2.2 分式的加法和减法
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 最简公分母
1.分式与的最简公分母是( )
A.abc B.a2b2c C.6a2b2c D.12a2b2c
2.(2025·娄底期末)分式,的最简公分母是( )
A.2x B.2x(2x-4)
C.2x-4 D.2x(x-2)
3.分式,,的最简公分母是 .
4.,,的最简公分母是 .
5.已知分式,,a是这两个分式中分母的公因式,b是这两个分式的最简公分母,且=3,试求这两个分式的值分别是多少.
知识点2 分式的通分
6.(2024·常德鼎城区质检)把与通分后,的分母为(1-a)(a+1)2,则的分子变为( )
A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a
7.将分式,,,-通分,正确的是( )
A.= B.=
C.= D.-=
8.(教材再开发·P33例4变式)把下列各题中的分式通分:
(1),;
(2),,.
9.阅读下列材料:
通分:,.
解:因为最简公分母是6(a+b)2(a2-b2),
所以=,=.
以上通分是否正确 若不正确,请写出正确答案.
【B层 能力进阶】
10.下列各选项中,所求的最简公分母错误的是( )
A.与的最简公分母是6x
B.与的最简公分母是3a2b3c
C.与的最简公分母是ab(x-y)(y-x)
D.与的最简公分母是m2-n2
11.把,,,通分的过程中,不正确的是( )
A.最简公分母是(x-2)(x+3)2
B.=
C.=
D.=
12.通分:
(1),,;
(2),,.
13.已知分式,,且=8,其中m是这两个分式中分母的公因式,n是这两个分式的最简公分母,求x的值.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、运算能力)某人种植了x公顷棉花,总产量为y千克,小麦的种植面积比棉花的种植面积少m公顷,小麦的总产量比棉花总产量的3倍多n千克,写出表示棉花和小麦的单位面积产量(单位:千克/公顷)的式子,并把两个分式通分.2.2 分式的加法和减法
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 同分母分式的加减
1.化简+的结果是( )
A.0 B.1 C.a D.a-2
2.下列计算中正确的是( )
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=0
3.(2025·株洲攸县期末)计算:+= .
4.(2025·娄底期末)化简:-= .
5.计算:(1)-;
(2)--.
知识点2 同分母分式加减的应用
6.下列计算正确的是( )
A.+=0
B.-=1
C.-=1
D.+=
7.已知:y=-.
(1)对上式进行化简,得y= ;
(2)若x=-2,则y= .
8.下面是张明同学的作业本中的一道计算题的错解过程,请你仔细观察,然后按要求答题:
计算:+-.
解:+-…①
=…②
=…③
=4.
(1)上述计算过程中,从哪一步开始出现错误:________(填序号);错误的原因是
____________________.
(2)请你写出正确的结果.
【B层 能力进阶】
9.计算+的结果是( )
A.m B.-m C.m+1 D.m-1
10.已知分式-化简后的结果在数轴上对应的点位于原点左侧,则x的值可以是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
11.(2024·岳阳汨罗市期末)若-=,则M= .
12.化简:-= .
13.计算:+-= .
14.若=+,则x的值是 .
15.计算:(1)+;
(2)-;
(3)+-.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(抽象能力、运算能力)观察下列式子,并探索它们的规律:
==+=1+;
==+=2+.
(1)根据以上式子填空:
①=3+_____________.
②=a+_____________.
(2)求分式(x≥0)的最小值.
(3)已知x为整数,求能使分式的值为整数的所有x值的和.2.2 分式的加法和减法
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点 异分母分式的加减
1.计算-的结果等于(C)
A.-1 B.x-1 C. D.
2.已知x≠0,则++等于(D)
A. B. C. D.
3.计算+= - .
4.已知x=5,则代数式-的值为 .
5.(2024·西宁中考)计算-= .
6.计算:(1)+;
(2)-.
【解析】(1)原式=+=.
(2)-
=-
=
=.
7.计算:
(1)-;
(2)+.
【解析】(1)原式=-
=
=
=-;
(2)原式=+
=
=
=
=.
【B层 能力进阶】
8.化简+x-2的结果是(D)
A.1 B. C. D.
9.(2024·雅安中考)已知+=1(a+b≠0),则=(C)
A. B.1 C.2 D.3
10.已知A=,B=+,则A,B的关系为(C)
A.A=B B.AB=1
C.A+B=0 D.不能确定
11.若x是非负整数,则表示-的值的对应点落在如图数轴上的范围是(B)
A.① B.②
C.③ D.①或②
12.已知实数a,b满足ab=1,则+= 1 .
13.(2025·怀化期末)已知x为整数,且++为整数,则所有符合条件的x值的积为 180 .
14.化简:
(1)--;
(2)--.
【解析】(1)原式=--===-;
(2)原式=+-==.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力)阅读理解:
例题:已知实数x满足x+=4,求分式的值.
解:因为x+=4.
所以的倒数=x++3=4+3=7,所以=.
(1)已知实数a满足a+=5,求分式的值.
(2)已知实数b满足b+=9,求分式的值.
【解析】(1)因为a+=5,
所以的倒数=3(a+)+5=20,
所以=;
(2)因为b+=9,
所以b+1+=10,
所以的倒数
==(b+1+)+3=13,所以=.2.2 分式的加法和减法
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 同分母分式的加减
1.化简+的结果是(B)
A.0 B.1 C.a D.a-2
2.下列计算中正确的是(D)
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=0
3.(2025·株洲攸县期末)计算:+= 8 .
4.(2025·娄底期末)化简:-= -2 .
5.计算:(1)-;
(2)--.
【解析】(1)原式===x-1.
(2)原式=+-
===1.
知识点2 同分母分式加减的应用
6.下列计算正确的是(A)
A.+=0
B.-=1
C.-=1
D.+=
7.已知:y=-.
(1)对上式进行化简,得y= - ;
(2)若x=-2,则y= .
8.下面是张明同学的作业本中的一道计算题的错解过程,请你仔细观察,然后按要求答题:
计算:+-.
解:+-…①
=…②
=…③
=4.
(1)上述计算过程中,从哪一步开始出现错误:________(填序号);错误的原因是
____________________.
(2)请你写出正确的结果.
【解析】(1)② 第二个分式的分母4y-x变成x-4y时,分子没有变号
(2)+-==.
【B层 能力进阶】
9.计算+的结果是(A)
A.m B.-m C.m+1 D.m-1
10.已知分式-化简后的结果在数轴上对应的点位于原点左侧,则x的值可以是(A)
A.4 B.5 C.6 D.7
11.(2024·岳阳汨罗市期末)若-=,则M= a2 .
12.化简:-= -x .
13.计算:+-= -2 .
14.若=+,则x的值是 -a2 .
15.计算:(1)+;
(2)-;
(3)+-.
【解析】(1)原式===3x;
(2)原式===;
(3)原式=+-
===1.
【C层 创新挑战（选做）】
16.(抽象能力、运算能力)观察下列式子,并探索它们的规律:
==+=1+;
==+=2+.
(1)根据以上式子填空:
①=3+_____________.
②=a+_____________.
(2)求分式(x≥0)的最小值.
(3)已知x为整数,求能使分式的值为整数的所有x值的和.
【解析】(1)①=
=+=3+.
答案:
②==+=a+.
答案:
(2)==2-,
要求原式的最小值,则的值最大,
当x=0时,=6,
所以2-的最小值为2-6=-4;
(3)=
=x+1-=x+1-=x+1-4+=x-3+,要使结果为整数,
则为整数,所以x的值为-4或-2或0或2,所以其和为-4-2+0+2=-4.2.2 分式的加法和减法
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 最简公分母
1.分式与的最简公分母是(C)
A.abc B.a2b2c C.6a2b2c D.12a2b2c
2.(2025·娄底期末)分式,的最简公分母是(D)
A.2x B.2x(2x-4)
C.2x-4 D.2x(x-2)
3.分式,,的最简公分母是 12xy2 .
4.,,的最简公分母是 12(x-y)x2y .
5.已知分式,,a是这两个分式中分母的公因式,b是这两个分式的最简公分母,且=3,试求这两个分式的值分别是多少.
【解析】两分式分母的公因式为a=x+1,最简公分母为b=3(x+1)(x-1),
所以==3(x-1)=3,即x=2,则==,==.
知识点2 分式的通分
6.(2024·常德鼎城区质检)把与通分后,的分母为(1-a)(a+1)2,则的分子变为(B)
A.1-a B.1+a C.-1-a D.-1+a
7.将分式,,,-通分,正确的是(C)
A.= B.=
C.= D.-=
8.(教材再开发·P33例4变式)把下列各题中的分式通分:
(1),;
(2),,.
【解析】(1)=,=;
(2)=,=,=.
9.阅读下列材料:
通分:,.
解:因为最简公分母是6(a+b)2(a2-b2),
所以=,=.
以上通分是否正确 若不正确,请写出正确答案.
【解析】不正确.正解如下:
因为最简公分母是6(a+b)2(a-b),
所以=,
=.
【B层 能力进阶】
10.下列各选项中,所求的最简公分母错误的是(C)
A.与的最简公分母是6x
B.与的最简公分母是3a2b3c
C.与的最简公分母是ab(x-y)(y-x)
D.与的最简公分母是m2-n2
11.把,,,通分的过程中,不正确的是(D)
A.最简公分母是(x-2)(x+3)2
B.=
C.=
D.=
12.通分:
(1),,;
(2),,.
【解析】(1)因为3y-3x=3(y-x)=-3(x-y);
x2-2xy+y2=(x-y)2,
所以最简公分母为-3(x-y)2,
所以=;
=;
=.
(2)因为(2x-4)2=[2(x-2)]2=4(x-2)2;
6x-3x2=3x(2-x)=-3x(x-2);
x2-4=(x+2)(x-2),
所以最简公分母为-12x(x+2)(x-2)2,
所以=;
=;
=
=.
13.已知分式,,且=8,其中m是这两个分式中分母的公因式,n是这两个分式的最简公分母,求x的值.
【解析】因为3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2),所以m=x-2,n=3(x+2)(x-2).
因为=8,所以=8,即3(x+2)=8,解得x=.
【C层 创新挑战（选做）】
14.(抽象能力、运算能力)某人种植了x公顷棉花,总产量为y千克,小麦的种植面积比棉花的种植面积少m公顷,小麦的总产量比棉花总产量的3倍多n千克,写出表示棉花和小麦的单位面积产量(单位:千克/公顷)的式子,并把两个分式通分.
【解析】因为小麦的种植面积比棉花的种植面积少m公顷,小麦的总产量比棉花总产量的3倍多n千克,所以小麦的种植面积:(x-m)公顷,小麦的总产量:(3y+n)千克,
因为单位面积产量=,
所以棉花的单位面积产量=千克/公顷,
小麦的单位面积产量=千克/公顷,
因为,的最简公分母为x(x-m),
所以=,=.2.2 分式的加法和减法
第3课时
【A层 基础夯实】
知识点 异分母分式的加减
1.计算-的结果等于( )
A.-1 B.x-1 C. D.
2.已知x≠0,则++等于( )
A. B. C. D.
3.计算+= .
4.已知x=5,则代数式-的值为 .
5.(2024·西宁中考)计算-= .
6.计算:(1)+;
(2)-.
7.计算:
(1)-;
(2)+.
【B层 能力进阶】
8.化简+x-2的结果是( )
A.1 B. C. D.
9.(2024·雅安中考)已知+=1(a+b≠0),则=( )
A. B.1 C.2 D.3
10.已知A=,B=+,则A,B的关系为( )
A.A=B B.AB=1
C.A+B=0 D.不能确定
11.若x是非负整数,则表示-的值的对应点落在如图数轴上的范围是( )
A.① B.②
C.③ D.①或②
12.已知实数a,b满足ab=1,则+= .
13.(2025·怀化期末)已知x为整数,且++为整数,则所有符合条件的x值的积为 .
14.化简:
(1)--;
(2)--.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力)阅读理解:
例题:已知实数x满足x+=4,求分式的值.
解:因为x+=4.
所以的倒数=x++3=4+3=7,所以=.
(1)已知实数a满足a+=5,求分式的值.
(2)已知实数b满足b+=9,求分式的值.
