2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念
1.下列关于x的方程,是分式方程的是( )
A.-3=
B.=
C.+1=
D.=1-
2.(2024·株洲石峰区质检)在①x2-x+,②-3=a+4,③+5x=6,④=1中,其中关于x的分式方程的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 分式方程的解
3.若关于x的分式方程-1=的解为x=3,则常数m的值为( )
A.6 B.-1 C.0 D.-2
4.如果关于x的方程=1-无解,则m的值等于( )
A.-3 B.-2 C.-1 D.3
知识点3 分式方程的解法
5.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是( )
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
6.解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是( )
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
7.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为 .
8.解方程:
(1)=;
(2)-1=;
(3)-=1;
(4)-=.
【B层 能力进阶】
9.(2025·怀化期末)若关于x的分式方程=m无解,则m的值为( )
A.或0 B.-1 C. D.0
10.用换元法解分式方程-+1=0,如果设=y,那么原方程化为关于y的整式方程是( )
A.3y2+3y-1=0 B.3y2-3y-1=0
C.3y2-y+1=0 D.3y2-y-1=0
11.对于非零的两个实数a,b,规定a b=-,若2 (2x-1)=1,则x的值为( )
A. B. C. D.-
12.根据表中的数据,写出a的值为 ,b的值为 .
代数式 x
2 n
3x+1 7 b
a 1
13.关于x的方程-3=的解为非负数,则m的取值范围是 .
14.解分式方程:
(1)-1=.
(2)+1=.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力)下面是一些方程和它们的解.
x+=2+的解为x1=2,x2=;
x+=3+的解为x1=3,x2=;
x+=4+的解为x1=4,x2=;
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律,解答下面问题:
(1)x+=5+的解为 ;
(2)关于x的方程x+=n+的解为 ;
(3)关于x的方程=a+的解为 . 2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两名程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致,本次操作需输入2 640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据,根据题意得方程正确的是(D)
A.=+2
B.=-2
C.=+2×60
D.=-2×60
2.甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 100 套校服.
3.某工程队修建一条长1 200米的道路,采用新的施工方式,工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米.
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前4天完成任务,那么实际的工作效率比原计划增加百分之几
【解析】(1)设这个工程队原计划每天修道路x米,
由题意得:-=2,
解得:x=100,经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意,
答:这个工程队原计划每天修道路100米.
(2)设这个工程队实际每天修道路y米,
由题意得:-=4,解得:y=150,
经检验,y=150是所列方程的解,且符合题意,则(150-100)÷100×100%=50%,
答:实际的工作效率比原计划增加50%.
知识点2 行程问题
4.(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程(D)
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
知识点3 其他问题
5.据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘2 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1 100毫克所需的槐树叶的片数相同,求一片槐树叶一年的平均滞尘量.
【解析】设一片槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克,则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)毫克,
依题意得:=,解得:x=22,
经检验,x=22是原方程的解,且符合题意.
答:一片槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克.
【B层 能力进阶】
6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程为(D)
A.= B.=
C.= D.=
7.(2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为(B)
A.200 B.300 C.400 D.500
8.一个两位数的十位数字与个位数字的和是12,如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的两位数作为分子,把原来的两位数作为分母,所得的分数约分后为,则这个两位数是 84 .
9.为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产________件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
【解析】(1)更新设备前每天生产x件产品,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,
更新设备后每天生产产品数量为:(1+25%)x=1.25x(件).
答案:1.25x
(2)由题意知:-2=,
去分母,得6 250-2.5x=6 000,
解得x=100,
经检验,x=100是所列分式方程的解,
1.25×100=125(件).
答:更新设备后每天生产125件产品.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(抽象能力、运算能力)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“天灾无情人有情”捐款活动,甲公司共捐款100 000元,乙公司共捐款140 000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种抗灾物资,A种抗灾物资每箱15 000元,B种抗灾物资每箱12 000元.若购买B种抗灾物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案 请设计出来.(注:A,B两种抗灾物资均需购买,并按整箱配送)
【解析】(1)设甲公司有x人,则乙公司有(x+30)人,依题意,得×=,解得x=150,
经检验,x=150是原方程的解,且符合题意,
所以x+30=180.
答:甲公司有150人,乙公司有180人.
(2)设购买A种抗灾物资m箱,购买B种抗灾物资n箱,依题意,得15 000m+
12 000n=100 000+140 000,所以m=16-n.
又因为n≥10,且m,n均为正整数,所以,,
所以有2种购买方案,方案1:购买8箱A种抗灾物资,10箱B种抗灾物资;方案2:购买4箱A种抗灾物资,15箱B种抗灾物资.2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第2课时
【A层 基础夯实】
知识点1 工程问题
1.用计算机处理数据,为了防止数据输入出错,某研究室安排两名程序操作员各输入一遍,比较两人的输入是否一致,本次操作需输入2 640个数据,已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.这两名操作员每分钟各能输入多少个数据 设乙每分钟能输入x个数据,根据题意得方程正确的是( )
A.=+2
B.=-2
C.=+2×60
D.=-2×60
2.甲、乙两个服装厂加工一批校服,甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍,两厂各加工600套校服,甲厂比乙厂少用2天,则乙厂每天加工 套校服.
3.某工程队修建一条长1 200米的道路,采用新的施工方式,工作效率比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.
(1)求这个工程队原计划每天修道路多少米.
(2)在这项工程中,如果要求工程队提前4天完成任务,那么实际的工作效率比原计划增加百分之几
知识点2 行程问题
4.(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程( )
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
知识点3 其他问题
5.据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘2 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘1 100毫克所需的槐树叶的片数相同,求一片槐树叶一年的平均滞尘量.
【B层 能力进阶】
6.《千里江山图》是宋代王希孟的作品,如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
7.(2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
8.一个两位数的十位数字与个位数字的和是12,如果交换十位数字与个位数字的位置并把所得到的新的两位数作为分子,把原来的两位数作为分母,所得的分数约分后为,则这个两位数是 .
9.为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产________件产品(用含x的式子表示);
(2)更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2天,求更新设备后每天生产多少件产品.
【C层 创新挑战（选做）】
10.(抽象能力、运算能力)甲、乙两公司全体员工踊跃参与“天灾无情人有情”捐款活动,甲公司共捐款100 000元,乙公司共捐款140 000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话:
(1)甲、乙两公司各有多少人
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A,B两种抗灾物资,A种抗灾物资每箱15 000元,B种抗灾物资每箱12 000元.若购买B种抗灾物资不少于10箱,并恰好将捐款用完,有几种购买方案 请设计出来.(注:A,B两种抗灾物资均需购买,并按整箱配送)2.5 可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念
1.下列关于x的方程,是分式方程的是(D)
A.-3=
B.=
C.+1=
D.=1-
2.(2024·株洲石峰区质检)在①x2-x+,②-3=a+4,③+5x=6,④=1中,其中关于x的分式方程的个数为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
知识点2 分式方程的解
3.若关于x的分式方程-1=的解为x=3,则常数m的值为(A)
A.6 B.-1 C.0 D.-2
4.如果关于x的方程=1-无解,则m的值等于(B)
A.-3 B.-2 C.-1 D.3
知识点3 分式方程的解法
5.(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是(D)
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
6.解分式方程+=,分以下四步,其中,错误的一步是(D)
A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)
B.方程两边都乘(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
C.解这个整式方程,得x=1
D.原方程的解为x=1
7.(2024·湖南中考)分式方程=1的解为 x=1 .
8.解方程:
(1)=;
(2)-1=;
(3)-=1;
(4)-=.
【解析】(1)=,
方程两边都乘x(x-1),得9(x-1)=8x,
解得:x=9,
检验:当x=9时,x(x-1)≠0,
所以x=9是原方程的解;
(2)-1=
方程两边都乘x-2,得4x-(x-2)=-3,
解得:x=-,
检验:当x=-时,x-2≠0,
所以x=-是原方程的解;
(3)-=1,
-=1,
方程两边都乘(x+3)(x-3),得x(x+3)-18=(x+3)(x-3),
解得:x=3,
检验:当x=3时,(x+3)(x-3)=0,
所以x=3是增根,
即原分式方程无解;
(4)-=.
去分母,得(x-2)2-(x+2)2=16,
整理,得-8x=16,
解得x=-2,
经检验x=-2是增根,原分式方程无解.
【B层 能力进阶】
9.(2025·怀化期末)若关于x的分式方程=m无解,则m的值为(A)
A.或0 B.-1 C. D.0
10.用换元法解分式方程-+1=0,如果设=y,那么原方程化为关于y的整式方程是(A)
A.3y2+3y-1=0 B.3y2-3y-1=0
C.3y2-y+1=0 D.3y2-y-1=0
11.对于非零的两个实数a,b,规定a b=-,若2 (2x-1)=1,则x的值为(A)
A. B. C. D.-
12.根据表中的数据,写出a的值为 ,b的值为 -2 .
代数式 x
2 n
3x+1 7 b
a 1
13.关于x的方程-3=的解为非负数,则m的取值范围是 m≥-5且m≠-3 .
14.解分式方程:
(1)-1=.
(2)+1=.
【解析】(1)方程两边都乘(x-2)2,
得x(x-2)-(x-2)2=4,
解得x=4,
检验:当x=4时,(x-2)2≠0,
所以原分式方程的解为x=4.
(2)方程两边都乘2(2x-1),
得2(x-2)+2(2x-1)=-3,
解得:x=,
检验:当x=时,2(2x-1)=0,
所以x=是增根,
即原分式方程无解.
【C层 创新挑战（选做）】
15.(抽象能力、运算能力)下面是一些方程和它们的解.
x+=2+的解为x1=2,x2=;
x+=3+的解为x1=3,x2=;
x+=4+的解为x1=4,x2=;
……
根据上面的方程和它们的解所反映的规律,解答下面问题:
(1)x+=5+的解为 x1=5,x2= ;
(2)关于x的方程x+=n+的解为 x1=n,x2= ;
(3)关于x的方程=a+的解为 x1=a,x2= .
