17.2 用公式法分解因式 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

17.2　用公式法分解因式
第1课时　直接运用平方差公式分解因式
◇教学目标◇
　　1.能够直接运用平方差公式分解因式.
2.培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力.
◇教学重难点◇
教学重点
理解直接用平方差公式分解因式，并学会应用.
教学难点
领会因式分解的解题步骤和因式分解的彻底性.
◇教学过程◇
一、情境导入
计算①252－242；②352－342；③982－972.
看谁算的最快最准，把你的方法分享给大家.
二、合作探究
探究点　直接运用平方差公式分解因式
典例1　分解因式：
（1）4x2－9；
（2）a2－25b2.
［解析］　（1）4x2－9
＝（2x）2－32
＝（2x＋3）（2x－3）；
（2）a2－25b2
＝a2－（5b）2
＝（a＋5b）（a－5b）.
典例2　分解因式：
（1）x2－y4；
（2）（x＋p）2－（x＋q）2.
［解析］　（1）x2－y4
＝x2－（y2）2
＝（x＋y2）（x－y2）；
（2）（x＋p）2－（x＋q）2
＝［（x＋p）＋（x＋q）］［（x＋p）－（x＋q）］
＝（2x＋p＋q）（p－q）.
变式训练　分解因式：（p－4）（p＋1）＋3p.
［解析］　（p－4）（p＋1）＋3p
＝p2－3p－4＋3p
＝（p＋2）（p－2）.
三、板书设计
直接运用平方差公式分解因式
直接运用平方差公式
分解因式的步骤
◇教学反思◇
　　本节内容是直接运用平方差公式分解因式，平方差公式比较简单，但是变化很多，要提醒学生注意结果是否进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.因式分解是一个重要的内容，也是难点，要根据学生的接受能力，注意到计算题在练习方面的巩固及题型的多样化，应指导学生多加练习.
第2课时　直接运用完全平方公式分解因式
◇教学目标◇
　　1.能直接运用完全平方公式分解因式.
2.培养学生逆向思维的意识，同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.
◇教学重难点◇
教学重点
理解直接用完全平方公式分解因式，并学会应用.
教学难点
灵活地应用公式法分解因式.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经知道平方差公式的的逆运算可以用来分解因式，那么完全平方公式的的逆运算可以用来分解因式吗？即a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2和a2－2ab＋b2＝（a－b）2成立吗？
二、合作探究
探究点1　完全平方式
典例1　若4a2－kab＋9b2是完全平方式，则常数k的值为 （　　）
A.6 B.12 C.±12 D.±6
［解析］　∵4a2－kab＋9b2是完全平方式，∴－kab＝±2×2a×3b＝±12ab，∴k＝±12.
［答案］　C
变式训练　已知x2－8x＋a可以写成一个完全平方式，则a可为 （　　）
A.4 B.8 C.16 D.－16
［答案］　C
探究点2　直接运用完全平方公式分解因式
典例2　分解因式：
（1）x2＋4x＋4；
（2）16x2－24x＋9.
［解析］　（1）x2＋4x＋4
＝x2＋2·x·2＋22
＝（x＋2）2；
（2）16x2－24x＋9
＝（4x）2－2·4x·3＋32
＝（4x－3）2.
典例3　分解因式：
（1）（a＋b）2－12（a＋b）＋36；
（2）－x2＋4xy－4y2.
［解析］　（1）（a＋b）2－12（a＋b）＋36
＝（a＋b）2－2·（a＋b）·6＋62
＝（a＋b－6）2；
（2）－x2＋4xy－4y2
＝－（x2－4xy＋4y2）
＝－［x2－2·x·2y＋（2y）2］
＝－（x－2y）2.
三、板书设计
直接运用完全平方公式分解因式
直接运用完全平方公
式分解因式的步骤
◇教学反思◇
　　本节课应强调完全平方式标准模式的书写，这也是学生思维过程的暴露，有利于中等及中等以下学生对新知识的掌握，提高学生解题的准确率；先引导学生分析多项式特点，再让学生尝试因式分解的过程完成例题教学.
第3课时　多步分解因式
◇教学目标◇
　　1.能够多步分解较复杂的多项式.
2.加深对提公因式法和公式法的掌握程度.
◇教学重难点◇
教学重点
提公因式法和公式法的多次综合运用.
教学难点
灵活运用提公因式法和公式法分解较复杂的多项式.
◇教学过程◇
一、情境导入
我们已经掌握分别用提公因式法和公式法分解简单的多项式，对于较复杂的多项式，又应该如何去处理呢？
二、合作探究
探究点1　两次运用公式法
典例1　下面是某同学对多项式（x2－4x＋2）·（x2－4x＋6）＋4分解因式的过程.
［解析］　设x2－4x＝y，
原式＝（y＋2）（y＋6）＋4（第一步）
＝y2＋8y＋16（第二步）
＝（y＋4）2（第三步）
＝（x2－4x＋4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　　　　.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　　　　.（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　　　　.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）·（x2－2x＋2）＋1分解因式.
［解析］　（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式.
（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2－4x＋4）2＝（x－2）4.
（3）（x2－2x）（x2－2x＋2）＋1
＝（x2－2x）2＋2（x2－2x）＋1
＝（x2－2x＋1）2
＝（x－1）4.
［答案］　（1）C　（2）不彻底　（x－2）4
（3）（x－1）4
探究点2　综合运用提公因式法和公式法
典例2　分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；
（2）－ax2＋2a2x－a3.
［解析］　（1）3ax2＋6axy＋3ay2
＝3a（x2＋2xy＋y2）
＝3a（x＋y）2；
（2）－ax2＋2a2x－a3
＝－a（x2－2ax＋a2）
＝－a（x－a）2.
三、板书设计
多步分解因式
多步分
解因式
◇教学反思◇
　　本节内容在学生掌握分别用提公因式法和公式法分解简单的多项式的基础上，多次综合运用提公因式法和公式法分解较复杂的多项式，对学生的旧知提出了新的挑战，有效提升了学生的综合应用意识和能力.