的方法
代数法 先把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.
几何法 弄清所求的模表示的几何意义, 结合动点表示的图形求解.
利用绝对值三角不等式 利用 求模的最值 (或取值范围).
教材素材变式
1.[单选][2025年上海开学考试][人B必修三P114复习题C组第5题变式]
设是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件。
A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
2.[单选][2022年北京卷][人B必修三P77数量积的性质变式]
在中，，，，点为动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
变式探究
变式 1 变图形 已知一个正六边形 , 它的边长为 2,若点 是正六边形的边上一点,则 的取值范围是_____.
变式 2 变条件 如图所示为八卦图的示意图, 它的轮廓是一个正八边形, 已知正八边 形 的边长为 ,点 是正八边形 的内部 (包含边界) 任意一点,则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3.[人 B 必修三 P77 数量积的性质变式]若非零向量 满足 ,则（）
A. 的最大值为 B. 的最大值为 1
C. 的最小值为 D. 的最小值为 1
变式探究
已知平面向量 , 且 . 若 ,则 的最大值为（）
A. B. 10 C. 2 D. 5
4.[人 B 必修三 P 90 习题 8-1B 第 8 题变式] 已知平面向量 ,则 的最大值为（）
A. B.
C. D.
变式探究
变式 1 变条件 在 中, 为 所在平面内的动点,且 ,则 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
变式 2 变条件 已知 是单位向量, 0,若向量 满足 ,则 的最大值为_____.
题型1 向量数量积的简单计算
1.答案：C
解析：已知，对等式两边平方可得。根据向量数量积的运算规则展开得。将，代入，即，化简计算可得。
2.答案：A
解析：首先计算的坐标，，所以，又，则。因为，设（题目中可能此处的坐标表述有简化，假设其纵坐标为0），则，解得。
3.答案：B
解析：已知，，则，。因为，所以它们的数量积为0，即，展开计算得，合并同类项得，解得。
变式探究
变式1答案：B
解析：已知，，则。计算，根据向量夹角余弦公式可得；同理。因为，而，所以可得，两边平方化简得，即，所以，解得。
变式2答案：
解析：以，为邻边的平行四边形的面积等于，其中为与的夹角。已知，，，根据向量数量积公式，可得，则，所以面积为。
4.答案：D
解析：平面向量，，两两夹角相等，有两种情况：夹角都为或都为。
当夹角都为时，，，共线且同向，所以。
当夹角都为时，计算。已知，，，则，，。，，。代入可得，所以。综上，答案为D。
变式探究
答案：A
解析：已知单位向量，，，，，。设，因为，所以（为实数），又，所以，而，设，则，所以，即。则，；，，所以。
5.答案：
解析：设向量与轴正方向的夹角为，则，。绕原点逆时针旋转后，新向量的坐标为。根据两角和的余弦和正弦公式，，，，所以。
题型2 已知两个向量夹角的范围求参
6.答案：BC
o解析：向量，，若夹角为钝角，则且与不共线。，解得。若共线，则，即，解得，所以且，选项中符合的为B、C。
题型3 投影向量
7.答案：D
o解析：已知，，对等式两边平方得，展开得，即，解得。在上的投影向量为。
变式探究
变式1答案：D
解析：向量，，是与同向的单位向量，则。在上的投影向量为。已知投影向量的模为（此处可能是投影向量的长度为，负号表示方向），则，两边平方得，化简得，展开得，移项得，即，解得或。当时，，投影向量方向与相同，长度为，符合；当时，，投影向量方向与相反，长度为，也符合，但题目中投影向量为，更倾向于方向相反，所以。
变式2答案：D
解析：已知，在上的投影向量的模为，根据投影向量的模的计算公式，即（因为投影向量的模可以是正负，取决于夹角），所以，解得，则夹角为或。
题型4 平面向量数量积的简单应用
8.答案：C
o解析：因为，所以，即。已知，则，解得。设与的夹角为，根据向量数量积公式，可得，解得，所以。
9.答案：
解析：设，已知，，，则，所以，。解方程组可得，。将其代入可得：
，
展开得，
化简得，
即，
整理得。
10.答案：A
解析：由题意，，。
因为，所以，
即，
展开得。
因为，是单位向量，所以，
代入得，解得。
11.答案：C
解析：因为，所以。
则。
已知，，，
所以，
代入得。
变式探究
变式1答案：D
解析：等边边长为1，以为原点，为轴建立坐标系，则，，。
点在直线上，设，，
所以。
又，
所以，解得，，
则。因为是中点，所以，
所以。
变式2答案：；
o解析：设，，则，，所以为中点，。
，所以，。
已知，所以，即，
代入，，得，解得。
，
，
所以
。
变式3答案：C
解析：在等腰梯形中，，，，则，过，作垂线，垂足为，，则，
所以，建立坐标系：，，，，
则，，
，
，
，
所以夹角余弦值为。
12.答案：
解析：设中点为，则，，，
所以，
因为，，所以。
变式探究
答案：A
解析：设外接圆半径为，为外心，，两边平方得，
即。
又在上的投影向量为，
，
由，知在中垂线上（需结合外心性质），可得（过程略），
设，，，由余弦定理，
又，
而投影向量为，结合外心性质及特殊值法（设），可得投影向量为。
知识点52 和向量有关的最值或范围问题
1.答案：C
解析：若，则，夹角可能为锐角或；若为锐角，则且夹角不为，所以“”是“为锐角”的必要不充分条件。
2.答案：A
o解析：在中，，，，以为原点，，为坐标轴建立坐标系，则，，。设，即，
，，
。
设，则直线与圆有交点，所以，即，
所以，则。
变式探究
变式1答案：
解析：正六边形边长为2，以中心为原点，为轴建立坐标系，各顶点坐标：，，，，，。
点在边上，分情况讨论：
当在上时，设，，则，，
，，值域为；
同理计算其他边，最终取值范围为。
变式2答案：C
解析： 正八边形中心为，边长，内角。以为原点，为轴建立坐标系，向量为。设中心坐标为，由几何关系可得，（计算过程略）。
点在正八边形内部（含边界），则，，
所以。
正八边形最左端点最小值为，最右端点最大值为，
所以，但结合坐标平移（中心坐标影响），正确范围为，故选C。
3.答案：B
解析：由，两边平方得，
化简得，即。
已知，则，。
由，得，
因为且为非零向量，所以的最大值为（舍去负值，取绝对值），即最大值为（当时，）。
变式探究
答案：A
解析：已知，，，则，所以。
设，，则。
设（因为），
则（其中），
所以最大值为。
4.答案：A
解析：已知，，则，即，
代入，得，即。
由，
所以，令，则，
解得，故的最大值为。
变式探究
变式1答案：D
解析：在中，，，，以为原点，、为坐标轴，，，满足。
，，
。
设，则圆心到直线的距离，即，
所以，则，故选A。
变式2答案：
解析：，是单位向量，，设，，则。
已知，即的终点在以为圆心，为半径的圆上，
所以的最大值为圆心到原点的距离加上半径，即。第五章平面向量及其应用、复数
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
知识点 49 平面向量基本定理的应用
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教材素材变式
1.[人 B 必修二 P162 练习 B 第 3 题变式] 已知 不共线, ,要使 能作为表示平面内所有向量的一个基底, 则实数 的取值范围是_____.
2.一题多变 [人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式]
变式 1 变基础图形 [单选][2024年新高考II卷第8题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图,在直角梯形中,,, ,则（）
A. -1 B. 2 C. 3 D. 4
变式 2 与中线结合 [多选][2023年全国甲卷第14题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图, 分别是的边上的中线,与交于点G（重心）,设, ,则（）
A. B. C. D.
变式 3 与面积结合 [单选][2024年北京朝阳区一模第7题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图, 是等边三角形,点在线段上,且,点为线段上一点,若与的面积的,则（）
A. B. C. D.
变式 4 变基础图形 [单选][2025年新高考I卷第6题变式][人 A 必修二 P36 习题 6.3 第 1 题变式] 如图为正六边形,设, ,若, 则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.[单选][2024年全国乙卷第13题变式][人 A 必修二 P26 例 1 变式] 在中,若, ,且,则（）
A. B. C. D.
变式探究
变式 1 变设问 [单选][2025年北京海淀区一模第9题变式]已知Rt 中, , 为线段 上的点,且,则的最大值为（）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 1
变式 2 变条件[多选][2024年上海春季高考第12题变式]已知为的外接圆的圆心, ,若, 且,则（）
A. B. 4 C. D. 2
知识点 50 平面向量的坐标表示
回归教材
向量
坐标
平面向量共线的坐标表示：设 ,则 .
二级结论：线段 的端点 的坐标分别是 ,点 是直线 上一点,当 时, 点 的坐标为 .
教材素材变式
1.[单选][2023年浙江卷第7题变式][人 B 必修二 P172 练习 B 第 1 题变式] 已知向量,则与向量反向的单位向量的坐标为（）
A. B. C. D.
2.[单选][2024年天津卷第5题变式][人 A 必修二 P30 练习第 2 题变式]在平面直角坐标系内,已知点, ,则（）
A.(2, -3) B.(0, -1) C.(-2,2) D.(0,1)
3.[2025年江苏卷第14题变式][人 A 必修二 P30 例 5 变式] 已知平行四边形 的三个顶点 的坐标分别是(0,0), ,则顶点 的坐标为_____.
4.[2024年全国甲卷第15题变式][人 A 必修二 P33 探究变式] 已知 , ,点 在线段 的延长线上,且 ,则点 的坐标为_____.
5.[单选][2023年北京卷第4题原题][人 A 必修二 P60 复习参考题 6 第 4 题变式]已知向量, ,若,则（）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
变式探究
[单选][2024年新高考I卷第9题变式][填空] 如图,在梯形中,, 分别为的中点,则（）
A. B. C. 3 D. 0
6.[2025年浙江卷第13题变式][人 A 必修二 P29 例 3 变式] 已知向量 ,若 ,则 （）
A. B. 3 C. D.
7.一题多变 [人 A 必修二 P31 例 7 变式]
变式 1 变说法[2024年全国乙卷第14题变式]已知向量, , 若三点共线,则_____
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
变式 2 与直线的方向向量结合 [2023年上海卷第8题变式]过 , 两点的直线的一个方向向量 (-1, - 1),则 （）
A. -2 B. 2 C. - D.
变式 3 变设问[2025年北京卷第15题变式]已知, ,且,则非零向量的坐标为_____.
变式 4 变条件[2024年广东卷第10题变式]已知平面向量 , ,若 ,则实数 的值为（）
A. 3 或 -1 B. 3
C. 1 或 -3 D.-3
变式 5 与最值结合[2025年江苏卷第16题变式]已知向量 ,若 ,则 的最小值为_____.
知识点49 平面向量基本定理的应用
1.答案：
解析：若向量能作为基底，则与不共线。假设与共线，则存在实数，使得，即，解得，。所以当时，不共线，可作为基底。
2.变式1答案：A
解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系。则，，，。，，所以。
变式2答案：D
解析：G是△ABC的重心，重心将中线分为2:1的两段。所以，而，故，所以选D。
变式3答案：B
解析：
△ABC面积
△APQ面积
由得：
解得
故，选B。
变式4答案：B
解析：正六边形中，，，所以，所以m=1，n=1，m+n=2，选B。
3.答案：C
解析：，选C。
变式探究
变式1答案：D
解析：P在线段AB上，由平面向量基本定理，当P与A或B重合时，x+y=1，当P在AB中间时，x+y=1，所以最大值为1，选D。
变式2答案：A
解析：由，知O是△ABC的重心，又O是外心，所以△ABC是正三角形，所以，即外接圆半径为2，正三角形边长，所以，选A。
知识点50 平面向量的坐标表示
1.答案：A
解析：与反向的单位向量为，选A。
2.答案：C
解析：，选C。
3.答案：(2,-1)
解析：平行四边形中，，，设D(x,y)，则，所以，解得，，故D(2,-1)。
4.答案：(10,-15)
解析：设P(x,y)，因为P在线段AB延长线上，且，所以，即，得，解得，，故P(10,-15)。
5.答案：A
解析：，则，解得x=-2，选A。
变式探究
6.答案：B.
解析：
根据向量等式，得到：
分量分量
从第二式解出
代入第一式：
化简得：
代回得：
故选B。
7.一题多变
变式1答案：D
解析：若，，三点共线，则向量与共线。与共线，则，解得，选D。
变式2答案：C
解析：直线方向向量为，则斜率。过，的直线斜率为，解得，，选C。
变式3答案：
解析：，则，解得，故。
变式4答案：B
解析：由知，与夹角为，即共线且同向。
，，共线则，即，，解得或。
当时，，，同向；
当时，，，反向，舍去。故，选B。
变式5答案：
解析：，，则，即。
，
则，故，因为当时，最小值为，正确。第五章平面向量及其应用、复数
结论应用 1 三角形四心的向量表示与应用
在 中,内角 所对的边分别为 .
三角形的重心(其三条中线的交点） 若 是 的重心,则有 (1) ; (2) 重心到顶点的距离和到对边中的距离之比为 存在正实数 ,使得 ).
三角形的垂心(其三条高的交点) 若 是 的垂心,则有 (1) ；(3) 存在正实数 ,使得 .
三角形的内心(其三条内角平分线的交点) 若 是 的内心,则有 (1) ; (2) 存在正实数 ,使得 .
三角形的外心(其三条边的垂直平分线的交点) 若 是 的外心,则有 (1) sin ; (3) .
教材素材变式
1.[2024年湖北武汉高三调研第6题][苏教必修二P43习题9.4第8题变式]已知点在所在平面内，满足，且，则
A. B. 1 C. D. 2
2.[2024年山东济南高三月考第11题][人A必修二P52习题6.4第1题变式]
已知是所在平面上一定点，若动点满足，则点的轨迹一定通过的_____；若动点满足，则点的轨迹一定通过的_____。(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”)
3.[2025年广东佛山高三一模第5题][人A必修二P52习题6.4第2题变式]数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的重心、垂心和外心共线。这条线被称为三角形的“欧拉线”。已知点分别为的重心、垂心、外心，为的中点，则( )
A. B. C. D.
变式探究
在中，已知，点为的外心，点为的重心，则_____。
4.[2024年四川绵阳三模第10题][苏教必修二P43习题9.4第8题变式]设为的外心，且满足，则下列结论中正确结论的个数为( )
①； ②； ③。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
5.[2024年江苏南京高三调研第12题][人B必修三P89练习B第6题变式]"奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，它的内容如下：已知是内一点，记，，的面积分别为，，，则。若是锐角内的一点，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的外心
B.
C.
D.
结论应用 2 极化恒等式
极化恒等式: 是两个平面向量,则 .
平行四边形形式 平行四边形 中, ,即向量 的数量积可以表示为以向 量 为邻边的平行四边形的两条对角线的长的平方差的 .
三角形形式 三角形 中, ( 为 的中点).
推论：在平行四边形 中,有 ,即平行四边形的四边平方和等于对角线平方和.
教材素材变式
1.[2024年北京高考真题][人教A版必修二P39例2变式] 如图，在平行四边形中，，，对角线，则对角线的长为（ ）
A. B. C. D.
2.[2025年河北沧州高三一模][苏教必修二P47复习题第14题变式] 在边长为的正三角形中，，是边的两个三等分点（靠近点），则
A. B. C. D.
变式探究
变式1：已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
变式2：如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是______。
3.[2024年浙江杭州高三二模][苏教必修二P24练习第2题变式] 如图，在四边形中，，，，且，，则 ；若，是线段上的动点，且，则的最小值为 。
4.[2025年四川成都高三模拟][人教A版选必一P98习题2.5第12题变式] 已知为圆的一条直径，点为直线上任意一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.[2024年江苏苏州高三期中][人教A版必修二P47习题变式] 已知向量与的夹角为，，，，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
结论应用 1 三角形四心的向量表示与应用
1. 答案：D
解析：由知为的重心，故，即，对比得，，故。对应D选项。
2. 答案：重心、内心
解析：由，即，而是边中线向量，故轨迹过重心；是的角平分线方向向量，故轨迹过内心。
3. 答案：B
解析：根据欧拉线性质，在中，垂心、外心、重心满足，又为中点，，而，重心满足，代入得。
变式探究答案：
解析：设中点为，则重心满足；外心满足，即。，则。，，故。
4. 答案：A
解析：
① 由，两边平方得，解得；同理，，平方得，解得；则，代入数值解得，正确。
② ，故，正确。
③ 由外心性质，，而，同理可求，结合及正弦定理，可得，代入得，则（为边），同理可得，最终化简得，正确。
5. 答案：BCD
解析：由知为垂心，A错误；垂心满足，故，B正确；设，，，由得，而，，故，同理，故，C正确；由垂心性质，，D正确。
结论应用2 极化恒等式
1. 答案：D
解析：在平行四边形中，由极化恒等式得：
已知，，，且。
代入得：
又由余弦定理，在中：
即，解得。
代入极化恒等式得：
2. 答案：C
解析：取中点，则为，的中点吗？不，，是三等分点，，，则，。
由三角形极化恒等式：
在正三角形中，为中线，，，故：
变式1 答案：B
解析：设坐标为，，，，，则，，数量积为：
当在轴上时，，表达式为，最小值为。
变式2 答案：
解析：设中点，则，，故，而，设，则，，，解得，。。
3. 答案：，最小值为
解析：，，，则。
建立坐标系：，，，，故。设，，，则，。
则。
当时，取得最小值。
4. 答案：B
解析：设圆心为，，，点在直线上，即。
，，则：
因为在圆上，所以，则。
又，代入得：
当时，取得最小值，故选B。
5.答案：B
解析：，则：
这是关于的二次函数，二次项系数，函数图象开口向上，对称轴为：
当时，对称轴，此时，函数在处取得最小值：
当时，对称轴，此时最小值为：
但向量夹角，取值范围为，当时，，对称轴，此时：
而当时，，对称轴，代入得：
综上，的最小值为，故选B。
