14.3 第2课时　角的平分线的判定 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

第2课时　角的平分线的判定
◇教学目标◇
　　1.经历探究角平分线性质逆定理的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
2.掌握角平分线性质的逆定理，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
3.结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.
◇教学重难点◇
教学重点
角平分线性质和判定的应用.
教学难点
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是什么？
二、合作探究
探究点1　角平分线的判定
典例1　如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
（2）△ABC的三条角平分线交于一点.
［解析］　（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE.
同理PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF，即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
探究点2　角平分线判定的应用
典例2　如图，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF交于点D，DE＝DF，连接AD.求证：
（1）∠FAD＝∠EAD；
（2）BD＝CD.
［解析］　（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD＝∠EAD.
（2）∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴∠ADF＝∠ADE.
∵∠BDF＝∠CDE，
∴∠ADF＋∠BDF＝∠ADE＋∠CDE，
即∠ADB＝∠ADC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（ASA），∴BD＝CD.
技巧点拨本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键.
探究点3　角平分线性质与判定的综合应用
典例3　如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线.
［解析］　过点P作三边AB，BC，AC的垂线段PD，PE，PF.
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，∴PD＝PF.
∵CP是△ABC的外角平分线，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PE＝PF，
∴PD＝PE，∵PD⊥AD，PE⊥BC，
∴BP为∠MBN的平分线.
三、板书设计
角的平分线的判定
角的平分
线的判定
◇教学反思◇
　　本节课的内容是角平分线的判定，有前面角的平分线的性质，这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性.在角的外部有没有满足条件的点，引导学生从垂线的角度，点到线段、射线的距离方面加以理解.
◇教学目标◇
　　1.经历探究角平分线性质逆定理的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.
2.掌握角平分线性质的逆定理，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题.
3.结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心.
◇教学重难点◇
教学重点
角平分线性质和判定的应用.
教学难点
运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.
◇教学过程◇
一、情境导入
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是什么？
二、合作探究
探究点1　角平分线的判定
典例1　如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证：
（1）点P到三边AB，BC，CA的距离相等；
（2）△ABC的三条角平分线交于一点.
［解析］　（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE.
同理PE＝PF，
∴PD＝PE＝PF，即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
（2）由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等，
∴点P在∠A的平分线上，
∴△ABC的三条角平分线交于一点.
探究点2　角平分线判定的应用
典例2　如图，BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF交于点D，DE＝DF，连接AD.求证：
（1）∠FAD＝∠EAD；
（2）BD＝CD.
［解析］　（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB，DE＝DF，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD＝∠EAD.
（2）∵△ADF与△ADE是直角三角形，DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴∠ADF＝∠ADE.
∵∠BDF＝∠CDE，
∴∠ADF＋∠BDF＝∠ADE＋∠CDE，
即∠ADB＝∠ADC.
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（ASA），∴BD＝CD.
技巧点拨本题考查的是角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等的知识是解答此题的关键.
探究点3　角平分线性质与判定的综合应用
典例3　如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P.求证：BP为∠MBN的平分线.
［解析］　过点P作三边AB，BC，AC的垂线段PD，PE，PF.
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，∴PD＝PF.
∵CP是△ABC的外角平分线，PF⊥AC，PE⊥BC，∴PE＝PF，
∴PD＝PE，∵PD⊥AD，PE⊥BC，
∴BP为∠MBN的平分线.
三、板书设计
角的平分线的判定
角的平分
线的判定
◇教学反思◇
　　本节课的内容是角平分线的判定，有前面角的平分线的性质，这里的教学过程重点应通过学生作图理解判定中“角的内部”四个字的必要性.在角的外部有没有满足条件的点，引导学生从垂线的角度，点到线段、射线的距离方面加以理解.