舟山中学高二下圆锥曲线大题专项训练1
文档属性
| 名称 | 舟山中学高二下圆锥曲线大题专项训练1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 142.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-07-11 21:02:03 | ||
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文档简介
舟山中学高二下圆锥曲线大题专项训练1
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
命题：谢建伟
冯步科
王平健（审校）
审题：封荣旭
一、简答题
1、已知椭圆的右顶点为A，离心率为，且椭圆E过点，以AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点C的直线交曲线E于F，H两点，且直线OH交椭圆E于另一点G，问△FHG面积是否存在最大值？若有，请求出；否则，说明理由．
2、已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知，若、在动点的轨迹上,且，求实数的取值范围．
如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：＋y2
＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2
＝ 经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为k、k .
（1）试问：k·k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由
．
（2）求|AB|·|CD|的最大值．
4、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.
5、已知椭圆的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线与的交点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆相较于两点，若且，求面积的最大值。
6、已知椭圆的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线与的交点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆相较于两点，若且，求面积的最大值。
7、 已知椭圆的一个焦点，点为椭圆上一点.
（Ⅰ）
求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上两点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
求证：直线的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；
若不存在，请说明理由.
8、已知椭圆的左右焦点分别为，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点.当直线垂直轴时,.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求内切圆半径的最大值.
9、已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．
舟山中学高二下圆锥曲线大题专项训练1
参考答案
一、简答题
1、解：（1）设椭圆的右焦点为D，连接BD，则BD⊥AD，所以，解得
故点B的坐标为，将其代入椭圆，得
解得．故椭圆E方程：;
(2)设F,H两点的纵坐标分别为，由点O为线段HG的中点得：
当直线的斜率为0时，则点F与G重合（矛盾）
于是，设直线
的方程：
联立
消元：
所以
，
令，
函数为增函数，
（
此时
）
2、解：（Ⅰ）由已知可得：
，
∴
∴
所求的椭圆方程为
.
--------------4分
(Ⅱ)方法一：
由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为
y
=
k
x
+3
代入前面的椭圆方程得
(4+9k
2)
x
2
+54
k
+45
=
0
①--------------5分
由判别式
，得.
-------------6分
再设M
(x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2)，则一方面有
，得
另一方面有
，
②
-------------8分
将代入②式并消去
x
2可得
，由前面知，
∴
，解得
.
--------------11分
又当直线m的斜率不存在时，不难验证：,
所以
为所求。---------------------12分
方法二:同上得
设点M
(3cosα，2sinα)，N
(3cosβ,2sinβ)
则有
由上式消去α并整理得
,
由于
∴
，
解得为所求.
方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1.
进而推得的取值范围为。
3、解：（1）因为点是椭圆的两个焦点，故的坐标是；
而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得，
设点的坐标是：，直线和分别是.
（1），
又点是椭圆上的点，故
（2）
联合（1）（2）两式得
，故k·k 为定值．
（Ⅱ）直线的方程可表示为：
()
（3）
结合方程（4）和椭圆的方程，得到方程组
由方程组消y得
（4）
,依韦达定理知，方程(4）的两根满足：
,
.(5)
同理可求得
(6)
,
由（5）（6）两式得：
当且仅当时等号成立.故的最大值等于.
4、解：（Ⅰ）∵的焦点的坐标为
由点到直线的距离为得
∵
解得
………………1分
又为椭圆的一个焦点
∴
①
………………2分
∵与的公共弦长为，与都关于轴对称，
而的方程为，从而与的公共点的坐标为
………3分
∴
②
联立①②解得，
………………4分
∴的方程为，点的坐标为
………………5分
（Ⅱ）当过点且垂直于轴时，的方程为代入求得
∴
把代入求得
∴
此时
………………6分
当与轴不垂直时，要使与有两个交点，可设的方程为，
此时设
把直线的方程与椭圆的方程联立得
消去化简得
………………7分
可得，，
∴
…………………8分
把直线的方程与抛物线的方程联立得
消去化简得，
可得，
∴
………………9分
∴
………………10分
∵
∴
∴
∴
………………11分
综上可得的取值范围是.
………………12分
5、【解析】（1）由，令，得，则，所以 ①．
又由题意，得，即 ②．
由①②解得，故椭圆的方程为．……………4分
（2）不妨设直线的方程，设，．
由，消去得，则
，．……………6分
因为以，所以
．
由
，得
．……………7分
将代入上式，得
.
将
①
代入上式，解得或（舍）．
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），……………9分
所以．……………10分
设，则，
所以当时，取得最大值．……………12分
6、【解析】（1）由，令，得，则，所以 ①．
又由题意，得，即 ②．
由①②解得，故椭圆的方程为．……………4分
（2）不妨设直线的方程，设，．
由，消去得，则
，．……………6分
因为以，所以
．
由
，得
．……………7分
将代入上式，得
.
将
①
代入上式，解得或（舍）．
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），……………9分
所以．……………10分
设，则，
所以当时，取得最大值．……………12分
7、解：（Ⅰ）由已知，在椭圆上，
，
【2分】
又
，解得，所求椭圆方程为
【4分】
（Ⅱ）设，直线的斜率为，则直线的斜率为，
消去得
曲线与直线只有两个公共点，，
【6分】
且是方程的二根，，，
，
【7分】
同理，
为定值.
【9分】
(
Ⅲ
)不妨设过的直线方程为：
由，消去得，
由，解得
，
，
计算得：点到直线的距离
当
即时，
【14分】
8、解：（1）由已知条件可设,
由……………2分
解得
…………………………………………3分
所以椭圆的标准方程为…………………………………………4分
（2）法1：设,直线的方程为……………………5分
联立,消去并化简得………………6分
由韦达定理得
…………………………7分
.
那么
所以
………………………………8
分
而
…………9
分
,
当且仅当,即时等号成立
…………………………10分
又因为……11分
所以内切圆半径的最大值为1.
……………………12分
法2：
①当直线的斜率不存在时
又因为
所以这时
………………………………………………………5分
②当直线的斜率存在时，设，
把代入得
得
由韦达定理得…
…
点到直线的距离为
当且仅当即时等号成立…
由
得解得
又因为所以内切圆半径的最大值为1.
9.
【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；
（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；
（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，
∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，
设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
解方程组，得==，
由对称性可知，S=4=；
（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，
设P（x0，y0），则+=1，
又∵d1=，d2=，
∴+=+=，
将=b2（1﹣）代入上式，
得+=，
∵d12+d22为定值，
∴k2﹣=0，即k=±，
于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；
（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），
则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，
点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．
①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，
椭圆均过点（1，1），于是有+=1；
②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，
整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，
由韦达定理可知x1x2=，
同理可知y1y2=，
∵ACBD为菱形，
∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
整理得：a2+b2=a2b2（+），
又∵+=1，
∴a2+b2=a2b2，即+=1；
综上所述，a，b满足的关系式为+=1．
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
命题：谢建伟
冯步科
王平健（审校）
审题：封荣旭
一、简答题
1、已知椭圆的右顶点为A，离心率为，且椭圆E过点，以AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设过点C的直线交曲线E于F，H两点，且直线OH交椭圆E于另一点G，问△FHG面积是否存在最大值？若有，请求出；否则，说明理由．
2、已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）已知，若、在动点的轨迹上,且，求实数的取值范围．
如图，已知点F1,F2是椭圆Cl：＋y2
＝1的两个焦点，椭圆C2：＋y2
＝ 经过点F1,F2，点P是椭圆C2上异于F1,F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D．设AB、CD的斜率分别为k、k .
（1）试问：k·k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由
．
（2）求|AB|·|CD|的最大值．
4、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且点到直线的距离为，与的公共弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）过点的直线与交于两点，与交于两点，求的取值范围.
5、已知椭圆的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线与的交点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆相较于两点，若且，求面积的最大值。
6、已知椭圆的四个顶点所构成的菱形面积为6，且椭圆的焦点通过抛物线与的交点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆相较于两点，若且，求面积的最大值。
7、 已知椭圆的一个焦点，点为椭圆上一点.
（Ⅰ）
求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上两点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
求证：直线的斜率为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；
若不存在，请说明理由.
8、已知椭圆的左右焦点分别为，过点且不与轴重合的直线与椭圆相交于两点.当直线垂直轴时,.
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求内切圆半径的最大值.
9、已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．
（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；
若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．
（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．
舟山中学高二下圆锥曲线大题专项训练1
参考答案
一、简答题
1、解：（1）设椭圆的右焦点为D，连接BD，则BD⊥AD，所以，解得
故点B的坐标为，将其代入椭圆，得
解得．故椭圆E方程：;
(2)设F,H两点的纵坐标分别为，由点O为线段HG的中点得：
当直线的斜率为0时，则点F与G重合（矛盾）
于是，设直线
的方程：
联立
消元：
所以
，
令，
函数为增函数，
（
此时
）
2、解：（Ⅰ）由已知可得：
，
∴
∴
所求的椭圆方程为
.
--------------4分
(Ⅱ)方法一：
由题知点D、M、N共线，设为直线m，当直线m的斜率存在时，设为k，则直线m的方程为
y
=
k
x
+3
代入前面的椭圆方程得
(4+9k
2)
x
2
+54
k
+45
=
0
①--------------5分
由判别式
，得.
-------------6分
再设M
(x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2)，则一方面有
，得
另一方面有
，
②
-------------8分
将代入②式并消去
x
2可得
，由前面知，
∴
，解得
.
--------------11分
又当直线m的斜率不存在时，不难验证：,
所以
为所求。---------------------12分
方法二:同上得
设点M
(3cosα，2sinα)，N
(3cosβ,2sinβ)
则有
由上式消去α并整理得
,
由于
∴
，
解得为所求.
方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5，最小值为1.
进而推得的取值范围为。
3、解：（1）因为点是椭圆的两个焦点，故的坐标是；
而点是椭圆上的点，将的坐标带入的方程得，
设点的坐标是：，直线和分别是.
（1），
又点是椭圆上的点，故
（2）
联合（1）（2）两式得
，故k·k 为定值．
（Ⅱ）直线的方程可表示为：
()
（3）
结合方程（4）和椭圆的方程，得到方程组
由方程组消y得
（4）
,依韦达定理知，方程(4）的两根满足：
,
.(5)
同理可求得
(6)
,
由（5）（6）两式得：
当且仅当时等号成立.故的最大值等于.
4、解：（Ⅰ）∵的焦点的坐标为
由点到直线的距离为得
∵
解得
………………1分
又为椭圆的一个焦点
∴
①
………………2分
∵与的公共弦长为，与都关于轴对称，
而的方程为，从而与的公共点的坐标为
………3分
∴
②
联立①②解得，
………………4分
∴的方程为，点的坐标为
………………5分
（Ⅱ）当过点且垂直于轴时，的方程为代入求得
∴
把代入求得
∴
此时
………………6分
当与轴不垂直时，要使与有两个交点，可设的方程为，
此时设
把直线的方程与椭圆的方程联立得
消去化简得
………………7分
可得，，
∴
…………………8分
把直线的方程与抛物线的方程联立得
消去化简得，
可得，
∴
………………9分
∴
………………10分
∵
∴
∴
∴
………………11分
综上可得的取值范围是.
………………12分
5、【解析】（1）由，令，得，则，所以 ①．
又由题意，得，即 ②．
由①②解得，故椭圆的方程为．……………4分
（2）不妨设直线的方程，设，．
由，消去得，则
，．……………6分
因为以，所以
．
由
，得
．……………7分
将代入上式，得
.
将
①
代入上式，解得或（舍）．
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），……………9分
所以．……………10分
设，则，
所以当时，取得最大值．……………12分
6、【解析】（1）由，令，得，则，所以 ①．
又由题意，得，即 ②．
由①②解得，故椭圆的方程为．……………4分
（2）不妨设直线的方程，设，．
由，消去得，则
，．……………6分
因为以，所以
．
由
，得
．……………7分
将代入上式，得
.
将
①
代入上式，解得或（舍）．
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），……………9分
所以．……………10分
设，则，
所以当时，取得最大值．……………12分
7、解：（Ⅰ）由已知，在椭圆上，
，
【2分】
又
，解得，所求椭圆方程为
【4分】
（Ⅱ）设，直线的斜率为，则直线的斜率为，
消去得
曲线与直线只有两个公共点，，
【6分】
且是方程的二根，，，
，
【7分】
同理，
为定值.
【9分】
(
Ⅲ
)不妨设过的直线方程为：
由，消去得，
由，解得
，
，
计算得：点到直线的距离
当
即时，
【14分】
8、解：（1）由已知条件可设,
由……………2分
解得
…………………………………………3分
所以椭圆的标准方程为…………………………………………4分
（2）法1：设,直线的方程为……………………5分
联立,消去并化简得………………6分
由韦达定理得
…………………………7分
.
那么
所以
………………………………8
分
而
…………9
分
,
当且仅当,即时等号成立
…………………………10分
又因为……11分
所以内切圆半径的最大值为1.
……………………12分
法2：
①当直线的斜率不存在时
又因为
所以这时
………………………………………………………5分
②当直线的斜率存在时，设，
把代入得
得
由韦达定理得…
…
点到直线的距离为
当且仅当即时等号成立…
由
得解得
又因为所以内切圆半径的最大值为1.
9.
【分析】（1）通过ACBD为正方形可知直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，进而联立直线与椭圆方程，利用对称性即得结论；
（2）通过妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，设P（x0，y0），利用点到直线的距离公式及+=1，整理可知+的表达式，进而利用d12+d22为定值计算即得结论；
（3）通过设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），联立切线AC的方程与椭圆方程，分x0=0或y0=0、x0≠0或y0≠0两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵ACBD为正方形，
∴直线l1和l2的方程为y=x和y=﹣x，
设点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
解方程组，得==，
由对称性可知，S=4=；
（2）由题意，不妨设直线l1的方程为y=kx，则直线l2的方程为y=﹣kx，
设P（x0，y0），则+=1，
又∵d1=，d2=，
∴+=+=，
将=b2（1﹣）代入上式，
得+=，
∵d12+d22为定值，
∴k2﹣=0，即k=±，
于是直线l1和l2的斜率分别为和﹣，此时+=；
（3）设AC与圆x2+y2=1相切的切点坐标为（x0，y0），
则切线AC的方程为：x0x+y0y=1，
点A、C的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．
①当x0=0或y0=0时，ACBD均为正方形，
椭圆均过点（1，1），于是有+=1；
②当x0≠0或y0≠0时，将y=（1﹣x0x）代入+=1，
整理得：（a2+b2）x2﹣2a2x0x﹣a2（1+b2）=0，
由韦达定理可知x1x2=，
同理可知y1y2=，
∵ACBD为菱形，
∴AO⊥CO，即x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
整理得：a2+b2=a2b2（+），
又∵+=1，
∴a2+b2=a2b2，即+=1；
综上所述，a，b满足的关系式为+=1．