16.3.2 完全平方公式 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3.2　完全平方公式
第1课时　完全平方公式
◇教学目标◇
　　1.经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式的过程.
2.能运用公式进行简单的运算.
3.通过练习培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性.
◇教学重难点◇
教学重点
完全平方公式的推导和应用.
教学难点
完全平方公式的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，并探究所拼出的正方形的代数意义.
二、合作探究
探究点1　完全平方公式
典例1　运用完全平方公式计算：
（1）（4m＋n）2；
（2）.
［解析］　（1）（4m＋n）2＝（4m）2＋2·（4m）·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；
（2）＝y2－2·y·＝y2－y＋.
探究点2　完全平方公式变形应用
典例2　已知a＋b＝3，ab＝－2，求下列各式的值.
（1）a2＋b2；
（2）a－b.
［解析］　（1）∵a＋b＝3，ab＝－2，
∴a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝32－2×（－2）＝13.
（2）∵a＋b＝3，ab＝－2，
∴a－b＝±＝±＝±＝±.
探究点3　完全平方公式的几何意义
典例3　如图1是一个长为2a，宽为2b（a>b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为 （　　）
图1　　　　　图2
A.ab B.（a＋b）2
C.（a－b）2 D.a2－b2
［解析］　中间空的部分的面积＝大正方形的面积－4个小长方形的面积＝（a＋b）2－4ab＝a2＋2ab＋b2－4ab＝（a－b）2.
［答案］　C
探究点4　利用完全平方公式进行简便运算
典例4　运用完全平方公式计算：
（1）1022；
（2）992.
［解析］　（1）1022＝（100＋2）2＝1002＋2×100×2＋22＝10404；
（2）992＝（100－1）2＝1002－2×100×1＋12＝9801.
三、板书设计
完全平方公式
完全平
方公式
◇教学反思◇
　　本节的内容是完全平方公式，在教学中，重视公式的几何意义，较直观地让学生理解代数中的某些问题.利用拼图游戏，调动学生的积极性，让学生关注几何与代数之间的内在联系，增强记忆，也可用口诀的形式让学生形象记忆，尤其针对学生易漏掉中间积的2倍这一项做好针对性的练习.
第2课时　添括号法则
◇教学目标◇
　　1.掌握乘法公式的结构特征及公式的含义，理解添括号法则，会正确地添括号运用这些公式进行计算.
2.通过探索和理解乘法公式，感受乘法公式从一般到特殊的认知过程，拓展思维空间.
3.培养良好的分析思想和与人合作的习惯，体会数学的重要价值.
◇教学重难点◇
教学重点
正确应用乘法公式（平方差公式、完全平方公式）.
教学难点
对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.
◇教学过程◇
一、情境导入
教室里有a名同学，第一次有b名同学被老师喊到办公室去了，第二次有c名同学被老师喊到办公室去了，请你用代数式表示教室里现在有多少名学生？你能用两种形式表示吗？
二、合作探究
探究点1　添括号法则
典例1　①5x＋3x2－4y2＝5x－（　　　　）；
②－3p＋3q－1＝3q－（　　　　）.
［解析］　①5x＋3x2－4y2
＝5x－（4y2－3x2）.
②－3p＋3q－1
＝3q－（3p＋1）.
［答案］　4y2－3x2；3p＋1
探究点2　添括号法则在乘法公式中的应用
典例2　运用乘法公式计算：
（1）（x＋2y－3）（x－2y＋3）；
（2）（a＋b＋c）2.
［解析］　（1）（x＋2y－3）（x－2y＋3）
＝［x＋（2y－3）］［x－（2y－3）］
＝x2－（2y－3）2
＝x2－（4y2－12y＋9）
＝x2－4y2＋12y－9；
（2）（a＋b＋c）2
＝［（a＋b）＋c］2
＝（a＋b）2＋2（a＋b）c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
三、板书设计
添括号法则
添括号
◇教学反思◇
　　本节的内容是添括号法则，添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后式子的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的式子是否正确，添括号能利用乘法公式简单计算，重在理解“遇负全变，遇正不变”的口诀.